ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA DERS 9 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA LİMİT VE TÜREV

İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA LİMİT VE SÜREKLİLİK: (a,b) noktasından başka, (a,b) nin Df in bir noktasını kapsayan her komşuluğunda ( delinmiş komşuluk) denir. veya Df in bir (x,y) noktası için olduğunda olacak şekilde bağlı bir sayısı varsa denir.

(a,b) nin Df in bir (x,y) noktasını kapsayan delinmiş komşuluğu z y x (a,b) nin Df in bir (x,y) noktasını kapsayan delinmiş komşuluğu L L LİMİT KURALLARI: olsun.

SÜREKLİLİK: ise f(x,y) fonksiyonu (a,b) noktasında süreklidir denir. Örnek:

NOT: noktasında sürekli ise fonksiyonu da Po(a,b) noktasında süreklidir. fonksiyonu da Po(a,b) noktasında süreklidir. fonksiyonu da Po(a,b) noktasında süreklidir.

KISMİ LİMİTLER Tek değişkenli fonksiyonlardaki sağ ve sol limitlere karşılık iki değişkenli fonksiyonlarda kısmi limitler söz konusudur. Tek değişkenli fonksiyonlardaki x bir a sayısına sadece sağdan ve soldan yaklaşabilirken iki değişkenli fonksiyonlarda (x,y) noktası bir (a,b) noktasına çok değişik şekillerde yaklaşabilir. Bir z = f(x,y) fonksiyonunun tanım bölgesinde (a,b) noktasının bir delinmiş Ɛ – komşuluğunu alalım. (a,b) noktasına bu komşuluk içinde kalınarak sonsuz yoldan yaklaşılabilir. Ancak biz beş değişik yoldan yaklaşarak limit arayacağız.

z y x L D bölgesi x ve y eksenleri üzerinde bulunmayan bir (a,b) noktasının delinmiş -komşuluğu olsun. x y D y=mx2 y=(b/a)x x=ny2 (a,b) y=b x=a

1. x = a doğrusu boyunca limite bakılırken, limitine bakılır. 2. y = b doğrusu boyunca limite bakılırken, limitine bakılır. 3. y = (b/a)x doğrusu boyunca limite bakılırken, limitine bakılır. 4. y = mx2 doğrusu boyunca limite bakılırken, limitine bakılır. 5. x = ny2 doğrusu boyunca limite bakılırken, limitine bakılır.

x ve y koordinat eksenleri üzerinde (a,0) ve (0,b) gibi noktalardaki limitler aranırken, (0,b) noktası için örneğin parabolleri ve doğrusu boyunca, (a,0) noktası için örneğin parabolleri ve doğrusu boyunca limit alınabilir . İstenirse verilen noktadan geçmek üzere başka herhangi doğru ve paraboller de seçilebilir .

Örnek: Çözüm: 1. y = 0 doğrusu (x ekseni) boyunca limite bakalım. 2. x = 0 doğrusu (y ekseni) boyunca limite bakalım. 3. y = x doğrusu boyunca limite bakalım. limit yoktur.

Örnek: Çözüm: 1. y = 0 doğrusu (x ekseni) boyunca limite bakalım. 2. x = 0 doğrusu (y ekseni) boyunca limite bakalım. 3. y = x doğrusu boyunca limite bakalım.

4. y = x2 eğrisi boyunca limite bakalım. limit yoktur. fonksiyonu veriliyor. Örnek: eğrileri boyunca Po (0,0) noktasına yaklaşıldığında fonksiyonunun Po noktasındaki limiti hakkında ne söyleyebilirsiniz? Çözüm: limit yoktur.

Örnek: x y (1,π)

Çözüm:

fonksiyonu veriliyor. Örnek: eğrileri boyunca Po (0,0) noktasına yaklaşıldığında fonksiyonunun Po noktasındaki limiti hakkında ne söyleyebilirsiniz? Çözüm: limit yoktur.

Örnek: Çözüm: boyunca boyunca boyunca

boyunca boyunca Muhtemelen dur.

Örnek: Fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun (0,0) notasında da sürekli olması için k ne olmalıdır? olmalıdır. Çözüm:

olmalıdır.

Örnek: y = 2x doğrusu hem payı hem de paydayı sağladığı için fonksiyon y = 2x için tanımsızdır. Dolaysıyla y = 2x doğrusu boyunca limit araştırılamaz. Ancak (1,2) noktasından geçen örneğin y = x+1 doğrusu boyunca limit aranabilir.

Bu soru Şeklinde alınabilir. fonksiyonu doğrusu üzerinde tanımsız, bunun dışında her yerde tanımlı ve süreklidir. Dolaysıyla (1,2)noktasındalimit vardır ve

KISMİ TÜREVLER: Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımını hatırlayalım: y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun x = a daki türevi olarak tanımlanmıştı.

TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMINI HATIRLAYALIM: y=f(x) y x (a+h , f(a+h)) a+h f(a+h) Eğim : (a , f(a)) a f(a) h sıfıra yaklaşırken, yeşil doğru değişerek teğet durumuna gelir. Başka bir deyimle, f ′ (a) (a,f(a)) noktasındaki teğetin eğimidir.

Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımından hareketle, z = f(x,y) denklemi ile verilen iki değişkenli fonksiyonun (a,b) noktasındaki kısmi türevleri f(x,y) nin (a,b) de x e göre kısmi türevi f(x,y) nin (a,b) de y ye göre kısmi türevi olarak tanımlanır.

a + h = x yazılırsa, h = x – a ve olur. z = f(x,y) fonksiyonunun (a,b) noktasındaki kısmi türevleri f(x,y) nin (a,b) de x e göre kısmi türevi b + h = y yazılırsa, h = y – b ve olur. f(x,y) nin (a,b) de y ye göre kısmi türevi olarak tanımlanır.

Herhangi bir noktadaki x e göre kısmi türev f(x,y) in x e göre kısmi türevi Herhangi bir noktadaki y ye göre kısmi türev f(x,y) in y ye göre kısmi türevi olur.

Diğer gösterimler:

GEOMETRİK YORUM: z z = f(x, y) z = f(x, b) y Eğim : z = f(x, b) z = f(x, y) (a,b, f(a, b)) (a+h,b, f(a+h, b)) (a, b, 0) fx(a,b) türevi, (x,b) noktası x - ekseni doğrultusunda değişirken z=f(x,b) nin nasıl değiştiğini gösterir. (a+h, b, 0)

Eğim : z y x z = f(a, y) (a,b, f(a, b)) z = f(x, y) (a,b+k, f(a, b+k)) (a, b, 0) (a, b+k, 0) fy(a,b ) türevi, (a,y) noktası y - ekseni doğrultusunda değişirken z= f(a,y) nin nasıl değiştiğini gösterir.

Şimdiye kadar verilen tanımlardan ve onların geometrik yorumlarından görülebileceği üzere, f (x,y) nin x e göre kısmi türevi hesaplanırken, y sabit kabul edilerek x e göre türev alınır; fy hesaplanırken de x sabit kabul edilerek y ye göre türev alınır. Bu hesaplar yapılırken daha önce bir değişkenli fonksiyonlar için elde edilmiş olan tüm türev alma kuralları geçerlidir.

Örnekler: z = f(x,y)=x2 (2 – 3y)+5y+1 için veya

(2,3) noktasındaki türevleri bulalım.

z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için

z = f(x,y) = x4 y7 için z = 3sin(3xy+ 3y3) + 4ecos2x

İKİNCİ MERTEBEDEN KISMİ TÜREVLER: z = f(x,y) verilsin. Birinci mertebeden kısmi türevler zx = fx (x,y) , zy = fy (x,y) İkinci mertebeden kısmi türevler

Daha yüksek mertebeden kısmi türevlerin de benzer biçimde tanımlanabileceği açıktır. Örneğin, zxyyxy ifadesi, sırasıyla x e göre türevi, sonra onun y ye göre türevi, sonra elde edilenin yine y ye göre türevi, sonra elde edilenin tekrar x e göre türevi ve nihayet sonda elde edilenin y ye göre türevi alınacağını gösterir.

Örnekler: z = f(x,y)=2x2 – 3x2y+5y+1 için z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için z = f(x,y)=x4 y7 için

Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türevler. Değişken sayısı ikiden çok olan fonksiyonlar için de kısmi türevler benzer biçimde tanımlanır. Bir değişkene göre kısmi türev hesaplanırken, diğer değişkenler sabit kabul edilerek bilinen türev alma kuralları kullanılır. Örneğin, w = f (x,y,z) denklemi ile tanımlanan üç değişkenli f fonksiyonunun üç tane birinci mertebeden kısmi türevi dır.

Bu durumda da benzer gösterimler kullanılır: Örnek: w = f (x,y,z) = için

HARMONİK FONKSİYON: türevleri sürekli ve fonksiyonuna harmonik fonksiyon denir. denklemine Laplace Denklemi denir. Örnek: z harmoniktir. z harmoniktir.

z harmoniktir. z harmoniktir.

xy düzleminde harmonik ise fonksiyonlarının da harmonik olduğunu gösteriniz. w harmoniktir.

Üç değişkenli fonksiyonlarda Laplace Denklemi. olur. Örnek: fonksiyonu harmonik midir?. fonksiyonu harmoniktir.

TÜREVDE ZİNCİR KURALI dır. Örnek:

KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ olsun. dır. Örnek:

Yüksek mertebeden türevler de benzer şekilde tanımlanır ve hesaplanır. Örnek: için

ÖDEVLER: 1. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.

4. Aşağıda verilen fonksiyonların harmonik olup olmadıklarını bulunuz.

1. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. ÇÖZÜMLER: 1. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. y = 0 doğrusu boyunca türev alalım. x = 0 doğrusu boyunca türev alalım. y = x doğrusu boyunca türev alalım. limit yok.

y = 0 doğrusu boyunca türev alalım. x = 0 doğrusu boyunca türev alalım. y = x doğrusu boyunca türev alalım.

y = x2 parabolü boyunca türev alalım. x = y2 parabolü boyunca türev alalım. Büyük bir olasılıkla dır.

Büyük bir olasılıkla dur.

Büyük bir olasılıkla limit vardır ve 0 dır.

4. Aşağıda verilen fonksiyonların harmonik olup olmadıklarını bulunuz.