KONU: FONKSİYONLARIN LİMİTİ DERS: MATEMATİK KONU: FONKSİYONLARIN LİMİTİ

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ SONSUZ İÇİN LİMİT SONSUZ LİMİT FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ TEOREMLER LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI ÇÖZÜMLÜ TEST

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ Tanım: olmak üzere, fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisi için dizisine; dizisinin f fonksiyonuna göre görüntü dizisi denir. dizisi için, görüntü dizisi; dir. GÖRÜNTÜLER DİZİSİ ÖRNEK ANA MENÜ

dizisi ve f(x)=2x+3 fonksiyonu veriliyor: ÖRNEK: dizisi ve f(x)=2x+3 fonksiyonu veriliyor: dizisinin limitini bulalım. görüntüler dizisini bulalım. görüntüler dizisinin limitini bulalım. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: dir. bulunur.

BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ Tanım: olmak üzere, ya da fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri kümesinde bulunan ve a’ya yakınsayan her dizisi için, dizileri bir L sayısına yakınsıyorsa; x, a’ya giderken f(x)’in limiti L’dir, denir ve biçiminde gösterilir. Limitin Olmaması: Terimleri kümesine ait ve a’ya yakınsayan en az iki ve dizileri için ise için f fonksiyonunu limiti yoktur. BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ ÖRNEK: fonksiyonunun için limitini bulunuz. ÇÖZÜM ANA MENÜ

ÇÖZÜM: Terimleri 1’den farklı ve 1’e yakınsayan iki dizi seçelim. dizilerinin f fonksiyonu ile elde edilen görüntü dizilerinin limitlerini alalım. O halde, limiti 1 olan her dizisi için,

EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT Tanım: bir fonksiyon olmak üzere önermesine uyan a bağlı varsa x, a’ya yakınsarken f’nin limiti L’dir denir ve biçiminde yazılır. Tanımı aşağıdaki şekiller üzerinde inceleyiniz. f(x) y=f(x) L a f(a) ÖRNEK ANA MENÜ

olduğunu epsilon yöntemiyle gösterelim. ÖRNEK: fonksiyonu veriliyor. olduğunu epsilon yöntemiyle gösterelim. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: için önermesine uyan bulmalıyız. O halde alınabilir. İçin, olduğundan tanıma göre olur.

SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT ya da şeklinde tanımlı f fonksiyonunda: Tanım1: x değerleri a dan küçük değerlerle artarak(soldan)a ya yaklaşırken, f(x) ler de bir reel sayısına,f fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve biçiminde gösterilir. Tanım2:x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak (sağdan) a ya yaklaşırken f(x) ler de bir reel sayısına yaklaşıyorsa; reel sayısına, f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti denir ve biçiminde gösterilir. 1. yazılışı x lerin a ya soldan yaklaştığını gösterir.yani daima x<a dır. 2. yazılışı x lerin a ya sağdan yaklaştığını gösterir.yani daima x>a dır. SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT ANA MENÜ

Şekildeki grafiklerde , x in a ya soldan ve sağdan yaklaşması durumunda soldan ve sağdan limitleri görülmektedir. Sonuçlar: ve için; 1. ise, dir. 2. ise yoktur.

Aralığının uç noktalarındaki limiti fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken: 1.a noktasındaki limit sadece sağdan limitle belirlenir. 2.b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir. x y a b K=f(b) P=f(a) y=f(x)

1.a noktasındaki limit,sadece sağdan limitle belirlenir. fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken: 1.a noktasındaki limit,sadece sağdan limitle belirlenir. dir.f(a) tanımsızdır. 2.b noktasındaki limit sadece soldan limitle belirlenir. dir. f(b) tanımsızdır. x y a b K P y=f(x) ÖRNEK

ÖRNEK: fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. x in –1,1 ve 2 değerleri için fonksiyonun limitinin olup olmadığını araştırınız. y x -1 1 2 3 y=f(x) ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: a. b. c. olduğundan yoktur.

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ 1. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ 2. MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ 3. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ 4. TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ ANA MENÜ

PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ ise ise fonksiyonu verilsin. Kritik nokta dışında limit sorulursa o noktadaki fonksiyon dalı belirlenir. O dalın durumuna göre çalışma yapılır. Kritik noktada,yani koşuldaki değerinde limit sorulursa,soldan ve sağdan limit incelenir. ve ye göre cevaplama yapılır. için ÖRNEK

Fonksiyonunun x=1, x=-2 ve x=2 noktalarındaki limiti bulalım. ÖRNEK: ise Fonksiyonunun x=1, x=-2 ve x=2 noktalarındaki limiti bulalım. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: olduğundan dır. tür. dir.

MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ in bulunuşunda: x=a noktası kritik nokta ise, soldan ve sağdan limit incelenmelidir. Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, limit değeri ile görüntü olacağından dır. ÖRNEK: fonksiyonunun; x =-2, x =0, x =2 ve x =4 noktalarında limitinin olup olmadığını araştıralım. ÇÖZÜM

f(x) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım ÇÖZÜM: x + - -2 2 ise a. yoktur.

b. dir. c. yoktur. d. bulunur.

İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ nın bulunuşunda: 1. x=a noktası kritik nokta f(a)=0 ise, bu noktalarda soldan ve sağdan limit incelenmelidir. ve olsun Eğer ise dir. yoktur. 2. Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse Limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından, dır. ÖRNEK

noktalarındaki limitinin olup olmadığını araştıralım. ÖRNEK: fonksiyonunun, x =3 ve x =2 noktalarındaki limitinin olup olmadığını araştıralım. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: olduğundan, dir. 1 y x 2 3

TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ ın bulunuşunda: için ise, soldan ve sağdan limit incelenir. Soldan limit incelenirken, x<a yani olmak üzere, yazabiliriz.Sonra için limitini alabiliriz. Sağdan limit incelenirken olduğundan,yani olmak üzere yazabiliriz. Sonra için limitini alabiliriz. Eğer dir. yoktur. için ise, limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından; ÖRNEK

noktalarında limitlerinin olup olmadığını inceleyelim. ÖRNEK: fonksiyonunun ve noktalarında limitlerinin olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: için, olduğundan fonksiyonun soldan ve sağdan limitini inceleyelim. Soldan limit incelerken, olduğundan, yani olmak üzere yazalım ve için limitini alalım. Sağdan limit incelenirken, olduğundan, yani Olmak üzere, yazalım ve için limitini alalım. noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan; yoktur. a.

b. için, olduğundan, limit değeri ile görüntü değeri eşit olur. O halde,

SONSUZ İÇİN LİMİT bir fonksiyon olsun.Terimleri Aynı şekilde bir fonksiyon olsun. Terimleri aralığında bulunan ve a ıraksayan her dizisi için ise; için, f nin limiti K dır, denir ve biçiminde gösterilir. aralığında bulunan ve a ıraksayan her dizisi için, ise; için, f nin limiti L dir denir ve biçiminde gösterilir. bir fonksiyon olsun.Terimleri ÖRNEK ANA MENÜ

ifadelerinin eşitini bulalım. ÖRNEK: ise fonksiyonu veriliyor. a. b. ifadelerinin eşitini bulalım. ÇÖZÜM

a. dizisi için, olsun. b. dizisi için, olsun. dır. ÇÖZÜM:

SONSUZ LİMİT ve olmak üzere, ya da fonksiyonu için , terimleri; kümesine ait ve a sayısına yakınsayan dizisi için, : 1. ise, 2. dur. y x a ANA MENÜ

P(x) ve Q(x) polinom fonksiyonu olmak üzere P(x) ve Q(x) polinom fonksiyonu olmak üzere fonksiyonunun paydasını sıfır yapan x değerlerinde limit sorulursa, soldan ve sağdan limit incelemesi yapılmalıdır. ÖRNEK: değerini bulalım. ÇÖZÜM

x=3 noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan, ÇÖZÜM: yoktur.

FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ TEOREMLER olmak üzere, ye ya da ye tanımlı f ve g fonksiyonları için; Teorem: ve ise, 1. 2. 3. 4. ÖRNEK ANA MENÜ

fonksiyonları veriliyor: a. b. ÖRNEK : fonksiyonları veriliyor: a. b. c. değerlerini gösteriniz. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM 1. a. c. b.

LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI 1. 2.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ 3. 4. 5. BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ: ANA MENÜ

LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI limiti hesaplanırken; ise belirsizliği oluşur.Bu durumda; ve ifadeleri çarpanına sahiptir.Yani ve olacağından, olur. Bu limitte yine belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrarlanır. Bu bölümde belirsizliklerini inceleyeceğiz. ve BELİRSİZLİĞİ ÖRNEK: değerini bulunuz. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM:

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ Sinüs ve cosinüs fonksiyonları her noktada süreklidir. olmak üzere, dır. olduğundan, tanjant fonksiyonu için süreksizdir. olduğundan, cotanjant fonksiyonu için süreksizdir. ÖRNEK: ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: B.H

limitinin hesabında; belirsizliklerinden ve ise, limitinin hesabında; belirsizliklerinden biri ile karşılaşılır.Bu durumdaki belirsizlik belirsizliğidir. Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve payda en yüksek dereceli x parantezine alınıp kısaltmalar yapılarak limit hesabına geçilir. BELİRSİZLİĞİ: ÖRNEK: değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: belirsizliği vardır.

belirsizliği genellikle; yada belirsizliklerinden birine dönüştürülür. veya belirsizliği genellikle; yada belirsizliklerinden birine dönüştürülür. BELİRSİZLİĞİ ÖRNEK: değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: B.H belirsizliğine dönüşür. bulunur.

belirsizliğinin oluşması durumunda; veya belirsizliğinin oluşması durumunda; ya da biçimine dönüştürülerek limit hesaplanır. ÖRNEK: değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: belirsizliği vardır. belirsizliğine dönüşür. bulunur.

ÇÖZÜMLÜ TEST SORU 1. dir. in değeri nedir? SORU 2. SORU 3. dür. için limit değeri ne olabilir? SORU 4. ın değeri nedir? SORU 5. ve ise, ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ

değerini hesaplayalım. limitini bulunuz. SORU 6. nedir? SORU 7. değerini hesaplayalım. SORU 8. SORU 9. SORU 10. ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ

SORU 11. SORU 12. SORU 13. SORU 14. SORU 15. ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ

ÇÖZÜM 1 x -1 4 + - +

ÇÖZÜM 2 1.Yol 2. Yol

ÇÖZÜM 3

ÇÖZÜM 4

ÇÖZÜM 5 ifadeleri 0’a yaklaştığından

ÇÖZÜM 6 olduğundan dir. Buna göre

ÇÖZÜM 7 belirsizliği vardır.

ÇÖZÜM 8 B.H belirsizliğine dönüştürülür.

ÇÖZÜM 9 belirsizliği vardır. belirsizliğine dönüşür. için, olduğundan; bulunur.

ÇÖZÜM 10 bulunur.

ÇÖZÜM 11

ÇÖZÜM 12

ÇÖZÜM 13

ÇÖZÜM 14 olduğundan

ÇÖZÜM 15