DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ

Değişkenlik (Yayılım) Ölçüleri İki farklı anakütleyi birbirinden ayırmak için her zaman yalnızca yer ölçüleri yeterli olmayabilir. Dağılımları birbirinden ayırt etmede kullanılan ve genellikle aritmetik ortalama etrafındaki değişimi dikkate alarak hesaplanan istatistiklere değişkenlik(yayılım) ölçüleri adı verilir.

Aşağıdaki iki grafik n = 1500 hacimlik alınan iki farklı örnek doğrultusunda oluşturulan histogramlardır. Her iki örnek ortalaması yaklaşık olarak 100 olduğuna göre iki örneğin aynı anakütleden alındığı söylenebilir mi?

İki örneğin aynı anakütleden geldiği söylenemez. Bunun nedeni alınan örnek sonucunda oluşturulan histogramda dağılımların ortalama etrafında farklı olmasından kaynaklanmaktadır. Dağılımları birbirinden ayırt etmede kullanılan yayılım ölçüleri aritmetik ortalama etrafındaki değişimleri dikkate alan tanımlayıcı istatistiklerdir. Bir veri setinde aritmetik ortalamalardan her bir gözlemin farkı alınıp bu değerlerin tümü toplandığında sonucun 0 olduğu görülür.

Örnek: 4,8,9,13,16 şeklinde verilen bir basit seri için; Bu örnekten görüleceği üzere gözlemlerin aritmetik ortalamadan uzaklığı alıp toplandığında 0 elde edildiğinden dolayı bu problem mutlaka değer kullanarak veya karesel uzaklık alınarak ortadan kaldırılır.

1) Varyans Ortalama mutlak sapmada kullanılan mutlak değerli ifadeler ile işlem yapmanın zor hatta bazı durumlarda imkansız olması sebebiyle yeni değişkenlik ölçüsüne ihtiyaç bulunmaktadır. Mutlak değer ifadesindeki zorluk aritmetik ortalamadan farkların karelerinin alınmasıyla ortadan kalkmaktadır. Veri setindeki her bir gözlem değerinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin toplamının örnek hacminin bir eksiğine bölünmesinden elde edilen değişkenlik ölçüsüne örnek varyansı adı verilir.

m : Populasyon Ortalaması N : Populasyon Hacmi Basit seriler İçin: Populasyon Varyansı: m : Populasyon Ortalaması N : Populasyon Hacmi Örnek Varyansı : Gruplanmış Seriler İçin: Sınıflanmış Seriler İçin :

ifadesi istatistikte bir çok formülde kullanılır ve kareler toplamı olarak adlandırılır. Matematiksel olarak hesaplama kolaylığı sağlaması açısından formüllerde kareler toplamının açılımı olan aşağıdaki eşitlik kullanılabilir.

Basit Seriler İçin: Gruplanmış Seriler İçin: Sınıflanmış Seriler İçin :

2) Standart Sapma Varyans hesaplanırken kullanılan verilerin kareleri alındığından verilerin ölçü biriminin karesi varyansında ölçü birimi mevcut ölçü birimini karesi olur. Örnek: kg2, cm2 gibi. Bu nitelendirme veriler açısından bir anlam taşımayacağından varyans yerine ortalama etrafındaki değişimin bir ölçüsü olarak onun pozitif karekökü olan standart sapma kullanılır.

Populasyon Standart Sapması: Basit seriler İçin: Populasyon Standart Sapması: m : Populasyon Standart Sapması N : Populasyon Hacmi Örnek Standart Sapması : Gruplanmış Seriler İçin: Sınıflanmış Seriler İçin :

Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize notları için varyans ve standart sapmayı hesaplayınız. 30,41,53,61,68,79,82,88,90,98 → İstatistik I vizesinden alınan notların ortalama etrafında yaklaşık olarak 22 puan değiştiği görülmektedir.

Aynı soru kareler ortalamasının açılımı kullanılarak çözüldüğünde aynı sonuçları verecektir. 30,41,53,61,68,79,82,88,90,98

Örnek: Yandaki tabloda bir Samsung bayisindeki LCD televizyonların ekran boyutlarına göre satış miktarları verilmiştir. Frekans dağılımının varyans ve standart sapmasını hesaplayınız. Grup Frekans xifi xi2 fi 51 1 51 2601 66 3 198 13068 72 4 288 20736 82 5 410 33620 94 7 658 61852 ∑fi =20 1605 131607

Örnek: Aşağıdaki tabloda 30 günlük süre içinde bir restoranın kullandığı et miktarının dağılımı verilmiştir. Günlük kullanılan et miktarının varyansını ve standart sapmasını hesaplayınız.

gözlemlerin %68.27’sini gözlemlerin %57.5’ini kapsar

3) Range (Değişim Aralığı) Veri setindeki yayılımı ifade etmede kullanılan en basit istatistik değişim aralığıdır. Genel olarak basit seriler için kullanılır. En büyük gözlem değeri ile en küçük gözlem değeri arasındaki fark değişim aralığını verir. Veri setindeki tek bir gözlemin aşırı derecede küçük veya büyük olmasından etkilendiği için bir başak ifadeyle örnekte yer alan sadece iki veri kullanılarak hesaplanmasından dolayı tüm veri setinin değişkenliğini açıklamak için yetersiz kalmaktadır.

R = Xmax – Xmin X: SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ R = Xmax – Xmin +1 X: KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ Örnek: Bir fabrikada çalışan 5 endüstri mühendisinin bildiği yabancı dil sayıları aşağıda verilmiştir. Buna göre bu mühendislerin bildiği yabancı dil sayısı için değişim aralığını hesaplayınız. 2,0,1,2,0 Xİ = 0,0,1,2,2. n = 5 i: 1,2,3,4,5. R = Xmax – Xmin +1 = 2 – 0 + 1 = 3

4) Değişkenlik(Varyasyon) Katsayısı İki veya daha fazla populasyon üzerinde aynı şans değişkenleri için yapılan araştırmalarda değişkenliklerin karşılaştırılması için kullanılan bir ölçüdür. Standart sapmayı ortalamanın bir yüzdesi olarak ifade eden ve iki veya daha fazla populasyondaki varyasyonu (değişkenliği) karşılaştırmada kullanılan ölçüye varyasyon(değişkenlik) katsayısı denir. Varyasyon Katsayısı: %’ler azaldıkça araştırmanın hassasiyeti artar. Örnek: İstanbul’da ve Ankara’da yaşayan ailelerin aylık gelirlerinin değişkenliklerinin karşılaştırılması

Örnek: Kuruyemiş satan bir dükkanda bir haftalık sürede satılan leblebi, fıstık ve bademlerin ortalamaları ve standart sapmaları aşağıda verilmiştir. Buna göre kuruyemişleri değişkenlikleri açısından karşılaştırınız ve kuruyemişin değişkenliğinin daha fazla olduğunu belirtiniz. s Leblebi 30 kg. 5 kg. Fıstık 40 kg. 4 kg. Badem 10 kg. 3 kg. Üç kuruyemişin değişkenlikleri karşılaştırıldığında en küçük standart sapma değeri bademde olmasına rağmen en büyük varyasyon katsayısına sahip olduğundan en fazla değişkenliğin bademde olduğu görülür. Aritmetik ortalamalar içerisinde standart sapma yüzdelerine bakıldığında en büyük yüzde bademdedir.

Çarpıklık (Asimetri) Ölçüleri Populasyonları birbirinden ayırmak için her zaman yalnızca yer ve yayılım ölçüleri yeterli olmayabilir. Aşağıda iki farklı populasyondan alınmış örnekler için oluşturulan histogramlar verilmiştir.

Şekilden görüleceği üzere A ve B örneklerinin aynı ortalamaya ve yaklaşık olarak aynı değişkenliğe sahip olmalarına rağmen bu iki örneğin açıkça aynı populasyondan gelmediği söylenir. Asimetri (çarpıklık) ifadesi simetrik olmayan anlamını taşımaktadır. Şekillere bakıldığında frekansların A’da daha çok sol tarafta (küçük xi değerlerinde), B’de ise daha çok sağ tarafta (büyük xi değerlerinde), toplandığı görülmektedir.

BOWLEY ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ Asimetri Ölçüleri PEARSON ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ SkP < 0 →Negatif çarpık(Sola) SkP > 0 → Pozitif Çarpık(Sağa) SkP = 0 ise dağılış simetrik veya BOWLEY ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ Skb < 0 → Negatif çarpık(Sola) Skb > 0 → Pozitif Çarpık(Sağa) Skb = 0 ise dağılış simetrik

Simetrik Dağılım A.O = Med = Mod Sağa çarpık dağılım Sola çarpık dağılım A.O < Med < Mod İki modlu simetrik dağılım Modu olmayan dağılım Tekdüzen dağılım

Sağa Çarpık , Pozitif Asimetri Sağa Çarpık , Pozitif Asimetri Örnek: Aşağıdaki tabloda 30 günlük süre içinde bir restoranın kullandığı et miktarının dağılımından elde edilen bazı tanımlayıcı istatistikler verilmiştir. Buna göre pearson ve bowley asimetri ölçülerini hesaplayıp yorumlayınız. Aritmetik Ort. Mod Medyan Q1 Q2 s2 46,6 45,4 46,2 41,5 51,9 54,46 Sağa Çarpık , Pozitif Asimetri Sağa Çarpık, Pozitif Asimetri Sağa Çarpık , Pozitif Asimetri

Basıklık Ölçüsü Herhangi bir olasılık fonksiyonunun şekli ile ilgili parametrelerden bir tanesi de basıklık ölçüsüdür. Basıklık Ölçüsü ortalamaya göre dördüncü momentten gidilerek hesaplanır ve 4 olarak gösterilir.

MOMENTLER: Bir rassal değişkenin dağılım biçimini, yani o değişkenin olasılık dağılımının yada olasılık yoğunluğunun çizimindeki biçimi betimlediklerinden dolayı momentler istatistikte önemlidir. Xi rassal değişkeninin, µ ile gösterilen aritmetik ortalama dolayındaki r. momenti, (X - µ)r’nin beklenen değeridir.

MOMENTLER: Aritmetik ortalama µ ( ) etrafındaki birinci momenti sıfır ve ikinci momenti ise varyansı ( ) dır. Üçüncü ve dördüncü momentler ise aşağıdaki formüllerden hesaplanabilmektedir:

4 < 3 ise Seri Sivri Ya da Yüksek Herhangi bir olasılık fonksiyonunun şekli ile ilgili parametrelerden bir tanesi de basıklık ölçüsüdür. Basıklık Ölçüsü ortalamaya göre dördüncü momentten gidilerek hesaplanır ve 4 olarak gösterilir. Basit Seri İçin 4 = 3 ise Seri Normal 4 < 3 ise Seri Basık 4 < 3 ise Seri Sivri Ya da Yüksek Örnek:Aşağıdaki dağılım için ilk dört momenti bulunuz. X 12 14 16 18 20 22 f 1 4 6 10 7 2

X f fX 12 1 -5.6 31.36 -175.616 983.4496 14 4 56 -3.6 -14.4 51.84 -186.624 671.8464 16 6 96 -1.6 -9.6 15.36 -24.576 39.3216 18 10 180 0.4 4.0 1.60 0.640 0.2560 20 7 140 2.4 16.8 40.32 96.768 232.2432 22 2 44 4.4 8.8 38.72 170.368 749.6192 30 528 179.20 -119.040 2676.7360 Dağılımın Aritmetik ortalaması:

ÖRNEK: Aşağıdaki gruplandırılmış serinin, X f 10 8 20 25 A-) Person çarpıklık katsayısını, 30 10 , B-) Moment çarpıklık katsayısını 40 5 C-) Moment basıklık katsayısını 50 2 HESAPLAYINIZ. X f ∑f f.X f.X2 10 8 80 800 20 25 33 500 10000 30 43 300 9000 40 5 48 200 8000 50 2 100 5000 1180 32800 Kümülatif frekans serisine baktığımızda N/2=25’inci değerin yani 20’nin medyana eşit olduğunu görürüz. Frekansı en büyük olan değerde 20’ye eşittir.Bu dağılımın mod ve medyanı birbirine eşittir.

X f 10 8 -13.6 -2515.456 34210.2016 -20123.648 273681.6128 20 25 -3.6 -46.656 167.9616 -1166.400 4199.0400 30 6.4 262.144 1677.7216 2621.440 16777.2160 40 5 16.4 4410.944 72339.4816 22054.720 361697.4080 50 2 26.4 18399.744 485753.2416 36799.488 971506.4832 40185.600 1627861.7600 Aritmetik ortalama etrafındaki üçüncü moment ve moment çarpıklık katsayısı: dağılım sağa çarpıktır. Aritmetik ortalama etrafındaki dördüncü momenti ve moment basıklık katsayısı: dağılım normale göre diktir.