Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 11.HAFTA İÇERİĞİ -

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü EĞRİ UYDURMA SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Bir çok mühendislik uygulamalarında deneylerden ya da geçmiş tecrübelerden elde edilen tablo bilgileri vardır. Genellikle bir bağımsız değişkene (x) bağlı olarak bağımlı değişkenin (y) değeri bu tablolarda verilir. Bu verileri kullanarak bilinmeyen değerlerin tahmin edilmesi sık sık karşılaşılan bir ihtiyaçtır. Bilinmeyen değerler verilen tablo bilgileri arasında kalan bir değer olduğu gibi tablo dışındaki bir bilgi de olabilir. Ara değer tahmininde 2 tür yaklaşım kullanılır. 1-İnterpolasyon 2-Eğri uydurma y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 1-İnterpolasyon Deneylerden elde edilen değerler tam doğru ise ara değerlerin bulunmasında interpolasyon yaklaşımı kullanılır. Bu yaklaşımda tüm veri noktalarından geçen bir eğri uydurmaya çalışılır. Eğer n+1 tane veri varsa n. dereceden bir polinom tüm noktalardan geçer. Ya da noktalar arasında doğrusal interpolasyon yapılabilir. SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 2-EĞRİ UYDURMA SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Eğer deneysel verilerin değerleri tam (kesin) doğru değilse eğri uydurma yaklaşımından yararlanarak ara değerler tahmin edilir. Eğri uydurmada her veri noktasından geçen eğri yerine, verilerin genel eğimini gösteren bir eğri tahmin edilir. Çünkü deneylerden elde edilen ölçme aleti hatası, okuma hatası, deney şartlarının tam olarak kontrol edilememesi gibi sebeplerden dolayı kesin doğru değildir. Bu nedenle tüm veri noktalarından geçen interpolasyon yaklaşımı ile elde edilen değerler hatalı olacaktır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Doğrusal eğri uydurma (doğrusal reglasyon) Eğrisel eğri uydurma (eğrisel reglasyon) y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Eğri uydurmada her bir noktaya uğramayan, verilen genel eğimine uyan bir yaklaşım fonksiyonu türetilir. Fakat verilerin arasından çok sayıda doğru ya da eğri çizilebilir. Bunların hepsi de bu verilerin genel eğilimini göstermektedir denilemez. a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. e1 e2 e3 e4 e5 x y Bu nedenle eğri uydurmada en doğru eğrinin belirlenmesini sağlayan bir KRİTER’e ihtiyaç vardır. Birçok kriter tanımlanabilir. Fakat en uygun kriter gerçek veri değeri ile türetilen fonksiyonun değeri arasında kalan hata değerinin kullanılmasıdır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca e= Hata değeri Bu kriteri kullanan ve yaygın bir kullanımı olan yöntem ‘EN KÜÇÜK KARELER’ yöntemidir. x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ SAYISAL YÖNTEMLER En küçük kareler yönteminin en basit örneği bir deney verileri için doğru uydurmaktır. Deneyler sonucunda (x1, y1), (x2,y2) … (xn,yn) değerleri bulunsun. Bu noktalardan geçen en uygun doğrunun denklemi : e1 e2 e3 e4 e5 x y Kesme noktası =ao Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi Eğim=a1 Burada y gerçek değer, x bağımsız, e ise gerçek değer ile tahmin edilen değer arasındaki hatayı gösterir. Ayrıca doğru denkleminde ao y eksenini kesme noktasını ve a1’de eğimi gösterir.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yukarıdaki denklemden hatanın değeri: e = y – ao – a1x Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Eğri uydurmada bu hata değeri en uygun eğrinin elde edilmesinde kriter olarak kullanılır. Bu amacı sağlayacak ilk yaklaşım hata değerlerinin toplamının minimum yapılmasıdır: Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi Burada n veri sayısını gösterir. 8

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Fakat bu kriter eğri uydurma için çok uygun değildir. Çünkü hata bazen pozitif bazen de negatif değerler almaktadır. Bu nedenle birbirlerini götürerek yanlış bir yaklaşıma sebebiyet verirler. Bu olumsuzluğun giderilmesinde mutlak değerlerinin toplamının minimum yapılması kullanılabilir. Fakat bu durumda da aynı amacı sağlayan birden fazla uydurulabilir.Bunlar arasında hangisinin kullanılması hakkında yöntem bir şey söyleyemez. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Sonuç olarak diğer yöntemlerin olumsuzlukların giderilmesinde kullanılan kriter ‘hataların kareleri toplamının’ minimum yapılmasıdır. Hataların kareleri toplamı ЄT ; Bu kriter kullanılarak ao ve a1 değerlerinin belirlenmesi ile verilere uyan en uygun doğru belirlenmiş olur. BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a) Doğrusal eğri uydurma SAYISAL YÖNTEMLER En küçük kareler yönteminin anlaşılması için en basit yaklaşım veriler arasında doğru denklemi belirlemektir. Bunun için daha önce ifade edilen hataların kareleri toplamı denklemi kullanılır. ЄT’yi minimum yapan ao ve a1’i belirlemek için ЄT denklemi ayrı ayrı bu değerlere göre türevi alınır ve 0’a eşitlenir. BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ao için bulunan denklemi düzenlersek BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. ve dönüşümü sonucunda: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Sonra a1 için bulunan denklemi düzenlersek; elde edilir.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu iki denklem; BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Lineer (doğrusal) denklem takımı elde edilir. Bu denklem takımını bilinen yöntemlerin biri ile çözülür.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Eğer yerine koyma yöntemi kullanılırsa: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü elde edilir. Ya da lineer denklem matris şeklinde yazılabilir. çözülür.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER Aşağıdaki tablo değerlerine uygun doğrusal eğri denklemini en küçük kareler yöntemine göre uydurunuz. No xi yi 1 4 2 3 5 6 7 10 8 12 13 16 9 18 20 11 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER No xi yi xi2 xiyi 1 4 2 3 5 9 15 6 25 30 7 49 35 10 8 100 80 12 244 84 13 169 78 16 256 144 18 324 216 20 11 400 220 105 73 1477 906 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 16

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) Polinom Uydurma SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal yaklaşımın uygun olmadığı durumlarda başka eğri formları denenmelidir. Eğrinin veriler için daha iyi olduğu durumlarda doğrusal yaklaşım için açıklanan en küçük kareler yöntemi polinom uydurmaya da uygulanabilir. n. derecen bir polinom : Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü şeklindedir. En küçük kareler yöntemi n. dereceden bir polinom uydurmak için kolayca genişletilebilir. Bunun için öncelikle 2. dereceden bir polinom için yöntemi uygulayalım. şeklinde yazılır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Hata (e) : x y e = y - ao + a1x - a2x2 e3 e4 e6 e5 e1 e2 Tahmin değeri e7 Gerçek değer Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Hataların kareleri toplamı (ЄT); Burada bilinmeyenler ao, a1, a2 olduğundan ЄT’nin bu katsayılara göre türevi alınarak 0’a eşitlenir.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Gerekli düzeltmeler yapıldığında; a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. ve son düzeltmeler ile

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü elde edilir. Görüldüğü gibi 3. dereceden lineer denklem takımı oluşturuldu. Bu denklemler herhangi bir yöntem ile çözülerek ao, a1, a2 bulunur. a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 21

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Buradan görüldüğü gibi 2. dereceden bir polinom uydurma için 3 doğrusal denklem sisteminin çözülmesi gerekir. Bu genelleştirilerek n.dereceden bir polinom için n+1 adet lineer denklemin çözülmesi gerektiği söylenebilir. a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 22

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. No xi yi 1 5.5 2 3 7 12.3 4 9 16 5 10 17.5 Yandaki tablo değerlerine uygun 2.dereceden polinom eğrisini en küçük kareler yöntemi ile uydurunuz. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 23

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. No xi yi xi2 xi3 xi4 xiyi xi2yi 1 5.5 2 3 7 9 27 81 21 63 12.3 49 343 2401 86.1 602.7 4 16 729 6561 144 1296 5 10 17.5 100 1000 10000 175 1750 30 58.3 240 2100 19044 431.6 3717.2 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 24

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Herhangi bir yöntem ile çözülürse: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca ao= 4.787544 a1= 0.573114 a2= 0.721519 x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 25

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 26

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 27

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. No xi yi 1 5 16 2 10 25 3 15 32 4 20 33 38 6 30 36 7 35 39 8 40 9 45 42 50 Yandaki tablo değerlerine uygun 2.dereceden polinom eğrisini en küçük kareler yöntemi ile uydurunuz. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 28

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. No xi yi xi2 xi3 xi4 xiyi xi2yi 1 5 16 25 125 625 80 400 2 10 200 1000 10000 250 2500 3 15 32 225 3375 50625 480 7200 4 20 33 8000 160000 660 13200 38 15625 390625 950 23750 6 30 36 900 27000 810000 1080 32400 7 35 39 1225 42875 1500625 1365 47775 8 40 1600 64000 2560000 9 45 42 2025 91125 4100625 1890 85050 50 125000 6250000 2100 105000 275 343 9625 378125 15833125 10455 381275 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 29

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Herhangi bir yöntem ile çözülürse: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca ao= 12.16667 a1= 1.345758 a2= -0.01545 x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 30

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 31

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖDEV SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Elastik eğri yukarıdaki gibi gösterilmiştir. Yukarıda verilen şekil ve ymax değerine göre; a) Elastik eğri için en küçük kareler yöntemini kullanarak şeklinde 2.dereceden polinom uydurunuz b) x=L/3 için gerçek elastik eğri denklemi ile uydurduğunuz elastik eğri denkleminden elde ettiğiniz değeri karşılaştırarak o nokta için bağıl hatayı (%) hesaplayınız. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 32

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DETERMİNASYON (BELİRLİLİK R2 KATSAYISI) SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Uydurulan eğrinin, verilere uygunluğunun belirlenmesinde belirlilik R2 katsayısı kullanılır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Gerçek Tahmin Bulunan belirlilik katsayısı R2, kurulan fonksiyon ile elde edilen bağımlı değişkenlerin, gerçek değerlere uyan miktarının yüzdesel (%) değerini verir. a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 33

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DETERMİNASYON (BELİRLİLİK R2 KATSAYISI) SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Belirlilik katsayısının değeri 0≤ R2 ≤ 1 arasında değişir. Eğer R2 = 0 ise bu veriler arasında bir uyumluluğun olmadığını gösterir. Eğer R2=1 ise tam bir uyum vardır Eğer R2 bu iki değer arasında ise yorum yapmak oldukça zordur. Bu nedenle ara değerlerin yorumlanmasında veri sayısından (n) yararlanılır. a) Çok sayıda veri varsa 0.25 e kadar düşmüş değerler bile anlamlı olabilir (n>20) b) Az sayıda veri varsa 0.71’in üstü anlamlı (15>n>10) c) Eğer normal sayılabilecek kadar veri varsa 0-0.49 arası zayıf 0.5-0.74 arası orta 0.75-1 arası kuvvetli ilişki vardır denilir. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. 34