BİLGİSAYAR GRAFİĞİ Ders 5:PROJEKSİYONLAR Prof. Dr. Cemil Öz SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

Nesne Koordinat sistemi(object Space): Koordinat sistemleri(Spaces) Nesne Koordinat sistemi(object Space): Nesnelerin tanımlandığı kordinat sistemidir.(definition of the objects. Also called Modelling space) Dünya koordinat sistemi(World Space): Sahnenin yani grafiğin görüntülendiği sahne (where the scene and viewing specification is made) Normalize edilmiş görme koordinat sistemi (Eyespace(Normalized Viewing Space)): Göz orijinde ve z eksenine doğrudan bakıldığı koordinat sistemi (where eye point(COP-central of projection) is at the origin looking down the z axis)

Üç Boyutlu görüntü uzayı (3D Image Space:) Gizli yüzeylerin çıkarıldığı uzay A 3D Projective space. Dimensions: [-1:1] in X & Y, [0:1] in Z. This is where image space hidden surface algorithms work . Ekran koordinat sistemi (Screen Space -2D) Range of Coordinates [(0,0)-(with,height)

Projections We will look at several planar geometric 3D to 2D projection: - Parallel Projections Orthographic Oblique - Perspective Projection Projection of a 3D object is defined defined bystraight projection rays (projectors) emanating emanating from the center of projection projection (COP) passing through each point of the object and intersecting the proj ection plane.

AFFINE VE PERSPECTIVE GEOMETRİ Her iki geometri için de, geometrik teoremler geliştirilmiştir. Affine geometri teoremleri bildiğimiz Öklid geometrisine eştir. Bu geometride paralellik önemli bir kavram. Perspektif geometride ise çizgiler genellikle paralel değildir. Perspektif görüntü daha çok sanatçılar ve mimarlarca, daha gerçekçi resim elde edebildiği için kullanılmakla birlikte teknik çalışmalarda daha az kullanılırlar. Homojen koordinat sistemi kullanıldığında her iki dönüşüm aynı zorlukla elde edilmektedir. Her iki dönüşüm de üç boyutludur. Yani bu dönüşümler 3B bir uzaydan bir başka 3B boyutlu bir uzaya dönüşüm demektir.

Sonucu iki boyutlu yüzeyde görmek için, 3B uzaydan iki boyutlu düzleme projeksiyon gerekecektir. Bu sonuç düzlem geometri projeksiyon olarak ( plane geometric projection ) anılır. Projeksiyon matrisi, bir sıfır kolon içerir. Bunun sonucu olarak bu matrisin determinantı her zaman sıfırdır. Objenin düzlem geometrik projeksiyonu, projektör denilen çizgilerle projeksiyon düzlemi denilen düzlemin ara kesiti ile elde edilir. Projektörler, projeksiyon merkezi denilen bir noktadan objenin her noktasına çizilen çizgilerdir. Eğer projeksiyon merkezi 3B uzayda sonlu bir nokta olarak alınırsa, sonuç perspektif projeksiyon olacaktır. Düzlem geometri projeksiyonu için geliştirilmiş çeşitli dönüşümler mevcut ve bunlar iki ayrı yaklaşımla gerçekleştirilmiştir. Hiyerarşik düzeni şöyle verebiliriz.

Perspective Projections Perspective Projections Distance from COP to projection plane is finite. The projectors are not parallel & we specify a center of projection (COP) . Center of Projection is also called the Perspective Reference Point COP = PRP

Perspective foreshortening: The size of the perspective projection of the object varies inversely with the distance of the object from the center of projection. Vanishing Point: The perspective projections of any set of parallel lines that are not parallel parallel to the projection plane converge to a vanishing point.

Perspektif projeksiyon

Paralel yaklaşımda, projeksiyon merkezi ya da göz sabittir ve projeksiyon düzlemi her bir projektöre diktir. Obje istenilen görüntüyü elde etmek üzere hareket ettirilir.

İkinci yaklaşımda ise, obje sabit varsayılır ve projeksiyon merkezi uzayda istenilen noktaya hareket ettirilir. Projeksiyon düzleminin bakış doğrultusuna dik olması gerekli değildir.

Birinci yaklaşımı, bir insanın küçük bir objeyi gözlemine benzetebiliriz. Örneğin, bir kitap, kişi tarafından alınır, döndürülür ve ötelenir; böylece objenin her yönü gözlenir. Projeksiyon merkezi sabittir ve obje hareket ettirilir.   İkinci yaklaşımı, bir insanın bir otomobili gözlemlemesine benzetebiliriz. Kişi, obje etrafında hareket eder. Burada, obje sabittir, projeksiyon merkezi ve göz hareket eder.

Bilgisayar grafiğinde bir obje tasarlandığında, tipik olarak göz konumu sabittir ve projeksiyon düzlemi yani, CRT düzlemi bakış doğrultusuna diktir. Bu nedenle birinci yaklaşım daha uygundur. Ancak, eğer grafik görüntü bir aracın hareketine benziyorsa ya da bir mimarî modelin içinde gözlemci hareket ediyorsa, ikinci yaklaşım daha uygun olacaktır.

ORTOGRAFİK PROJEKSİYON (örnek bir ortografik projeksiyon):

ORTOGRAFİK PROJEKSİYON: Paralel projeksiyonların en basiti olup, genellikle mühendislik çizimlerinde kullanılır. Objenin bir düzlemindeki kesitini doğru boyutlarla gösterecektir. Bu projeksiyonlar, x = 0, y = 0 ya da z = 0 düzlemlerine projeksiyon olarak elde edilir.

Projeksiyon merkezleri +x, +y, +z eksenlerinde

Tek ortografik projeksiyon, obje hakkında yeterli bilgi sağlamaz Tek ortografik projeksiyon, obje hakkında yeterli bilgi sağlamaz. Bu nedenle birçok ortografik projeksiyon gereklidir.

Trimetrik projeksiyon, AXONOMETRİK PROJEKSİYONLAR: Tek bir ortografik projeksiyon genel boyutlu bir objenin görüntüsü hakkında bilgi vermekte yetersiz. Axonometrik projeksiyon, objenin üç komşu yüzü görülecek şekilde objeye döndürme ve öteleme işlemleri uygulanarak gerçeklenir. Elde edilen sonuç, sonsuzdaki bir projeksiyon merkezinden genellikle z = 0 düzlemine yansıtılır. Objenin yüzü projeksiyon düzlemine paralel olmadığı sürece axonometrik projeksiyon doğru yüzeyi göstermeyecektir. Ancak, paralel olan çizgilerin, bağıl uygunlukları sabit kalır, yani;paralel çizgiler aynı ölçüde kısaltılır. Kısaltma faktörü; yansıtılan çizgi uzunluğunun, gerçek uzunluğa oranıdır. Daha önce belirttiğimiz gibi axonometrik projeksiyon üç türlüdür: 1 – Trimetrik Projeksiyon 2 – Dimetrik Projeksiyon 3 – İsometsik Projeksiyon Dimetrik projeksiyon, trimetrik projeksiyonun; isometrik projeksiyon ise dimetrik projeksiyonun özel birer halleridir. Trimetrik projeksiyon, herhangi keyfî eksen / eksenler etrafında keyfî rotasyonlar yapıldıktan sonra z = 0 düzlemine paralel projeksiyonu ile elde edilir. Önce y_ekseni etrafında, sonra x_ekseni etrafında döndürme ile bazı örnekler: y = 45 y Ø =15 x=00 y Ø =30 y = 45 x = 15 x = 45 x = 75 x = 90

Objenin ana eksenlerinde kısaltma faktörü, genel trimetrik projeksiyonda farklıdır. Burada ana eksen olarak x, y, z koordinat eksenlerine orjinal yapısında paralel olan eksenler ya da kenarlar keşfedilmektedir. Herhangi bir trimetrik projeksiyon için kısaltma faktörleri T dönüşüm matrisinin birim vektörle çarpımıyla elde edilir. U: Dönüştürülmemiş olan x, y, z eksenleri boyunca birim vektörler T: Trimetrik projeksiyon matrisi Yansıtılmış ana eksenler boyunca kısaltma faktörleri

Örnek: y_ekseni etrafında 300, x_ekseni etrafında 450 döndürülmüş ve daha sonra z = 0 düzlemine paralel projeksiyonu alınmış objeyi ele alalım. Trimetrik dönüşüm matrisi:

Dönüştürülmüş konum vektörleri: 9 2 1 3 4 5 6 7 8 10 x y z Dönüştürülmüş konum vektörleri:

Kısaltma faktörleri:

DİMETRİK PROJEKSİYON: Dimetrik projeksiyonda, üç kısaltma faktöründen ikisi eşit, üçüncüsü keyfî alınır. Dimetrik projeksiyon, y_ekseni etrafında Ø açısı kadar rotasyon, daha sonra x_ekseni etrafında θ kadar rotasyon ve sonsuzdaki projeksiyon merkezinden z = 0 düzlemine projeksiyondan oluşur. Bu rotasyonlar, henüz belirlenmemiştir. Genel olarak, T dönüşümü yaparsak;

Bu faktörlerden herhangi iki tanesini eşitlersek: Örnek olarak x, y kısaltma faktörlerini eşit alalım. ( idi.) ;

olsun    Burada yine 4 olası durum söz konusudur olsun    Burada yine 4 olası durum söz konusudur. Kısaltma faktörü; olacaktır . Ø < 0 θ > 0 θ < 0

Projeksiyon edilmiş x_ekseninin yatayla yaptığı açı elle yapılan çalışmalarda önemli. (eksik) Örnek: ve için