A409 Astronomide Sayısal Çözümleme VI. Nümerik Türev

Türev

İleri Türev Formülleri Taylor serisi Birinci türevi çekersek ; Taylor serisi İkinci türevi çeker ve 1. türev ifadesinde yerine koyarsak ;

İleri Türev Formülleri

Geri Türev Formülleri Taylor serisi

Merkezi Türev Formülleri Taylor serileri Taraf tarafa çıkarır birinci türevi çekersek ; Taraf tarafa toplar İkinci türevi çekersek ;

Merkezi Türev Formülleri

Türev Formülleri Örnek : İleri Türev Formülü GeriTürev Formülü Merkezi Türev Formülü

Richardson Ekstrapolasyonu Gördüğünüz gibi nümerik türevin hassasiyetini arttırmanın bir yolu daha fazla sayıda nokta almak (Taylor serisinde daha derine gitmek), bir diğeri ise adım saysını (h'yi) küçültmektir. Bir başka yol ise iki türev tahminine dayanarak bir üçüncüsünü hesaplamak üzere Richardson ekstrapolasyonunu kullanmaktır. Burada D(h2) ve D(h1), iki farklı adım büyüklüğü (h1,h2) için ileri, geri ya da merkezi türev formülleri kullanılarak elde edilen türevleri göstermektedir. Aynı tekniği integral hesabı için de kulanmak mümkündür.! Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 ve h2=0.25 adım büyüklükleri için birinci dereceden merkezi türev formüllerini ve Richardson ekstrapolasyon formülünü kullanarak hesaplayınız.

Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri Lagrange İnterpolasyon formülünü el alıp ; Türevini alacak olursak ; Bu şekilde bir xi noktasındaki türevi ondan bir sonraki ve bir önceki noktayı kullanarak elde edebiliriz! Üstelik bu nokta ile diğer noktalar arasındaki uzaklık da aynı olmak zorunda değil!

Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri

Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız.

Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h2=0.25 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız.

Kısmi Türevler

Kaynaklar Numerical Methods for Engineers 6th ed., Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, McGraw Hill, 2010 Numerical Methods, Rao V. Dukkipati, New Age International, 2010 Numerical Analysis Using Matlab and Excel 3rd ed., Steven T. Karris, Orchard Publications, 2007