Lineer Denklem Çözümü: Gauss Elemesi

Giriş Mühendisler ve araştırmacılar sıklıkla işlerinde birden fazla denklemi çözmekle uğraşırlar. Bazen karşılarına lineer denklem sistemleri çıkar ax+by+cz=d Elektrik Devreleri : Kirchhoff Kuralları Elastikiyet Isı Transferi

Ancak birçok fiziksel sistem doğasından ötürü non-lineerdir Atmosfer olayları Kaos Teorisi Non-lineer optik Genel Görelilik Bu sebepten dolayı çoğunlukla lineer olmayan sistemle karşılaşırlar.

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü: Gauss Elemesi Yöntemi Öncelikle lineer denklem çözümünü anlamaya çalışalım Örneğin aşağıdaki denkleme bu yöntemi uygulayalım. a 2x1 + 8x2 + 2x3 = 14 aı x1 + 4x2 + x3 = 7 b x1 + 6x2 - x3 = 13 a denklemi x1 katsayısına bölünür b x1 + 6x2 - x3 = 13 c 2x1 - x2 + 2x3 = 5 c 2x1 - x2 + 2x3 = 5 aı 1*x1 + 1*4x2 + 1*x3 = 1*7 aı denklemi b denkleminin x1 Katsayısı ile çarpılır aı denklemi b denkleminden çıkarılır b x1 + 6x2 - x3 = 13 c 2x1 - x2 + 2x3 = 5 aı x1 + 4x2 + x3 = 7 b (1-1) x1 + (6-4) x2 + (-1-1) x3 = (13-7) böylece b denklemindeki ilk terim elenir c 2x1 - x2 + 2x3 = 5

aı x1 + 4x2 + x3 = 7 b 2x2 - 2x3 = 6 c 2x1 - x2 + 2x3 = 5 aı b denklemindeki ilk terim elendikten sonra sıra c denklemine geldi. Şimdide c nin ilk sabiti ile aı denklemini çarpalım. Bu sabit 2 dir. b 2x2 - 2x3 = 6 c 2x1 - x2 + 2x3 = 5 aı 2 * x1 + 2 * 4x2 + 2 * x3 = 2 * 7 Daha sonra aı denklemini c den çıkaralım. b 2x2 - 2x3 = 6 c 2x1 - x2 + 2x3 = 5 aı x1 + 4x2 + x3 = 7 aı x1 + 4x2 + x3 = 7 b 2x2 - 2x3 = 6 b 2x2 - 2x3 = 6 c (2-2) x1 + (-1-8) x2 + (2-2) x3 = (5-14) c -9 x2 = -9

İstenmeden elendi. Ancak elenmeseydi de bir şey değişmeyecekti.) x1 + 4x2 + x3 = 7 a 2x1 + 8x2 + 2x3 = 14 Denklemimizin son hali böyledir. Artık aı yerine a denklemini yazalım. b 2x2 - 2x3 = 6 b 2x2 - 2x3 = 6 c -9 x2 = -9 c -9 x2 = -9 Şimdiye kadar a denklemini pivot denklem a nın x1 katsayısınıda pivot sabiti kabul ederek b ve c denklemlerindeki x1 in katsayısı elendi. (c deki x3 katsayısıda İstenmeden elendi. Ancak elenmeseydi de bir şey değişmeyecekti.) Buradan devam ederek bu sefer b denklemi pivot denklem kabul edilir ve yukardaki işlemler tekrarlanır a 2x1 + 8x2 + 2x3 = 14 bı denklemi c denkleminin x2 Katsayısı ile çarpılır b 2x2 - 2x3 = 6 b denklemi x2 katsayısına bölünür bı denklemi bulunur. c -9 x2 = -9 Bu şeklilde işlemler devam eder. Ancak c denkleminde x3 olmadığı için x2 değeri bellidir.Buradan b denklemindeki x3 un değeri bulunur. Buradan da a denklemindeki x1 İn katsayısı bulunur.

a 2x1 + 8x2 + 2x3 = 14 x1 = 5 b 2x2 - 2x3 = 6 x3 = -2 c -9 x2 = -9 x2 = 1 Böylece 3 bilinmeyenli 3 denkleme, gauss eleme yöntemi ile çözüm bulundu.

Ele çözmemiz fazla zamanımızı almadı. Peki denklem ve bilinmeyen sayısı binleri bulan fiziksel bir sistemimiz olsaydı nasıl çözerdik? Örneğin, Çok ilmekli bir elektrik devresi; Böyle bir devreyi çözebilmek için N adet ilmek için N tane denklem yazılabilmelidir. Bundan dolayı bilgisayar yoluyla hesaplama zorunlu olmuştur