Biçimsel Diller ve Soyut Makineler

Temel Mantık Önerme Doğru yada yanlış değerlerinden ancak ve ancak birini alabilen, aynı anda bu iki değeri birden alamayan ifadelere önerme denir. Bir önermenin doğruluğunu Doğru (True - T) ve yanlışlığını Yanlış (False – F ) ile gösterebiliriz.

Temel Mantık Bir önermenin tersi önermenin gösterildiği harfin üzerine ‘ sembolü ile gösterilir. p P’ T F

Ve-Veya Eğer iki basit önerme aralarında VE işlemi ile bağlanıyorsa buna iki önermenin kesişimi (conjunction) denir ve pq ile gösterilir. Eğer iki basit önerme aralarında VEYA işlemi ile bağlanıyorsa buna iki önermenin kesişimi (disconjunction) denir ve pq ile gösterilir.

Koşullu Önerme p önermesinin q önermesi için yeterli şart ve q önermesinin ise p için gerekli şart olduğu önermeye koşullu önerme denir. Koşullu önerme p→q biçiminde gösterilir. p q p→q T F

Çift Yönlü Koşullu Önerme Çift yönlü koşullu önerme p↔q ile gösterilir ve p↔q’ nun doğru olabilmesi için p ve q’ nun ikisinin de aynı doğruluk değerine sahip olması gerekir. Doğruluk tablosu aşağıda gösterilmiştir. p q p↔q T F

Mantıksal Eşdeğerlilik Aynılık Özelliği: ppp ppp Değişme Özelliği: pq qp pq qp p→q q→p

Mantıksal Eşdeğerlilik Birleşme Özelliği (pq)r p(qr) (pVq)Vr pV(qVr) (p→q)→r p→(q→r) Dağılma özelliği p v ( q  r) = (p v q)  (p v r) p ( q v r) = (p q) v (p r)

Mantıksal Eşdeğerlilik De Morgan Kuralları p ve q önermeleri için; (p v q)' = p' q' (p Ù q)' = p' v q'

Kümeler Küme: Ortak özellikli elemanlar topluluğu

Küme Gösterimleri C = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k } C = { a, b, …, k } Sonlu (finite)set S = { 2, 4, 6, … } Sonsuz (infinite) set S = { j : j > 0, ve j = 2k , k>0 } S = { j : j, pozitif ve çift sayıdır }

A = { 1, 2, 3, 4, 5 } 1 2 3 4 5 A U 6 7 8 9 10 Evrensel Küme: olası bütün elemanlar U = { 1 , … , 10 }

Küme işlemleri U A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3, 4, 5} Birleşim (Union) A U B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Kesişim (Intersection) A B = { 2, 3 } Fark (Difference) A - B = { 1 } B - A = { 4, 5 } A B 4 2 1 3 5 2 U 3 Venn şeması 1

A A Tümleyen 4 6 3 1 2 5 7 A = A Evrensel Küme= {1, …, 7}

{ çift tamsayılar} = { tek tamsayılar} 1 odd even 5 6 2 4 3 7

DeMorgan Kuralları A U B = A B U A B = A U B U

Boş küme: = { } S U = S S = S - = S - S = U = Evrensel Küme

Alt küme A = { 1, 2, 3} B = { 1, 2, 3, 4, 5 } A B U Kapsama: A B U B A

Ayrık Kümeler A = { 1, 2, 3 } B = { 5, 6} A B = U A B

Eleman sayısı A = { 12, 15, 17 } |A| = 3

Alt kümeler S = { a, b, c } 2S = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Alt Küme sayısı: | 2S | = 2|S| ( 8 = 23 )

Kartezyen Çarpım A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 } A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 5) } |A X B| = |A| |B| A X B X … X Z

Fonksiyon domain range 4 A B f(1) = a a 1 2 b c 3 5 f : A -> B

Bağıntılar R = {(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), …} xi R yi e. g. if R = ‘>’: 2 > 1, 3 > 2, 3 > 1

Eşdeğer bağıntılar Reflexive: x R x Symmetric: x R y y R x Transitive: x R y and y R z x R z Örnek: R = ‘=‘ x = x x = y y = x x = y and y = z x = z

Graflar Yönlü graf e b d a c Düğümler (Vertices) V = { a, b, c, d, e } kenar c Düğümler (Vertices) V = { a, b, c, d, e } Kenarlar E = { (a,b), (b,c), (b,e),(c,a), (c,e), (d,c), (e,b), (e,d) }

Etiketli Graflar 2 6 e 2 b 1 3 d a 6 5 c

Yol a b c d e Yol (e, d), (d, c), (c, a)

Path e b d a c Path: Hiçbir düğümün tekrarlanmadığı alternatif Yol Simple path:hiçbir düğüm ve kenarın tekrarlanmadığı paralel kenarların bulunmadığı yol

Döngü (Cycle) e base b 3 1 d a 2 c Cycle:Bir düğümden çıkıp tekrar kendine dönen kenar Simple cycle: sadece taban düğüm tekrarlanır

Euler Halkası 8 base e 7 1 b 4 6 5 d a 2 3 c Tüm kenarlardan sadece birkez geçilerek oluşan Başlangıç ve bitiş düğümleri farklı olan Yola Euler yolu denir. Eğer başlangıç be bitiş düğümü farklı ise buna Euler Halkası denir.

Hamiltonian Cycle 5 base e 1 b 4 d a 2 3 c Bütün düğümleri içeren basit bir döngü