Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 12.HAFTA İÇERİĞİ -

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Doğrusal olmayan bağıntıların doğrusallaştırılması SAYISAL YÖNTEMLER Veriler arasındaki ilişki doğrusal değilse polinom uydurmadan yararlanılabilir. Fakat bazı durumlarda polinomlardan daha iyi uyum gösteren fonksiyonlar olabilir. Bunu anlamak için öncelikle verilerin serpme grafiği çizilir. Grafiğe bakarak verilere uyacak en uygun fonksiyon görsel olarak tahmin edilir. En uygun fonksiyon bir polinom olabileceği gibi üslü fonksiyon, üstel fonksiyon ya da trigonometrik fonksiyon da olabilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Üstel ve üslü fonksiyonların eğrileri uydurulurken öncelikle doğrusallaştırma yapılır. Bunun için, Öncelikle, tahmin edilen fonksiyonların logoritmaları alınır. Bu durumda tahmin fonksiyonları doğru denklemi haline gelir. Bu denklem ise en küçük kareler yöntemi ile belirlendikten sonra gerekli dönüşümler ile üstel ve üslü fonksiyon oluşturulur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 3

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a-) Üstel Fonksiyon SAYISAL YÖNTEMLER y=a·ebx şeklindeki üstel fonksiyonda a ve b katsayılarının verilen veriler ile belirlenmesi gerekir. x y Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Üstel Fonksiyonun doğrusallaştırılması SAYISAL YÖNTEMLER y olur. lne=1 ol.dan Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x Doğrusallaştırma doğru denklemi elde edilir. lny Görüldüğü gibi lna kesme noktasını ve b eğimi göstermektedir. b=Eğim Kesme noktası = lna x 5

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER En küçük kareler yöntemi ile doğru denkleminin tahmini şekline dönüştürüldü. Daha önce açıklandığı gibi iki çözüm yöntemi kullanılarak a ve b değerleri elde edilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ya da ; Eşitliklerinden a ve b bulunur.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER Aşağıdaki tablo değerlerine uygun üstel eğri denklemini en küçük kareler yöntemine göre uydurunuz ve belirlilik katsayısını hesaplayınız. No xi yi 1 0.4 750 2 0.8 1000 3 1.2 1400 4 1.6 2000 5 2700 6 2.3 3750 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER No xi yi xi2 lnyi xilnyi 1 0.4 750 0.16 6.6201 2.6480 2 0.8 1000 0.64 6.9078 5.5262 3 1.2 1400 1.44 7.2442 8.6930 4 2.6 2000 2.56 7.6009 12.1614 5 2700 7.9010 15.8020 6 2.3 3750 5.29 8.2295 18.9279 8.3 11600 14.09 44.5035 63.7586 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü bulunur. 9

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 10

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b-) Üslü Fonksiyon SAYISAL YÖNTEMLER Üslü fonksiyon y=axb şeklindedir. Bu denklemde de a ve b katsayılarının belirlenmesi gerekir. Bunun için doğrusallaştırma uygulanır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x y

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Üslü Fonksiyonların doğrusallaştırılması SAYISAL YÖNTEMLER Üslü fonksiyon denklemini doğrusallaştırmak için her iki tarafın logaritması (log) ya da doğal logaritması (ln) alınır. y Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x Doğrusallaştırma logy Doğru denklemleri elde edilir. b=Eğim logx Kesme noktası = loga 12

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu doğru denklemi içinde en küçük kareler yöntemi uygulanırsa; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ya da 13

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER Aşağıdaki tablo değerlerine uygun üslü fonksiyon yapısındaki eğri denklemini en küçük kareler yöntemine göre uydurunuz. No xi yi 1 2 14.1421 3 17.3205 4 20 5 22.3607 6 24.4949 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 14

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER No xi yi logxi log(xi)2 logyi logxilogyi 1 2 14.1421 0.301 0.091 1.151 0.346 3 17.3205 0.477 0.228 1.239 0.591 4 20 0.602 0.362 1.301 0.783 5 22.3607 0.699 0.489 1.349 0.943 6 24.4949 0.778 0.606 1.389 1.081 98.3182 2.857 1.775 6.429 3.745 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 15

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bilinen bir yöntem ile a ve b bulunur;

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 17

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖDEV: SAYISAL YÖNTEMLER Aşağıdaki tablo değerlerine uygun üslü fonksiyon yapıdaki eğri denklemini en küçük kareler yöntemine göre uydurunuz. Uydurulan denklemin Belirlilik katsayısını (R2) hesaplayınız. n xi yi 1 2.5 7 2 3.5 5.5 3 5 3.9 4 6 3.6 7.5 3.1 10 2.8 12.5 2.6 8 15 2.4 9 17.5 2.3 20 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 18

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖDEV: SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 19

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü c-) Diğer Özel Fonksiyonlar SAYISAL YÖNTEMLER Verilen serpme diyagramları çizilerek bağımlı ve bağımsız değişken arasındaki ilişki görülebilir. Bu ilişkiye bakarak bilinen özel fonksiyonlara uyum var ise en küçük kareler yöntemi ile bu fonksiyonda tahmin edilebilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü y y y x x x 20

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER y gibi fonksiyonlar olabilir. x Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Eğer veriler arasında belirli bir veri için tekrarlamalar görülür ise trigonometrik fonksiyonlardan yararlanır. y y=sinx y=cosx gibi x 21

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Çok değişkenli EĞRİ UYDURMA SAYISAL YÖNTEMLER Bir bağımlı ve bir bağımsız değişkenin olduğu durumda doğru denklemi aşağıda belirtilen şekilde yazılmıştı: Eğer bağımsız değişken sayısı birden fazla ise bu durumda çok değişkenli doğrusal eğri uydurma yöntemi kullanılır ve aşağıdaki gibi yazılabilir: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Mühendislik uygulamalarında genellikle birden fazla bağımsız değişken için bağımlı değişkenin değişimi incelenir. Çok değişkenli doğrusal eğri uydurmada en küçük kareler yöntemi kullanılabilir. İki bağımsız değişken için en küçük kareler yöntemi uygulanırsa;

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Burada bilinmeyenler ao, a1, a2 olduğundan εT’nin bunlara göre türevi alınır ve 0’a eşitlenirse; olur. 23

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Gerekli düzenlemeler yapılırsa; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İki değişkenli doğrusal denklem takımı elde edilir. Bu denklem takımını bilinen yöntemlerin biri ile çözülerek ao, a1 ve a2 bulunur.. 24