Bilgisayar Grafikleri Ders 2: Koordinat Sistemleri Doç. Dr. Cemil Öz Bilgisayar Grafikleri Ders 2: Koordinat Sistemleri SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz 3B matematik ve dönüşümler 2B Kartezyen koordinat sistemi En bilinen iki boyutlu koordinat sistemi herkesin kullandığı Kartezyen koordinat sistemidir. Kartezyen koordinat sistemi şekil 4.1 de görüldüğü gibi bir çift birbirine dik eksenlerden meydana gelir ve eksenler x ve y diye adlandırılırlar. Pozitif x ekseni sağ, negatif x ekseni sol benzer şekilde pozitif y ekseni yukarı yönde, negatif y ekseni aşağı yöndedir. Her iki eksenin sıfır olduğu (x=0,y=0) nokta orijin olarak nitelendirilir. Teknik olarak ifade edilirse y ekseni ordinat(ordinate), x ekseni ise absis(abscissa) olarak adlandırılır. SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

İlave olarak Kartezyen koordinat sisteminde şekil 4 İlave olarak Kartezyen koordinat sisteminde şekil 4.1 de verilen QI, QII, QIII, ve QIV olarak isimlendirilen dört parça vardır. Bu parçalar x-y eksenlerinin işaretlerine göre isimlendirilmişlerdir. Tablo 4.1 de bu gösterilmiştir.   Kartezyen koordinat sistem SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz Tablo3.1 her bir bölümün işareti Şonuç olarak, her hangi bir noktayı Kartezyen koordinat sisteminde yerleştirmek için, x ve y bileşenlerinin bilinmesi gerekir. Örneğin nokta p(5,3)’ ün anlamı x=5 ve y=3 dür, ve şekil 4.2 de gösterildiği gibi görülür. SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz Noktayı Kartezyen koordinat sisteminde yerleştirme SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz 2B Polar Koordinat Sistemi   Bir diğer koordinat sistemi 2 serbestlik derecesini destekleyen polar koordinat sistemidir. Polar kordinat istemi Wolfenstein oyunu ve ray-casting tekniğinin temelidir. Polar koordinat sistemi noktanın x,y ciftleri yerine istenilen mesafe ve yönelmedir. Şekil 4.3 standart 2B polar koordinat sistemini vermektedir. Burada görüldüğü gibi, bir noktayı yerleştirmek için iki parametre bulunmaktadır. r orijin veya kutuptan uzaklık, ve bir yönelme veya açı(theta). P(r,θ) gösterşiminin anlamı, p noktası, θ açısı veya radian, bir referans ışına bağlı olarak ölçülür.Şekil 4.4 de p1(10,30o) ve p2(6,1500) noktaları örnek olarak verilmiştir. SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz Noktaların 2B polar koordinat sisteminde yerleştirilmesi 2B polar koordinat sistemi SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz Kartezyen koordinat sistemi ile 2B polar koordinat sistemi arasında dönüşüm   Kartezyen koordinat isteminden polar koordinat sistemine dönüşüm, biraz geometri bilinir ve dik üçgen kullanılırsa kolayca dönüştürülebilir. Şekil 4.5 e Kartezyen koordinatın I bölümüne bakılırsa standart bir dik üçgen görülür. Hipotenüsü belirleyici olarak kabul edersek, aşağıdaki fomül ile polar koordinat sisteminden kartezyene dönüşüm sağlanabilir. x=r*cos(θ) y=r*sin(θ) SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz Kartezyen koordinat sisteminden polar koordinat sistemine dönüşüm biraz daha karmaşık görünmektedir. P(x,y) noktası ile oluşturulan hipotenüsün açısına ihtiyacımız vardır. Trigonometri kullanılarak bu problem çözülmektedir. Yani tanjant açıyı bulmak için kullanılabilir ve pisogor(pythagorean) teoremi ile r bulunur. kartezyen koordinat sisteminden polar koordinat sistemine dönüştürme örneği  x2+y2 =r2 r = sqrt(x2 + y2) θ= tan-1(y/x)   SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz Şekil de verilen noktayı bir önceki verilen denklemleri kullanarak polar koordinat sistemine dönüştürelim x = 3, y = 4, r = sqrt(32 + 42) = 5 θ= tan-1(4/3) = 53.1° Sonuç olarak, polar koordinat sistemi, bir çok problemde hedef belirleme, konum belirleme ve yörünge tayininde ileri veya geri çevrimlerde önemlidir. SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz 3B koordinat sistemleri   İkiboyutlu koordinat sistemi konusunu yeterince inceledik. Bu bölümde 3B koordinat sistemini inceleyeceğiz. Eğer oyun programlama ve grafik işlemleri ile uğraşılmış ise bu sisteme alışık olmamız gerekir. Bu bölümde ayrıca silindirik koordinat sistemine ve küresel koordinat sistemine de yoğunlaşacağız. Böylece daha sonraki konularda göreceğimiz, texture kaplama ve bazı özel efektlerde bu koordinat sistemlerini kolayca kullanabilelim. Önce 3B koordinat sistemi verilecek daha sonrada diğer koordinat sistemlerine geçilecektir. SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz 3B Kartezyen koordinat sistemi   3B koordinat sistemi, birbirine dik 3 eksenden olşan 3 serbest dereceli bir sistemdir. Yani iki boyutlu koordinat sistemine z-ekseninin ilavesi ile oluşmuştur. Bu yüzden bir noktanın 3B uzayda yerleştirilmesi için üç koordinat değerine ihtiyaç duyulmaktadır, x,y,z. İlave olarak üç eksen x-y düzlemi, x-z düzlemi ve y-z düzlemi olmak üzere üç düzlem oluşturur. Şekil 4.7 de bu düzlemler gösterilmiştir. Bu düzlemler çok önemlidir ve her biri iki yarı düzleme ayrılır. Sekiz tane ara düzlem(eight octants) vardır ve şekil 4.8 de gösterilmiştir. SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz 3Bkartezyen koordinat sistemi 3B Kartezyen koordinat sisteminin ara düzlemleri SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz Burada yeni ilave edilen z ekseni küçük bir problem oluşturmaktadır. Z eksenini negatif veya pozitif olmasına göre iki farklı yönelme belirlemeliyiz. Bu yüzden 3B Kartezyen koordinat sisteminde sağ el ve sol el olmak üzere iki bölge vardır. Sol el sistemi   Sol el sistemi şekil 4.9 da gösterilmiştir. Sol el sisteminde 3B koordinat sistemine doğruca bakarsak pozitif z-ekseni kağıda doğrudur veya ekranı x-y yi ekranın yatay veya dikey ekseni olarak kabul edersek ekrana doğrudur. Sağ el sistemi Sağ el sistemi şekil 4.10 da verilmiştir. Bu sistemde pozitif z ekseni, eğer doğruca eksene bakılıyorsa bize doğrudur ve negatif z-ekseni kağıda doğrudur. Eğer biz ekranı x-y olarak daha önce olduğu gibi kabul edersek o zaman negatif z-ekseni ekrana doğru, pozitif z-ekseni ekrandan dışarıya doğrudur. SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz sağ el sistemi sol el sistemi Biz bu kitapdaki yapılan işlemlerde genellikle 3B Kartezyen koordinat sistemini kullanacağız. Bazen problemlerin çözümünde açı ve yönlerin kullanılması bu özel problemlerin çözümünü kolaylaştırabilir. 3B kameralar buna bir örnektir. Bu yüzden diğer koordinat sistemlerine de kısaca değinilecektir. SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz 3B silindirik koordinat sistemi   İlginçtir ki, 2B koordinat sisteminde yalnızca polar koordinat sistemi olmasına rağmen 3B de küresel ve silindirik koordinat sistemi mevcuttur. Çünkü bir fazla serbestlik derecesi eklenmiştir. Bu durumda, diğer iki serbestlik derecesini arzuladığımız gibi kullanabiliriz. 3B silindirik koordinat sistemi 2B polar sisteme daha yakındır. Yani, 2b x-y polar sistemine z-ekseninin eklenmesinden başka bir şey değildir. Şekil 4.11’e bakacak olursak, silindirik koordinat sistemi görülür. Eğer dikkat edilirse, z=0 düzlemin de 2B polar sistem elde edilir ve silindirik koordinat sisteminde önce 2B (x-y ekseninde z=0 iken, p(r,θ) noktası eklenir sonra da z-ekseninde bir z değeri kadar yükseltilir. Aynı zamanda sağ-el sistemi kullanılır. silindirik koordinat sistemi SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz 3B Kartezyen koordinat ile polar koordinat sistemi arasında dönüştüme   3B Kartezyen koordinat ile silindirik koordinat sistemi arasındaki dönüştürme sıradandır. Yani 2B dönüşüm ve sonra z=z eklenir. 3B polar koordinat sistemin p(r,θ,z) den, Kartezyen koordinat sistemi p(x,y,z) ne dönüşüm x = r*cos(θ) y = r*sin(θ) z = z Formülü ile gerçekleştirilir. Kartezyen koordinat sisteminden, silindirik koordinat sistemine dönüştürmede, önce 2B Kartezyen den polar sisteme dönüşüm yapılır ve z=z eklenir. 3B Kartezyen koordinat sistemi p(x,y,z) den, polar koordinat sistemi p(r,θ,z) ne dönüştürmek için x2 + y2 = r2 r = sqrt(x2 + y2) θ = tan-1(y/x) z =z Silindirik koordinat sistemi çok sayıda problem için kullanışlıdır. Çevre haritalamak için kamera kontrolü. SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz 3B küresel koordinat sistemi 3B küresel koordinat sistemi, diğer koordinat sistemlerinden biraz daha karmaşıktır. Genel olarak, bir nokta, sistemin orijininden bir mesafe ve iki açı ile belirlenir. Şekil 4.12 küresel koordinat sistemini göstermektedir. Küresel koordinat sisteminde bir nokta orijinden bir mesafe ve iki açıya ihtiyacımız var. Bu p(ρ,ϕ,θ) şeklinde ifade edilir yani, “rho,” “phi,” and “theta,”   SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz EQUATION 4.5 Converting 3D Spherical Coordinates p(ρ,φ,θ) to Cartesian Coordinates p(x,y,z) From the projection of the line segment o->p onto the x-y plane, we see that: r = ρ*sin(φ) z = ρ*cos(φ) and in the x-y plane, we know that: x = r*cos(θ) y = r*sin(θ) Therefore, substituting r into x,y and collecting equations gives: x = ρ*sin(φ)*cos(θ) y = ρ*sin(φ)*sin(θ) SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz EQUATION 4.6 Converting 3D Cartesian Coordinates p(x,y,z) to Spherical Coordinates p(ρ,φ,θ) Given: x2 + y2 + z2= ρ2 Similarly: x2 + y2 = r2 Therefore: r = sqrt(x2 + y2) ρ = sqrt(x2 + y2 + z2) θ = tan-1(y/x) And we can solve for φ after we have r and ρ from the relationship: r = ρ*sin(φ) Solving for φ gives: φ = sin-1(r/ρ) Also, we can use: z = ρ*cos(φ) φ = cos-1(z/ρ) SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz