M/M/1 Kuyruk Modeli : Varışlar arası zamanın ve servis zamanının üstel dağılıma sahip olduğu,bir servis olanağı olan FİFO kuyruk disiplininin kullanıldığı kuyruk modelidir. Kuyruk kapasitesi sonsuzdur. Bu modelin, sürekli zamanlı Markov Prosesinden elde edilen matematiksel modeller ile çözümü vardır. (Bu formüller, denge durumu için geçerlidir.) P0 : sistemde iş veya müşteri olmaması olasılığı P1 : sistemde 1 iş veya müşteri olma olasılığı Pn : sistemde n iş veya müşteri olma olasılığı
M/M/1 Kuyruk Modeli : Sistemdeki ortalama müşteri sayısı / birim zaman 26/(30-26) = 6.5 Sistemdeki ortalama müşteri sayısı / birim zaman Kuyruktaki ortalama müşteri sayıs / birim zaman (26*26)/30(30-26) = 5.6 Bir müşterinin sistemde ortalama bekleme zamanı 1/(30-26) = 0.25 Bir müşterinin kuyrukta ort. bekleme zamanı 26/30(30-26) = 0.2167
ρ = λ / µ = 26/30 = 0.86 Örnek 1: M/M/1 Parametre Değer Dakika Saniye Dakika Saniye M/M/1 (Üssel servis zamanı) Ortalama doluluk .8667 Varış Oranı (lambda) 26 Ortalama kuyruktaki sayı (Lq) 5.6333 Hizmet Oranı (mu) 30 Ortalama sistemdeki sayı (L) 6.5 Hizmet birimi sayısı 1 Ortalama kuyruktaki zaman (Wq) .2167 13 780 Ortalama sistemdeki zaman (W) .25 15 900 ρ = λ / µ = 26/30 = 0.86
Örnek 2: M/D/1 Parametre Değer Dakika Saniye M/D/1 (constant service times) Ortalama doluluk .8667 Arrival rate(lambda) 26 Ortalama kuyruktaki sayı (Lq) 2.8167 Service rate(mu) 30 Ortalama sistemdeki sayı (L) 3.6833 Number of servers 1 Ortalama kuyruktaki zaman (Wq) .1083 6.5 390 Ortalama sistemdeki zaman (W) .125 7.5 450
Bir sağlık ocağına aşı olmak üzere rassal olarak günde ortalama 210 çocuk getirilmektedir. Hizmet süresi değişken olup ortalama 1 dak. sürmektedir.Klinik günde 6 saat hizmet vermektedir. Kuyrukta ortalama ne kadar süre beklenecektir? Klinikte ortalama kaç cocuk olacaktır? Bekleme salonu kaç kişilik olmalıdır?
λ = 288 µ= (6*60) =360 çocuk Ortalama Bekleme zamanı= Wq = 288/ 360 (360-288) = 0.011 0.66 dak. Sistemdeki ort. Çocuk sayısı =L= 288/(360-288) = 4 çocuk Kuyruktaki ort. Çocuk sayısı = (288*288)/360(360-288) = 3.2 çocuk ve bekleme salonu 3 veya 4 kişilik olabilir.