ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ KONULAR ÇÖZÜMLÜ SORULAR KAYNAKÇA BİLGİ

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ 1. BÖLÜM 2. BÖLÜM

1. BÖLÜM TANIM VE ÇEMBER DENKLEMİ ÇEMBERİN EKSENLERE GÖRE DURUMU MERKEZCİL ÇEMBERİN DENKLEMİ ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ İKİ ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU

TANIM : Bir düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların kümesine (geometrik yerine) çember denir. Sabit noktaya çemberin merkezi ve sabit uzaklığa yarıçap denir. r M1 YARIÇAP = r r . ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

r = (x-a)2 + (y-b)2 = r2 ÇEMBER DENKLEMİ Merkezi M(a,b) noktası ve yarıçapının uzunluğu ‘r’ olan bir çembere ait P(x,y) noktası için , r = (x-a)2 + (y-b)2 elde edilir. Öyleyse merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi ; (x-a)2 + (y-b)2 = r2 ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

ÇEMBERİN EKSENLERE GÖRE DURUMU 1 ) Çember x-eksenine teğet ise b=r olur. . M (a,b) b=r a x b y ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

ÇEMBERİN EKSENLERE GÖRE DURUMU 2 ) Çember y-eksenine teğet ise a=r olur. . M (a,b) a=r a x b y ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

ÇEMBERİN EKSENLERE GÖRE DURUMU 3 ) Çember her iki eksene de teğet ise a=b=r olur. M (a,b) a=r a x b y . b=r a=b=r ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

MERKEZCİL ÇEMBERİN DENKLEMİ Merkezi O (0,0) ve yarıçapı r olan çembere merkezcil çember denir. Merkezcil çemberin denklemi ; (x-0)2 + (y-0)2 = r2 yazılarak ; M (0,0) r x y -r p(-x,-y) T(-x,y) x2 + y2 = r2 ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ (x-a)2 + (y-b)2 = r2 çember denklemi açılırsa ; x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0 elde edilir , -2a = D , -2b = E , a2 + b2 – r2 = F ile gösterilirse , x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 denklemi elde edilir. Bu denkleme çemberin genel denklemi denir. Bu çemberin ; Merkezi ; ( ) M D -2 E , Yarıçapı ; 1 2 r = D2 + E2 – 4F dir. ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK UYARI

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 denklemi ; UYARI x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 şeklinde verilen çemberin merkezinin koordinatlarını ve yarıçapını bulurken x2 ile y2 nin katsayıları +1 olmalıdır. Eğer farklı ise önce +1 yapılır, sonra merkezinin koordinatları ile yarıçapı bulunur. x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 denklemi ;  1. D2 + E2 – 4F  0 ise çember belirtir.  2. D2 + E2 – 4F = 0 ise nokta belirtir.  2. D2 + E2 – 4F < 0 ise çember belirtmez . ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

x ve y’ye göre ikinci dereceden bir denklemin genel biçimi ; UYARI Çemberin denklemi x ve y’ye göre ikinci derecedendir. Ancak x ve y ye göre ikinci dereceden her denklem çember belirtmez. x ve y’ye göre ikinci dereceden bir denklemin genel biçimi ; Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 dır. Böyle bir denklemin çember belirtmesi için ;  1. C = 0 olmalıdır. (çemberde x.y’li terim bulunmaz .)  2. A = B olmalıdır. ( x2 ile y2 nin katsayıları eşit olmalıdır.)  2. D2 + E2 – 4F > 0 olmalıdır. ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

İKİ ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU İki çemberin yarıçapları r1 , r2 ve merkezleri arasındaki uzaklık d olsun. 1 ) d r1 + r2 ise çemberler birbirinin dışındadır. M2 . r2 r1 M1 M1 M2 = d ı ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

İKİ ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU İki çemberin yarıçapları r1 , r2 ve merkezleri arasındaki uzaklık d olsun. M1 M2 = d ı 2 ) r1 + r2 ise çemberler dıştan teğettir. = . M2 r2 r1 M1 ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

İKİ ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU İki çemberin yarıçapları r1 , r2 ve merkezleri arasındaki uzaklık d olsun. M1 M2 = d ı ı ı 3 ) r1 - r2 ise çemberler içten teğettir. = . M2 M1 r2 r1 ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

^ ı ı ı . İKİ ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU İki çemberin yarıçapları r1 , r2 ve merkezleri arasındaki uzaklık d olsun. M1 M2 = d ı ı ı 4 ) r1 - r2 d r1 + r2 ise çemberler iki noktada kesişir. = ^ M1 M2 = 90o olursa çemberler dik kesişiyor denir. . M2 r2 r1 M1 A ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

İKİ ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU İki çemberin yarıçapları r1 , r2 ve merkezleri arasındaki uzaklık d olsun. M1 M2 = d ı ı ı 3 ) , d r1 - r2 ise çemberler kesişmez ve biri diğerinin içindedir. . . M1 M2 ANA MENÜ BÖLÜM 1 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

2. BÖLÜM ÇEMBERDE TEĞET VE NORMAL DENKLEMİ BİR NOKTANIN ÇEMBERE GÖRE KUVVETİ TEĞET PARÇASININ UZUNLUĞU ÇEMBER DEMETİ BİR DOĞRU İLE ÇEMBERİN DURUMU GEOMETRİK YER KUVVET EKSENİNİN DENKLEMİ

ÇEMBERDE TEĞET VE NOMAL DENKLEMLERİ Teğete değme noktasında dik olan doğruya NORMAL denir. Teğet, değme noktasından geçen yarıçapa dik olacağından, her teğete ait normal çemberin merkezinden geçer. Denklemi (x-a)2 + (y-b)2 = r2 olan çemberin üzerindeki A(x1,y1) noktasındaki teğet ve normalin denklemini bulmak için ; . M (a,b) A(x1,y1) t x n y Normalin iki noktası M(a,b) ve A(x,1,y1) bilindiğinden eğimi ; olarak bulunur. Denklemi ; olur. = y1-b x1-a mn = y1-b x1-a y-y1 (x-x1) ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK İPUCU

Teğet ile normal birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1 olur Teğet ile normal birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1 olur. Yani teğetin eğimi ; = 1 mn mt - y1-b x1-a olup denklemi ; . M (a,b) A(x1,y1) t x n y = y1-b x1-a y-y1 (x-x1) olur. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK İPUCU

İPUCU (x1 + x) D 2 x1x + y1y E (y1 + y) + F = 0 Teğetin denklemi yazdığımız formüllerle bulunduğu gibi, bunların sadeleştirilmiş biçimi olan aşağıdaki formüllerle kolayca bulunabilir. Bundan yaralanarak da normal denklemi bulunur. 1 ) Denklemi x2 + y2 = r2 olan çemberine ait A(x1,y1) noktasındaki teğetin denklemi, x1x + y1y = r2 dir. 2) Denklemi (x-a)2 + (y-b)2 = r2 olan çemberine ait A(x1,y1) noktasındaki teğetin denklemi, (x1-a) (x-a) + ( y1-b) (y-b) = r2 dir. 2 ) Denklemi x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 olan çemberine ait A(x1,y1) noktasındaki teğetin denklemi, dir. (x1 + x) D 2 x1x + y1y E (y1 + y) + F = 0 ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

TEĞET PARÇASININ UZUNLUĞU Kuvvetin kare kökü teğet parçasının uzunluğuna eşittir. . M(a,b) B A(x1,y1) |AB| = KUVVET |AB| = (x1- a)2 + (y1- b)2 – r 2 ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

BİR DOĞRU İLE ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU Bir doğru ile bir çemberin kesim noktalarını bulmak için ; r x y . M  y = mx + n (x-a)2 + (y-b)2 = r2  denkleminin sistemi çözülür. Elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantı  ise, 1.   0 ise doğru çemberi farklı iki noktada keser 2.  = 0 ise doğru çembere teğettir. 3.   0 ise doğru çemberi kesmez. NOT: y = mx + n doğrusunun x 2 + y 2 = r 2 çemberine teğet olma şartı r2 (1 + m) = n2 dir. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Bu tanıma göre, bir geometrik yerin belirlenmesinde ; TANIM : Aynı özellikleri taşıyan noktaların oluşturduğu kümeye bu noktaların geometrik yeri denir. Bu tanıma göre, bir geometrik yerin belirlenmesinde ;  Verilen şart yada şartları sağlayan çok sayıda nokta göz önünde bulundurulur.  Bu noktalar birleştirilir.  Oluşan geometrik şekil belirlenir. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜMLÜ SORULAR Merkezi M (1,-2) ve yarıçapı 5 olan çemberin denklemini yazınız. a 1, b -2 ve r 5 tir. (x-a)2 + (y-b)2 = r2 denkleminde yerine yazarsak (x-1)2 + (y+2)2 = 25 olur. = ÇÖZÜM ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

} ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜMLÜ SORULAR (x+1)2 + (y-3)2 = 8 çemberinin merkezinin koordinatlarını ve yarıçapını bulunuz. Verilen denklem (x-a)2 + (y-b)2 = r2 şeklinde olduğundan, a -1 b 3 = ÇÖZÜM } ise M (-1,3) ve r2 8 ise r 2 2 ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜMLÜ SORULAR Merkezi M (2,-1) ve y-eksenine teğet olan çemberin denklemi nedir? y- eksenine teğet olduğundan a r 2 ve b -1 değerlerini (x-a)2 + (y-b)2 = r2 denkleminde yazarsak (x-2)2 + (y+1)2 = 4 olur. = ÇÖZÜM ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜMLÜ SORULAR Yarıçapı 5 olan ve 1. bölgede eksenlere teğet olan çemberin denklemi nedir? 1. bölgede her iki eksene de teğet olduğundan a b r 5 tir. O halde denklemi ; (x-5)2 + (y-5)2 =25 olur. = ÇÖZÜM ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

ÇÖZÜMLÜ SORULAR ÖRNEK x2 + y2 – 2x + 4y - 4 = 0 çemberinin koordinatları ve yarıçapı nedir. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

} ÇÖZÜM r r 3 D -2 , E 4 , f -4 , tür. M (a,b) ise a ve b idi. = E -2 1 4 b } ise M (1,-2) D2 + E2 – 4F 2 r (-2)2 + 42 – 4(-4) r 3 bulunur. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

} ÖRNEK ÇÖZÜM r r 5 ÇÖZÜMLÜ SORULAR 2x2 + 2y2 – 12x - 4y - 30 = 0 çemberinin merkezinin koordinatları ve yarıçapı nedir? ÇÖZÜM } = 3 = D -2 a E b -1 ise M (3,1) -6 x2 ile y2 nin katsayılarını +1 yapmak için her iki tarafını 2’ ye bölersek x2 + y2 – 6x – 2y – 15 = 0 olur. D -6, E -2, F -15 (-6)2 + (-2)2 – 4(-15) 1 2 r r 5 bulunur. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

ÖRNEK ÇÖZÜM r r 1 ÇÖZÜMLÜ SORULAR x2 + y2 + (k-1) xy – 4x + k + 2 = 0 denklemini bir çember belirttiğine göre yarıçapını bulunuz. ÇÖZÜM k – 1 0 olmalıdır. ( x.y’ li terim bulunmayacağından ) k = 1 için denklem ; x2 + y2 – 4x + 3 = 0 olur. D -4 , E 0 , F 3 (-4)2 + (0)2 – 4.3 = 1 2 r r 1 olur. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

ÇÖZÜMLÜ SORULAR ÖRNEK (x + 3)2 + (y – 4)2 = 1 çemberi ile (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4 çemberi arasındaki en kısa uzaklık nedir? ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

. ÇÖZÜM 5 M2 B A M1 1 2 = (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4 M1 (1,1) , r1 2  (1 + 3)2 + (1 – 4)2 5 M1 M2  = 16 + 9 çember arasındaki en kısa uzaklık |AB| uzunluğudur. 5 – 3  |AB| = 2 bulunur. |AB| |M1 M2| - (2+1) ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜMLÜ SORULAR x2 + y2 = 25 çemberine A(-3,4) noktasından çizilen teğetin denklemi nedir? ÇÖZÜM A(-3,4) değerini x1 x + y1 y = 25 de yerine yazarsak -3x + 4y = 25 olur.  x1 y1 ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜMLÜ SORULAR (x-3)2 + (y+2)2 = 10 çemberine dışındaki A(1,2) noktasından çizilen teğet uzunluğu kaçtır? ÇÖZÜM (1. Yol) (x-3)2 + (y+2)2 – 10 = 0 A noktasının kuvveti P = (1-3)2 + (2+2)2 – 10 = 4 + 16 – 10 P = 10 AT 2 = 10  AT = bulunur. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

. ÇÖZÜM (2. Yol) T A(1,2) M(3,-2) (x-3)2 + (y+2)2 – 10  M (3,-2) ve r MA = (3-1)2 + (-2-2)2 = 4 + 16 = MTA diküçgeninde | AT|2 = |MA|2 - |MT|2 = 20 - 2 = 20 – 10 = 10  | AT| = bulunur. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜMLÜ SORULAR y = 2x + n doğrusunun x2 + y2 = 20 çemberine teğet olması için ‘‘ n’’ ne olmalıdır? ÇÖZÜM m 2 , r2 20 değerlerini r2 (1 + m2 ) = n2 de yerine yazalım. 20 (1 + 4 ) = n2 100 = n2 ise n = +10 olur.  ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

ÖRNEK ÇÖZÜM + ÇÖZÜMLÜ SORULAR x2 + y2 – 3x + 4y +3 = 0 ve x2 + y2 + 6x + y – 8 = 0 çemberlerininkuvvet ekseninin denklemi nedir? ÇÖZÜM x2 + y2 – 3x + 4y +3 = 0 x2 + y2 + 6x + y – 8 = 0 + -9x + 3y +11 = 0 bulunur. ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR

. ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜMLÜ SORULAR A (3,2) noktasından 4 birim uzaklıkta olan noktaların kümesini bulunuz. ÇÖZÜM A (3,2) noktasından 4 birim uzaklıkta bulunan bir nokta P(x,y) olsun.P noktalarının geometrik yerini bulmak demek x ile y koordinatları arasında bir bağıntı bulmak demektir. . A(3,-2) P(x,y) |AP| = 4  (x-3)2 + (y+2)2 = 16 çember denklemi bulunur. (x-3)2 + (y+2)2 = 4  ANA MENÜ BÖLÜM 2 KONULAR