DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER ve DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

ax+by = h bir doğrusal eşitliktir ax+by = h bir doğrusal eşitliktir. Bu eşitliğin (fonksiyonun) grafiği düzlemde bir doğrudur. Örnekler: y x x+y = 2 (2,0) (0,2) d = (x,y):x+y =2, x,y є R (01) (-1/2,0) -2x+y = 1 d = (x,y):-2x+y =1, x,y є R

ax+by < h, ax+by > h, ax+by ≤ h, ax+by ≥ h birer doğrusal eşitsizliktirler. Doğrusal eşitsizliklerin grafikleri (eşitsizliği sağlayan noktalar kümesi, yani çözüm kümesi ) birer yarı düzlemsel bölgedir. Aksiyom: Bir doğru, düzlemi iki yarı düzleme ayırır. Teorem. a , b, h  R olsun. 1. Eğer a  0, b  0 ise, ax + by < h ve ax + by > h eşitsizliklerinden birinin grafiği ax + by = h doğrusunun üst yarıdüzlemi, diğerinin grafiği de aynı doğrunun alt yarıdüzlemidir. 2. Eğer a  0, b = 0 ise, ax < h ve ax > h eşitsizliklerinden birinin grafiği x = h/a doğrusunun sağ yarıdüzlemi, diğerinin grafiği de aynı doğrunun sol yarıdüzlemidir.

ax+by < h, ax+by > h, ax+by ≤ h, ax+by ≥ h doğrusal eşitsizliklerinin grafiğini çizmek için; 1. ax + by = h doğrusu, < ve > durumlarında kesikli,  ve  durumlarında kesiksiz çizilir. 2. Düzlemde, çizilen doğru üzerinde olmayan her hangi bir nokta alınır. ( örneğin, eğer doğru üzerinde değilse, (0,0) noktası alınabilir.) Bu noktanın koordinatları eşitsizlikte yerine konulur. (SINAMA NOKTASI) 3. Sınama noktası eşitsizliği sağlıyorsa, eşitsizliğin grafiği (çözüm kümesi) noktanın bulunduğu yarıdüzlem, aksi halde, diğer yarıdüzlemdir.

2x+y<6, 2x+y>6, 2x+y≤6, 2x+y≥6 grafiklerini çizelim. Örnek: 2x+y<6, 2x+y>6, 2x+y≤6, 2x+y≥6 grafiklerini çizelim. 2x+y=6 x y 2x+y≤6 ve 2x+y≥6 için 2x+y≤6 2x+y≥6 3 6 2x+y<6 için x y Sınama noktası (0,0) 3 6 2x+y >6 2x+y <6 (0,0) noktası 2x+y<6 eşitsizliğinde yerine konulursa 2.0+0<6 olur. O halde 2x+y<6 eşitsizliğinin grafiği (0,0) noktasının bulunduğu yarı düzlemdir.

Örnek: x>3, x<3, x≥3, x≤3 grafiklerini çizelim. x=3 3 x y x=3 x≤3 x≥3 3 x y Sınama noktası (0,0) x>3 x<3

Örnek: x>0, x<0, x≥0, x≤0 grafiklerini çizelim. x y x≤0 x≥0 y x x=0 1 x=0 x<0 x>0 1>0 1 Sınama noktası

y>0, y<0, y≥0, y≤0 grafiklerini çizelim. Örnek: y>0, y<0, y≥0, y≤0 grafiklerini çizelim. x y x y y≥0 y≤0 Sınama noktası y>0 1 1>0 y=0 y<0

Örnek: x+y<1 ve x+y>1 grafiklerini çizelim. Sınama noktası (0,0) 0+0=0 <1 x+y <1

Doğrusal Eşitsizlik Sistemlerinin çözümü a11x1+a12x2+. . . a1nxn ≤ b1 a21x1+a22x2+. . . a2nxn ≤ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1+am2x2+. . . amnxn ≤ bm Şeklinde n tane bilinmeyeni m tane eşitsizliği olan sistemlere birdoğrusal eşitsizlik sistemi denir. Bir eşitsizlik sisteminin çözümü diye her bir eşitsizliği sağlayan (x1,x2,…,xn) n-lileri kümesine denir. İki bilinmeyenli bir eşitsizlik sisteminin çözümü bir düzlemsel bölgedir.

Örnek: x>0 y<0 x<0 y>0 y>0 x>0 x>0 y<0 x<0

x > 0 y < 0 x < 0 x > 0 y > 0 y > 0 x < 0

Örnek: Sistemini çözelim. Sistemini çözelim. Sistemini çözelim. x- y > 1 x+y < 2 Sistemini çözelim. Örnek: x- y < 1 x+y > 2 Sistemini çözelim. x- y > 1 x+y > 2 Sistemini çözelim. x- y < 1 x+y < 2 Sistemini çözelim. x+y > 2 x- y < 1 x+y = 2 x- y = 1 x y 0+0>2 0-0<1 x+y < 2 x- y < 1 x+y > 2 x- y > 1 (0,0) Sınama noktası x+y < 2 x- y > 1

x- y ≤ 1 x+y = 2 x- y = 1 x+y > 2 Sınama noktası x+y < 2 (0,0)

Örnek: x+y = 2 x- y = 1 x- y > 1 x+y > 2 x- y > 1 y > 0 (0,0) Sınama noktası

Sisteminin çözümü Örnek: x- y < 1 x+y < 2 x > 0 x+y = 2 (0,0) Sınama noktası

Örnek: x- y < 1 x+y < 2 x+y = 2 x- y = 1 y > 0 x- y < 1 (0,0) Sınama noktası

Örnek: x+y = 2 x- y = 1 x- y > 1 x+y < 2 x > 0 Sınama noktası (0,0) Sınama noktası

Örnek: x+y = 2 x- y = 1 x- y > 1 x+y < 2 y > 0 Sınama noktası (0,0) Sınama noktası

Örnek: Sınama noktası x+ y = 6 y 2x – y = 0 (0,6) (2,4) (0,1) (0,0) x ÇÖZÜM BÖLGESİ Sınama noktası (0,1) (0,0) (6,0) x+ y = 6

Örnek: y Sınama noktası x (5,8) (0,22) (9,4) 2x + 5y=50 (0,13) (0,10) ÇÖZÜM BÖLGESİ (0,0) (13,0) (11,0) (25,0) x + y=13 2x+ y=22

ÖDEVLER Aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA Doğrusal programlama belli bir amacı gerçekleştirmek için sınırlı kaynakların etkin kullanımını ve çeşitli seçenekler arasında en uygun dağılımı sağlayan matematiksel bir tekniktir. İkinci Dünya Savaşı yıllarında askeri problemleri çözmek amacıyla geliştirilen bu teknik daha sonra en uygun (optimal) kaynak dağılım problemlerinin çözümünde yaygın olarak kullanılmıştır.

Doğrusal programlamanın temel varsayımı; Hem amacın bir doğrusal eşitlik hem de bu amacın gerçekleşmesini kısıtlayan şartların doğrusal eşitlik ya da doğrusal eşitsizliklerle ifade edilebilmesidir. Doğrusallık kavramı, doğrusal programlama probleminde yer alan değişkinler arasında sabit bir oransal ilişkinin olduğunu gösterir.

x ile y arasında doğrusal bir ilişki vardır. (1,3) (3,9) (4,12) (2,6) (5,15) x y 1 3 2 6 9 4 12 5 15 y = 3x x ile y arasında doğrusal bir ilişki vardır.

x ile y arasında doğrusal bir ilişki vardır. (1,3) (3,5) (4,6) (2,4) (5,7) x y 1 3 2 4 5 6 7 y = x+2 x ile y arasında doğrusal bir ilişki vardır.

x ile y arasında doğrusal bir ilişki yok. (1,2) (2,5) (3,7) (4,6) (5,4) x y 1 2 5 3 7 4 12 10 y = ?x x ile y arasında doğrusal bir ilişki yok.

■ Amaç Fonksiyonu: Amaç fonksiyonu, matematiksel olarak formüle edilen ve ifade ettiği sayısal değerin en büyük ya da en küçük olarak gerçekleşmesini hedefleyen z = c1x1+c2x2+. . . +cnxn gibi bir doğrusal fonksiyondur. Bu fonksiyon şeklinde daha genel bir biçimde ifade edilebilir.

■ Kısıtlılıklar: Bir doğrusal programlama probleminde amaç fonksiyonunun alabileceği değeri sınırlayan kısıtlılıklar ikiye ayrılır. 1. Kaynak Kısıtlılıkları; Bunlar temel sınırlılıklar olup probleme ilişkin mevcut kaynakları belirtirler. Bir problemde m tane kaynak kısıtlaması varsa bu kısıtlılıklar bir doğrusal eşitsizlik sistemi oluştururlar.

şeklinde daha genel biçimde ifade edilebilir. veya a11x1+a12x2+. . . A1nxn ≥b1 a21x1+a22x2+. . . A2nxn ≥ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1+am2x2+. . . amnxn≥bm a11x1+a12x2+. . . A1nxn ≤ b1 a21x1+a22x2+. . . A2nxn ≤ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1+am2x2+. . . amnxn ≤ bm veya şeklinde daha genel biçimde ifade edilebilir. veya Bu eşitsizlik sistemleri; 2. Negatif Olmama Kısıtlılığı; Doğrusal programlama problemlerinde yer alan değişkenler ( xi ler ) negatif değer alamazlar.

Teorem: Bir doğrusal programlama probleminde en iyi çözüm (optimal solution) varsa, bu çözüm, çözüm bölgesinin köşe noktalarından birinde veya birkaçında ortaya çıkar. Çözüm bölgesi sınırlı ise amaç fonksiyonunun hem maksimum hem de minimum değeri vardır. Başka bir deyişle, en iyi çözüm vardır. Çözüm bölgesi sınırsız ve amaç fonksiyonunun katsayıları pozitif ise, amaç fonksiyonunun minimum değeri vardır; fakat maksimum değeri yoktur.

Problem: (Üretim Planlaması) Bir mobilyacı tanesini 240 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 300 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 2 kg boya gerektirirken bir adet büyük masa 4 saatlik doğrama işçiliği ve 1kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için günlük en çok 96 saat çalışabilmekte ve günlük en çok 44 kg boya kullanabilmektedir. Mobilyacı karını maksimize edebilmek için günlük kaç tane küçük boy, kaç tane büyük boy masa üretmelidir?

3x+4y ≤ 96 Doğrama işi kısıtlılığı 2x+ y ≤ 44 Boya miktarı kısıtlılığı Verilenleri bir tabloda özetleyelim. Küçük boy masalardan x, büyük boy masalardan y tane üretmek gereksin. Doğrama Boya Kar Küçük boy masa için 3 saat 2 kg 240 Büyük boy masa için 4 saat 1 kg 300 Kaynak kısıtlılığı 96 saat 44 kg 3x+4y ≤ 96 Doğrama işi kısıtlılığı 2x+ y ≤ 44 Boya miktarı kısıtlılığı Kaynak kısıtlılığı Ayrıca üretilecek masa sayısı negatif olamayacağı için x ≥0 y ≥0 olmak zorundadır (negatif olmama kısıtlılığı). Amaç fonksiyonumuz: Zmax=240x+300y olur.

Kaynak Kısıtlılıkları Negatif Olmama Kısıtlılıkları Problemimiz; kısıtlamaları altında maksimize ediniz. “zmax = 240x+300y fonksiyonunu 3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x ≥ 0 y ≥ 0 olur zmax = 240x+300y Amaç Fonksiyonu Karar Değişkenleri 3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x≥0 y≥0 Kaynak Kısıtlılıkları Negatif Olmama Kısıtlılıkları

Eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesini bulalım. 3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x≥0 y≥0 Eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesini bulalım. x y 3x+4y =96 3x+4y=96 2x+ y =44 -8x-4y=-176 5x=80 22 44 x=16, y=12 K(16,12) 3x+4y =96 32 24 (16,12) ÇÖZÜM BÖLGESİ 2x+ y = 44

Çözüm Bölgesinin köşe noktaları için z = 240x+300y amaç fonksiyonunun aldığı değerleri bulalım. zmax = 240.22=5280 TL (22,0) noktası için zmax = 300.24=7200 TL (0,24) noktası için zmax = 240.16+30012=7440 TL (16,12) noktası için Firmanın en çok kar elde edebilmesi için küçük boy masalardan 16 büyük boy masalardan 12 adet üretip satması gerekir. Bu durumda maksimum kar 7440TL olur.

Problem: (Üretim Planlaması) Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 3, 2. bantta 5 saat, 1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 4, 2. bantta 3 saat süre gerekmektedir. Firmanın 1. bantta 61, 2. bantta 65 saat iş kapasitesi vardır. Firma 1 adet A türü telsizden 400, 1 adet B türü telsizden 500 TL kar etmektedir. Ancak B türü telsizden 13 adetten fazla üretmek istememektedir. Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden kaçar tane üretmelidir?

Amaç fonksiyonu; zmax = 400x + 500y 3x+4y ≤ 61 5x+3y ≤ 65 Firmanın maksimum kar etmesi için A türü telsizden x adet, B türü telsizden y adet üretmesi gereksin. 1. bant 2.bant kar x için 3 saat 5 saat 400 y için 4 saat 500 Kapasite 61 saat 65 saat Amaç fonksiyonu; zmax = 400x + 500y 3x+4y ≤ 61 5x+3y ≤ 65 0≤ y ≤ 13 olur x ≥ 0 kısıtlılıklar ise

kısıtlılıkları altında maksimize ediniz.” Problemimiz; kısıtlılıkları altında maksimize ediniz.” zmax = 400x+500y fonksiyonunu şeklini alır. 3x+4y ≤ 61 5x+3y ≤ 55 0 ≤ y≤ 13 x≥ 0

doğularının grafikleri; 3x+4y = 61 5x+3y= 65 doğularının grafikleri; y x (0,0) 65/3 61/4 (3,13) y = 13 (7,10) ÇÖZÜM BÖLGESİ 13 61/3 5x+3y=65 3x+4y =61

Çözüm bölgesinin köşe noktaları (15,0), (7,10), (3,13), (0,13) noktalarıdır. zmax = 400x+500y kar fonksiyonunun bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım . (15,0) noktası için zmax = 400.15=6000 TL (3,13) noktası için zmax = 400.3+500.13=7700 TL (0,13) noktası için zmax = 400.13=5200 TL (7,10) noktası için zmax = 400.7+500.10=7800 TL Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 7 adet A türü, 10 adet B türü telsiz üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 7800 TL olur.

Problem: (Üretim Planlaması) Bir fabrikada 2-kişilik ve 4-kişilik şişme botlar üretiliyor. Her bir 2-kişilik bot, kesim için 0,9 iş saati, dikim ve toplama için 0,8 iş saati ; her bir 4-kişilik bot, kesim için 1,8 iş saati, dikim ve toplama için 1,2 iş saati gerektiriyor. Aylık maksimum iş gücü, kesim bölümünde 864 iş saati, dikim ve toplama bölümünde 672 iş saatidir. Üretilen tüm botların satılacağına ve her bir 2-kişilik bottan 25TL , her bir 4-kişilik bottan 40TL kâr elde edileceğine göre, maksimum kâr için, her tür bottan kaç adet üretilmelidir?

İki kişilik bottan x, 4 kişilik bottan y adet üretilsin. Gerekli İş Gücü Aylık İş Gücü 2 kişilik 4 kişilik Kesim Bölümü 0,9 1,8 864 Dikiş Bölümü 0,8 1,2 672 Kar 25 40 İki kişilik bottan x, 4 kişilik bottan y adet üretilsin. Z = 25x+40y YTL olur. Problemimiz; şeklini alır. fonksiyonunu şartları altında maksimize ediniz.

0,9x+1,8y = 864 0,8x+1,2y = 672 Doğrularını çizelim. 0,9x1+1,8x2 = 864 0,8x1+1,2x2 = 672 P(480,240)=25.480+40.240=21600 KÖŞE P (0,0) (840,0) 21000 (480, 240) 21600 (0,480) 19200 En iyi çözüm 480 adet 2-kişilik, 240 adet 4-kişilik bot ile 21600 TL maksimum kâr elde edilir.

Problem: (Üretim Planlaması) Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 1 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 2 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 32 iş saati; dikiş bölümünde en çok 84 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 50 TL, B modeli çadırlardan her biri de 80 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz.

1 2 32 3 4 84 50 80 Verilenleri bir tabloda özetleyelim. Gereken İş Gücü Günlük İş Gücü A modeli B modeli Biçki Bölümü 1 2 32 Dikiş Bölümü 3 4 84 Çadır başı kâr 50 80

A model çadırdan günde x adet, B model çadırdan y adet üretilsin A model çadırdan günde x adet, B model çadırdan y adet üretilsin. Bu durumda elde edilecek kâr: Problemimiz; fonksiyonunu kısıtlılıkları altında maksimize ediniz.” Z = 50x + 80y TL olur. olur

ÇÖZÜM BÖLGESİ Amaç fonksiyonunun maksimum değerini çözüm bölgesinin hangi noktasında aldığını belirlemeliyiz.

zmax = 50.28 =1400 TL zmax = 50.20+80.6 = 1480 TL zmax = 80.16=1280 TL Çözüm bölgesinin köşe noktaları (28,0), (20,6), (0,16), noktalarıdır. zmax = 50x+80y kar fonksiyonunun bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım. zmax = 50.28 =1400 TL (29,0) noktası için zmax = 50.20+80.6 = 1480 TL (20,6) noktası için zmax = 80.16=1280 TL (0,16) noktası için Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 20 adet A türü, 6 adet B türü çadır üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 1480 TL olur.

ÖDEVLER 1. Problem: (Üretim Planlaması) Bir mobilyacı tanesini 600 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 750 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 4 kg boya gerektirirken bir adet büyük boy masa 6 saatlik doğrama işçiliği ve 3 kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için haftada en çok 108 saat çalışabilmekte ve haftada en çok 126 kg boya kullanabilmektedir. Mobilyacı karını maksimize edebilmek için haftada kaç tane küçük boy ve kaç tane büyük boy masa üretmelidir?

2. Problem: (Üretim Planlaması) Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 1, 2. bantta 3 saat,1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 2, 2. bantta 4 saat süre gerekmektedir. Firmanın birinci bantta haftalık48 ikinci bantta 108 saat iş kapasitesi vardır. Firma 1 adet A türü telsizden 120, 1 adet B türü telsizden 175 TL kar etmektedir. Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden haftada kaçar tane üretmesi gerekir?

3. Problem: (Üretim Planlaması) Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 3 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 5 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 135 iş saati; dikiş bölümünde en çok 114 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 60 TL, B modeli çadırlardan her biri de 75 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz.