MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER HER ÖĞRENCİ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ATAŞEHİR-2012 1 1

2 İÇİNDEKİLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 3 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM KÖKLERİNİN BULUNMASI 7 ÇARPANLARA AYIRARAK KÖK BULMA 7 HAREZMİ KİMDİR? 11 DİSKRİMİNANT YARDIMIYLA KÖK BULMA 12 İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR 38 KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KURMA 58 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMELERİNİN BULUNMASI 69 İKİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ 106 KAYNAKÇA 112 2

Ana Sayfa

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM KÖKLERİNİN BULUNMASI İkinci dereceden denklemin kökleri iki yolla bulunabilir. I.yol : Çarpanlara ayırma II.yol:Diskriminant yardımı ile Genellikle, daha kısa ve kolay olduğu için çarpanlara ayırma yolunu kullanırız.Ancak ifade çarpanlara zor ayrılıyorsa diskriiminant kullanarak soruyu çözeriz. I. ÇARPANLARA AYIRARAK KÖK BULMA Ana Sayfa

 ÖRNEK ÇÖZÜM x2 +7x – 8 = ( x + 8)(x – 1 ) = 0 x2 +7x – 8 = 0 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM  x2 +7x – 8 = ( x + 8)(x – 1 ) = 0 x + 8 = 0 veya x – 1 = 0 8 –1 x = – 8 veya x = 1 Çözüm Kümesi Ç.K = { – 8, 1 }

ÜSTAT HAREZMİ’Yİ TANIYOR MUSUNUZ? Ana Sayfa

ÖRNEK ÇÖZÜM II. DİSKRİMİNANT YARDIMIYLA KÖK BULMA 2x2 – 7x + 1 = 0 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM Önceki sorulardaki denklemler kolayca çarpanlarına ayrılırken yukarıdaki ifadeyi çarpanlarına ayırmak kolay değildir. Bu problemi çözmek için üstat matematikçiler aşağıdaki gibi kolaylaştırmışlar. Aşağıdaki genel çözümü inceleyiniz. Ana Sayfa

ÖRNEK 2x2 – 7x + 1 = 0 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM Sıfırdan farlı k reel sayısı için, ax2 + bx + c = 0 denklemi ile k( ax2 + bx + c) = 0 denkleminin kökleri aynıdır. ax2 + bx+c =0 denkleminin bir kökü x1 = p + ise x2 = p – Diskriminant ile kök bulma yolunu, ifadeyi çarpanlarına ayıramadığınızda kullanmaya alışınız.

ÖRNEK

ÖRNEK

( Çift katlı kök, çözüm kümesi tek elemanlı da denir) ( Yukarıdaki köklerde  yerine negatif sayı yazılırsa sayı reel olmaz.)

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK 2012-LYS 31

AX2 + BX + C = 0 DENKLEMİNİN ÖZEL DURUMLARI

ÖRNEK ( m – 3 )x2 + 2(m2 – 9 )x + 18 = 0 denkleminin kökleri simetrik ise m kaçtır? A) – 3 B) – 2 C) 2 D) 3 E) 4

4.

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR Ana Sayfa

ÖRNEK

ÖRNEK

Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİ KURMA Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, ( x – x1)(x – x2) = 0 biçimimdedir. Bu denklem düzenlenirse; x2 – ( x1 + x2)x + ( x1.x2) = 0 denklemi elde edilir. Kökler toplamı T ile, kökler çarpımı Ç ile gösterilirse kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem x2 – ( T )x + ( Ç ) = 0 şeklinde yazılır. Ana Sayfa

ÖRNEK

ÖRNEK

Ana Sayfa

ÖRNEK

ÖRNEK l 4x – 20 I = 20 – 4x denklemini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır? ÇÖZÜM l 4x – 20 I = 20 – 4x eşitliğinin olması 4x – 20 < 0 olması anlamına gelir. 4x – 20 < 0  4x < 20 x < 5 ; x = 5 içinde eşitliğin sağlandığı unutulmamalı. x  { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } olup 6 doğal sayı vardır.

I 2x + 3 I = 2 – x denkleminin köklerini bulunuz. ÖRNEK I 2x + 3 I = 2 – x denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM 1.YOL 2x + 3 = 2 – x x = –1/3 l 2x + 3 l = 2 – x x  { –1/3, – 5 } 2x + 3 = – ( 2 – x ) Bu x değerlerinin I 2x + 3 I = 2 – x denklemini sağlayıp sağlamadığı mutlaka kontrol edilmelidir. 2x + 3 = –2 + x x = – 5

I 2x + 3 I = 2 – x denkleminin köklerini bulunuz. ÖRNEK I 2x + 3 I = 2 – x denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM 2.YOL 2x + 3  0 ise x  – 3 / 2 2x + 3 < 0 ise x < – 3 / 2 2x + 3 = 2 – x 2x + 3 = – ( 2 – x ) 2x + x = 2 – 3 2x + 3 = –2 + x x = –1/3 2x – x = –2 – 3 x = – 1 / 3 değeri – 3 / 2 den büyük ya da eşit ise kök anlamı kazanır. Aksi halde kök olarak alınmaz. x = – 5 x = – 5 değeri – 3 / 2 den küçük ise kök anlamı kazanır. Çözüm kümesi :{ – 1/ 3, – 5 }

  ÖRNEK x – 2 + I x – 1 I = 2x + 5 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM İster 1. yolla çözün ister 2. yolla x – 2 + l x – 1 l = 2x +5 – x + 2 l x – 1 l = 2x +5 – x + 2 l x – 1 l = x + 7  x – 1 = x + 7 x – 1 = – ( x + 7 ) x – 1 = – x – 7 x + x = – 7 + 1  x = – 3 2x = – 6

 ÖRNEK 2x + I x I + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM İster 1. yolla çözün ister 2. yolla x  0 x < 0 2x + x + 9 = 0 2x – x + 9 = 0 3x = – 9 x = – 9  x = – 9 değeri 0 dan küçük olduğundan kök olarak alınabilir. x = –3 x = –3 değeri 0 dan büyük ya da eşit olmadığından kök olarak alınmaz. Çözüm kümesi :{ – 9 }

x2 – 5IxI + 6 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÖRNEK x2 – 5IxI + 6 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM x < 0 için x  0 için x2 – 5x+ 6 = 0 x2 – ( –5x ) + 6 = 0 x –3 x2 + 5x + 6 = 0 x –2 x 3 ( x – 3)( x – 2 ) = 0 x 2 x4 = 2 ( x + 3)( x + 2 ) = 0 x3 = 3 x1 = –3 x2 = –2 x  0 şartı sağlandığından 3 ve 2 çözüm kümesine alınabilir. Ç2 = { 3, 2 } x < 0 şartı sağlandığından – 3 ve – 2 çözüm kümesine alınabilir. Ç1 = {– 3, – 2 } Ç.K = { – 3, – 2, 2, 3 }

x + 2I x I – 4 = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır ? ÖRNEK 2000 x + 2I x I – 4 = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır ? ÇÖZÜM İster 1. yolla çözün ister 2. yolla x  0 x < 0 x + 2x – 4 = 0 x – 2x – 4 = 0 3x = 4 x = – 4 x = – 4 değeri 0 dan küçük olduğundan kök olarak alınabilir. x = 4/3 x = 4/3 değeri 0 dan büyük ya da eşit olduğundan kök olarak alınabilir. 3 8 4 - =

I x – 2 I.I x + 5 I = x – 2 eşitliğini sağlayan ÖRNEK 2002 I x – 2 I.I x + 5 I = x – 2 eşitliğini sağlayan x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A ) { – 4, – 2 } B ) { – 4, 2 } C ) { – 2 } D ) { 2 } E ) { 2, 4 } ÇÖZÜM " Eşitliğini sağlayan x değerlerinin kümesi nedir ? " denildiğinde cevap şıklarını kontrol etmek daha kolay olacaktır.

 ÖRNEK l 2x – 5 l = l x – 1 l denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 1. Yol  l 2x – 5 l = l x – 1 l ( 2x – 5 )2 = ( x – 1 )2 4x2 – 20x + 25 = x2 – 2x + 1 3x2 – 18x + 24 = 0 x2 – 6x + 8 = 0 – 4 – 2 Ç.K = { 4, 2 } Kökler, yukarıdaki çarpanların ters işaretlisidir

 ÖRNEK l 2x – 5 l = l x – 1 l denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 2. Yol l f(x) l = l g(x) l ise f(x) = g(x) veya f(x)= – g(x) 2x – 5 = x – 1 2x – 5 = – ( x – 1) 2x – x = 5 – 1 2x – 5 = – x + 1 x = 4 2x + x = 5 + 1  3x = 6 x = 2 Ç.K = { 4, 2 }

 ÖRNEK l x – 2 l = l x + 8 l denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ( x – 2 )2 = ( x + 8 )2 x2 – 4x + 4 = x2 + 16x + 64 –16x – 4x = 64 – 4 –20x = 60 x = –3 Ç.K = { – 3 }

I 9 – x2 I = I 3 – x I olduğuna göre x ’ in alacağı ÖRNEK 2003 I 9 – x2 I = I 3 – x I olduğuna göre x ’ in alacağı değerlerin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM l f(x) l = l g(x) l ise f(x) = g(x) veya f(x)= – g(x) 9 – x2 = 3 – x 9 – x2 = – ( 3 – x ) x2 – x – 6 = 0 9 – x2 = – 3 + x – 3 x2 + x – 12 = 0 2 4 Kökler yukarıdaki çarpanların ters işaretlisidir – 3 x1 = 3 x2 = –2 Kökler yukarıdaki çarpanların ters işaretlisidir x3 = 3 x4 = –4 Ç.K = { – 2, – 4, 3 } – 2 – 4 + 3 = – 3

I 9 – x2 I = I 3 – x I olduğuna göre x ’ in alacağı ÖRNEK 2003 I 9 – x2 I = I 3 – x I olduğuna göre x ’ in alacağı değerlerin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM 2.YOL I 9 – x2 I = I 3 – x I ; 9 – x2 =( 3 – x )( 3 + x ) I ( 3 – x ) .( 3 + x ) I = I 3 – x I I ( 3 – x ) I .I ( 3 + x ) I = I 3 – x I I ( 3 – x ) I .[ I ( 3 + x ) I – 1 ] = 0 I 3 + x I = 1 I 3 – x I = 0 3 + x = 1 3 – x = 0 3 + x = – 1 x = – 2 x = – 4 x = 3

I x –2 I = I x2 –3x + 2 I denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK I x –2 I = I x2 –3x + 2 I denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM I x – 2 I = I x2 – 3x + 2 I x2 –3x + 2 I x – 2 I = I (x – 2 ).( x – 1) I x – 2 x – 1 I x – 2 I = I x – 1 I . I x – 2 I ; I ( x – 2 ) I .[ I x – 1 I – 1 ] = 0 I x – 1 I = 1 I x – 2 I = 0 x – 2 = 0 x – 1 = 1 x – 1 = – 1 x = 2 x = 2 x = 0 Ç.K = { 0, 2 }

  ÖRNEK l 2x+4 l + l x – 5 l =11 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Mutlak değerin içindeki ifadelerin köklerinin farklı olduğu denklem ve eşitsizliklerde , tablo yapıp mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleyerek denklemleri oluşturmak, kolaylık sağlar.   2x + 4 = 0 x = – 2 x – 5 = 0 x = 5 x –  x < – 2 – 2 – 2 < x < 5 5 x > 5  – + 2x + 4 + x – 5 – – + – ( 2x + 4 ) – ( x – 5 ) = 11 ( 2x + 4 ) – ( x – 5 ) = 11 (2x + 4 ) + ( x – 5 ) = 11 x1 = – 10/3 x2 = 2 x3 = 4 x1 sayısı ( – 2 ) den küçük olduğundan çözüm olarak alınır. Ç1={ – 10/3 } x2 sayısı ( – 2 ) ile 5 arasında olduğu için çözüm olarak alınır. Ç2={ – 2 } x3 sayısı 5 den büyük olmadığından çözüme dahil edilemez. Ç3= – 2 ve 5 değerlerinin denklemi sağlayıp sağlamadığı mutlaka denenmelidir. Ç.K = {–10/3,2 }

ÖRNEK 2001 I x– 4 I + I x I = 8 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır ? ÇÖZÜM  x = 0 x – 4 = 0 x = 4 x –  x < 0 0 < x < 4 4 x > 4  – x + + x – 4 – – + – ( x ) – ( x – 4 ) = 8 ( x ) – ( x – 4 ) = 8 ( x ) + ( x – 4 ) = 8 x1 = – 2 4 = 8 x3 = 6 x1 sayısı ( 0 ) dan küçük olduğundan çözümün bir elemanıdır. Ç1= { – 2 } 4=8 ( yanlış ifade ) çıkması 0 ile 4 arasındaki tüm sayıların çözümün elemanı olmadığı anlamına gelir. Ç2=  x3 sayısı ( 4 ) den büyük olduğundan çözümün bir elemanıdır. Ç3= { 6 } 0 ve 4 değerlerinin denklemi sağlayıp sağlamadığı mutlaka denenmelidir. x = 0 için için denklem sağlanmadığından 0 çözeme dahil değildir. x = 4 için denklem sağlanmadığından 4 çözüme dahil değildir. Ç.K= {–2,6 }

İKİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ Ana Sayfa

BU ÇALIŞMAYI HAZIRLARKEN AŞAĞIDAKİ KİTAPLARDAN İKTİBAS YAPILMIŞTIR. www.muratguner.net BU ÇALIŞMAYI HAZIRLARKEN AŞAĞIDAKİ KİTAPLARDAN İKTİBAS YAPILMIŞTIR. 1- KAREKÖK YAYINLARI 2-CELAL AYDIN YAYINLARI 3-KÜLTÜR YAYINLARI 4-FEM YAYINLARI 5-ZAFER YAYINLARI 6-TÜMAY YAYINLARI Ana Sayfa