Optimizasyon

Optimizasyon Nedir? Mühendislik ekonomisinin teknik projelerde ve işletme projelerinde minimum maliyet ve maksimum getiri sağlanmasıyla meşgul olduğunu biliyoruz. Problem, ister mevcut bir meselenin çözümü isterse yıllara ait bir projenin değerlendirilmesi olsun, amaç; alternatif çözüm yolları arasından en uygun olanının seçilmesidir. Seçim yapılırken problemin yapışma göre matematik ve istatistiki metotlar ve modeller kullanılır ve istenen amaca ulaşmaya çalışılır. Diğer bir ifade ile, bir işletmede tasarımda, işletilmesinde, fabrika makine ve teçhizatlarının analizinde, endüstriyel proseslerde, üretimin planlanmasında, herhangi bir masrafın yapılmasında ve gelirin sağlanmasında hemen hemen bütün problemler, birkaç değişkene ait fonksiyonun en büyük veya en küçük değerinin bulunmasına indirgenebilir. En büyük veya en küçük değerin bulunması ise maksimizasyon veya minimizasyondur. Projelerde her zaman kısıtlılık halleri bulunabilir. Eğer kısıtlılık hallerinin bulunduğu projelerde maksimizasyon ve minimizasyon aranıyorsa, bu taktirde ulaşılan sonuca optimizasyon denir.

Burada önemli bir nokta da kısıtlılık halleridir Burada önemli bir nokta da kısıtlılık halleridir. Optimizasyonun verilen şartlar içerisinde en iyi sonuca ulaşmak olduğunu hatırlamalıyız. Verilen şartlar altında en iyi sonuç burada "mutlak iyi "dir. Bunu bir örnekle açıklayalım. Meselâ, A mamulünün başabaş noktasını bulmaya çalışalım. Burada sabit giderler 300 bin lira, birim başı değişken giderler 200 lira ve satış fiyatı 350 lira olsun. Q miktarı, S sabit giderleri, P satış fiyatını ve D değişken giderleri gösterirse, başabaş noktası; Biz kârı maksimize etmek için üretimi sonsuza kadar arttırmalıyız. Bu bize maksimum kârı verir. Buna karşılık gerçek hayatta üretimle ilgili bazı kısıtlılık halleri vardır. Problemde işletmenin üretimi, üretim kapasitesi ile kısıtlıdır. Pratikte değişken giderler üretimle artar veya azalabilir. Aynı şekilde satış fiyatı da değişebilir. Bu taktirde bu şartlar altında artık maksimum kâr değil, optimum kâr söz konusudur. Yukarıdaki şekle göre başa baş noktası, q1 ve q3 noktalan olacak, optimum kârı verecek noktada q2 üretim miktarı olacaktır. Optimum noktayı bulmak için matematiksel modellerden yada tecrübelerden yararlanılır.

KISITLAYICI ŞARTLARIN VARLIĞINDA OPTİMİZASYON Birçok endüstri problemi sınırlı kaynakları kullanmak suretiyle mümkün olan en iyi sonucu, çıktıyı elde etmeye yöneliktir. "En iyi sonuçla" kastedilen genellikle ya kârın maksimizasyonu ya da maliyetlerin minimizasyonudur. İlaveten birden çok alternatif arasından belli bir amacı en iyi yerine getirecek alternatiflerin seçimi de bu çalışmalara dahildir. Sınırlı kaynaklarla en iyi sonucu elde etmede kullanılan matematik metodu "doğrusal programlama" (DP) olarak bilinir. Yine optimizasyon sahasında kullanılan doğrusal olmayan programlama, tam sayılı programlama, dinamik programlama teknikleri de vardır, fakat doğrusal programlama bunların en basiti ve uygulamada en çok kullanılanıdır. Doğrusal programlama metodunun temel varsayımı, değişkenler arası ilişkilerin doğrusal olmasıdır. "Doğrusallık" şartı, bütün ilişkilerin doğrusal denklemlerle ifade edilebileceği, değişkenlerdeki değişmelerin sabit sayılarla olacağı anlamına gelir. Yani bir birim mamul 500 bin liraya üretilebiliyorsa; 5 birim mamul 2,5 milyon liraya ve 90 birim 45 milyon liraya üretilecek ya da bir birimden 100 bin lira kâr elde ediliyorsa; 5 birimden 500 bin ve 10 birimden 1 milyon lira kâr elde edilecek demektir.

A) Amaç Fonksiyonu: Amaç fonksiyonu; maksimize ve minimize edilecek yani optimize edilecek bir amacı, Z'yi, doğrusal olarak sabit sayılarla ifade edilen değişkenlerle birlikte gösterir ve Zmax ve Zmin şeklinde ifade edilir. Fonksiyonun değişkenleri X1X2………………..X„ ve katsayıları C1C2…………..Cn olarak gösterilir. Bu takdirde amaç fonksiyonu, Z = C1 X1 + C2 X2 +………..+ Cn Xn şeklinde ifade edilir. Meselâ bir üretim probleminde 3 mamul olsun ve birim başına kârları 50, 80, 100 bin TL. olsun. Kârı maksimize edecek amaç fonksiyonu; Zmax=50X1+80X2+100X3 şeklinde ifade edilir.

B) Sınırlayıcı Şartlar: Bunlar sistemde kullanılacak kaynak miktarları ile (b1 b2,....,b), her bir değişkenin o sistemde bu kaynaktan birim başına kullandığı girdi miktarını (a1a2.……ain ) gösterir. Değişkenler xi ise şeklinde ifade edilir. C) Pozitiflik Şartı: Bu şart ekonomik olarak anlamsız fakat matematik açısından mümkün, pratik hayatta hiçbir mana ifade etmeyen çözümleri önlemek için konulan şartlardır. Yani eksi bir üretim olamayacağı için bu şartlar gereklidir. X1, X2,……. Xn> 0 şeklinde gösterilir.

Örnek 2.7. Farz edelim ki K Projesi'nde X1 ve X2 mamulleri dört ayrı departmandan geçerek imal olsun ve X1 'den en çok 10 birimin imal edilmesi gereksin. Bir birim mamulün her 4 departmanda kullandığı dakika aşağıdaki tabloda verilsin. Birim başına kâr da X1=500, X2=600TL. olsun. Projede kâr maksimize edecek X1, X2 miktarları aransın. Bir günlük çalışma süresi 8 saat (480 dakika) olsun. Bu takdirde doğrusal programlama problemimiz; Amaç fonksiyonu Zmax=500X1+600X2 Kısıtlayıcı Şartlar Pozitiflik Şartı

3 1 Burada sadece X1 mamulü üretilirse maksimum kâr 5.000 lira ve sadece X2 mamulü üretilirse maksimum kâr 7.200 lira olacaktır. Çözüm burada bitmiş değildir. X1,X2'nin diğer kombinasyonlarınıda değerlendirmek ve 7.200 lirayı aşacak bir değeri bulmak gerekir. Eğer hiçbir X1, X2 kombinasyonu 7.200 lirayı aşmıyorsa, çözüm sadece X2 mamulünden 12 birim üretmek olacaktır. 2

Şekil de bütün şartları sağlayan alan taralı alandır Şekil de bütün şartları sağlayan alan taralı alandır. Bu durumda 20X1+10X2<480; 12X1+24X2<480 ve 25X1+15X2<480 şartlan problemde bir kısıtlılık doğurmamaktadır. Kısıtlılık doğuran iki eşitsizlik vardır. Bunlar 30X1+40X2<480 ve X1<10 eşitsizlikleridir. Maksimum kârı verebilecek üretim miktarları C, A, B noktalarıdır. Her birisinde üretim miktarlarını bularak Z amaç fonksiyonunda yerlerine koyalım.

YATIRIM PROJELERİNDE DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖNEMİ Bir çok proje için sermaye, fabrika, yerleşim alanı, enerji, personel v.b. Yeterli olmayıp sınırlı olabilir. Bu takdirde karşımıza çıkan kısıtlılık hallerini de göz önünü alan optimal (mevcut şartlar altında en iyisinin bulunması) sonuçlarını verecek bazı metotların kullanılması kaçınılmaz olacaktır. Doğrusal programlama metodu hem üretimde hem de proje seçiminde kullanılır. Proje tek bir proje ise doğrusal programlama, bu projenin nakit girişlerinin maksimum olması için üretim portföyünün belirlenmesi veya giderlerin minimizasyonu olabilir.

Bu bilgiler çerçevesinde seçilecek makineler nasıl olacaktır? Örnek:K Kollektif Şirketi M mamullerini üretmek üzere X1 veya X2 makinelerinden birisi ya da her iki makineden meydana gelen bir yatırım portföyü oluşturmak istemektedir. X1 makinesinin fiyatı 4 milyon, X2 makinesinin fiyatı 6 milyon liradır, iki makineye yatırılabilecek maksimum yatırım tutarı 24 milyondur. Makinelerin net bugünkü değerleri sırasıyla 1,8 milyon ve 2,7 milyon liradır. Yalnız, X1 makinesinden en az 2 adet alınması gerekmektedir. Bu bilgiler çerçevesinde seçilecek makineler nasıl olacaktır? Burada X1 veya X2 makineleri alınırken bazı kısıtlılık durumları karşımıza çıkmış bulunmaktadır. Şöyle ki; K Kollektif Şirketi'nde yatırım için en fazla 24 milyon lira harcanabilecektir. Ayrıca X1 makinesinden da en az 2 adet alınması istenmektedir. Yatırım projelerinde önemli olan nokta net bugünkü değerin (NBD) maksimize edilmesidir. Amaç Fonksiyonu, 𝑍 𝑚𝑎𝑥 =1800 𝑋 1 +2700 𝑋 2 Kısıtlarımız 4 𝑋 1 +6 𝑋 2 ≤24 𝑋 1 ≥2 𝑋 1 , 𝑋 2 ≥0

𝑍 𝑚𝑎𝑥𝐴 =6.1800=10800 𝑇𝐿 𝑋 1 𝑒𝑛 𝑎𝑧 2 𝑎𝑑𝑒𝑡 𝑋 2 = 16 6 𝐾𝑎𝑏𝑢𝑙 𝑒𝑑𝑖𝑙𝑚𝑒𝑧 𝑍 𝑚𝑎𝑥𝐵 =2.1800+ 16 6 .2700=10800 𝑇𝐿 𝑍 𝑚𝑎𝑥𝐶 =3.1800+2.2700=10800 𝑇𝐿 𝑍 𝑚𝑎𝑥𝐷 =4.1800+2700=9900 𝑇𝐿 𝑍 𝑚𝑎𝑥𝐸 =5.1800=9000 𝑇𝐿

Not: Bir projenin net bugünkü değeri, projenin ekonomik ömrü boyunca hasıl edeceği nakit girişlerinin belirli bir iskonto oranı üzerinden bugünkü değere indirgenmesiyle bulunan tutardan, nakit çıkışlarının bugünkü değerinin düşürülmesiyle elde edilen tutardır. Bu değerin sıfırdan büyük olması gerekir. 𝑘=1 𝑛 1 (1+𝑖) 𝑘 = (1+𝑖) 𝑛 −1 (1+𝑖) 𝑛 .𝑖

𝑁𝐵𝐷= 800 1 (1+0.4) 10 +2000 𝑖=1 𝑛 1 (1+0.4) 𝑖 − 3000+400 𝑖=1 10 1 (1+0.4) 𝑖 +1200 1 (1+0.4) 5 = 27.68+4827 − 3000+965.43+223 =665 𝑌𝑇𝐿

Grafik Metotla Çözüm Muhtemel çözüm alanı bulunduktan sonra amaç fonksiyonuna değerler verilerek kayıtsızlık eğrileri elde edilir. Bu doğrular birbirine paraleldir. Bu doğruların çözüm alanını en son terk ettiği nokta optimum çözümdür. Örnek;

Grafikte 8X1+9X2=20 doğrusunu çizersek bu doğrunun çözüm alanında kaldığı görülür. Dolayısıyla Zmax=8X1+9X2 doğrusuna muhtelif değerler verilerek doğrular çizilmeye devam edilir. Bu doğrular önceki doğrulara paraleldir ve kayıtsızlık eğrileri adını alır. Bu doğrulardan çözüm alanını en son terk eden doğrunun çözüm alanına dokunduğu nokta çözüm noktasıdır. B noktasıdır ve çözüm de Z=38 olduğundan, amaç doğrusunun denklemi, 8X1+9X2=38 yazılıp, bu noktadan geçen 10X1+8X2=41 veya 20X1+25X2=100 doğruları kullanılarak X1ve X2 değerleri de bulunabilir.