Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 5.HAFTA İÇERİĞİ

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Sayısal İntegrasyon DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER Basit fonksiyonların (polinom, üstel ve trigonometrik gibi sürekli fks.lar) integrali analitik olarak hesaplanabilir. Fakat integrali zor olan karmaşık yapıdaki fonksiyonların analitik olarak hesaplanması ya zor ya da imkansızdır. Bu gibi durumlarda sayısal integralden yararlanılır. x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Sayısal İntegrasyon DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER x y a b y=f(x) Sayısal integrasyon yukarda verilen herhangi bir integralin değerinin yaklaşık olarak bulunmasıdır. İntegralin sınırları olan a ve b sayıları sabit ve fonksiyon bu aralıkta sürekli ise integralin sonucu sabit bir sayıdır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER Bu integralin değeri x=a ve x= b doğruları ile y=f(x) eğrisinin altında kalan alana eşittir. y x a b f(x) x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. Sayısal integrasyon verilen a-b aralığında fonksiyon n parçaya ayrılarak her bir parçanın alanının bulunması yöntemlerini içerir. Daha sonra ise toplam alan yani integralin yaklaşık değeri hesaplanır. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Sayısal İntegrasyon Yöntemleri DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER Dikdörtgenler Yöntemi Yamuk (Trapez) Yöntemi Simpson Yöntemi Orta Nokta Yöntemi Gauss Yöntemi x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Dikdörtgenler Yöntemi DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER y x b=xn f(x) h x1 x2 … x3 a=xo yo y1 y2 y3 yn so s1 s2 Sn-1 yo= f(xo) ve yn= f(xn) so= h·yo = h· f(xo) x y a b y=f(x) s1= h·y1 = h· f(x1) . Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Sn-1= h·yn-1 = h· f(xn-1) a b y x a ve b arasını n adet çubuk ile böldüğümüzde oluşan dikdörtgenlerin alanının hesaplanması amaçlanır. Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. İntegralini n= 6 için dikdörtgenler yöntemini kullanarak bulunuz. y x y=f(x) aı a b I. Basamak Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü xn=8 ve xo=1 a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. II. Basamak k xk f(xk) 1 2,16666 0,6224 2 3,3333 0,4068 3 4,5 0,2928 4 5,6667 0,2247 5 6,833 0,1814 6 8 0,1515 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Yamuk Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: Birkaç veya bütün köklerin bulunması Köklerin gerçek ya da sanal olmasına Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazılarında bir denklem takımının çözümüne daha uygundur Bu yöntemde integrasyon n sayıda yamuk kullanılarak hesaplanır. y f(x) fi =f(xi) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi h hi =i. dikdörtgenin genişliği hi =xi+1 - xi xo=a xi x xn=b Eğer dikdörtgenin genişliği sabit ise h=(b-a)/n = (xn-xo)/n

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İntegralini [a,b] aralığında n eşit parçaya ayıralım. BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. y y=f(x) Her bölme noktasından dikler çıkılır bu dikler ile f(x) eğrisinin kesiştiği noktalar birer doğru ile birleştirilir. Bu durumda n adet yamuk elde edilir. G Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü F B C E D A s1 s2 … … sn yo y1 y2 … … yn h h h … h a=xo x1 x2 … b=xn x

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. y y=f(x) G F xoABx1 yamuğunun alanı B C E D A S1=(1/2)·h·(yo+y1) s1 s2 … … sn yo y1 y2 … … yn S2=(1/2)·h·(y1+y2) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü h h h … h f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) … a=xo x1 x2 … b=xn x Sn=(1/2)·h·(yn-1+yn) ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi Toplam Alan S=S1+S2+…+Sn x y y1=x y2 = g(x) Kök xo Iraksak x y Yakınsak y1=x y2 = g(x) Kök xo x1 x2 S=(1/2)·h·(yo+y1)+…+(1/2)·h·(yn-1+yn) S=(1/2)·h·(yo+2y1+2y2+…+2yn-1+yn) S=h·((yo+yn)/2+y1+y2+…+yn-1) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü yo=f(xo) yn=f(xn) Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır. xo=a xn=b alarak yeniden düzenlersek olur

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır İntegralini n=4 için yamuk yöntemi kullanarak hesaplayınız I. Adım : xo=0 ve xn=1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan II. Adım : k xk f(xk) 1 0,25 0,94187 2 0,50 0,8 3 0,75 0,64 4 0,5 y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır III. Adım : Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan Bu fks.için gerçek integral : y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV: integralinin değerini n=4 için yamuk ve dikdörtgen yöntemleri ile çözünüz. Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması