PORTFÖY OPTİMİZASYONU Doç.Dr.Aydın ULUCAN
MODERN PORTFÖY TEORİSİ Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimum varyanslı (minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Varsayımları, i. Yatırımların getirileri yatırımların çıktısı olarak ifade edilebilir. ii. Yatırımcının risk tahmini, varlıkların ya da portföyün getirilerinin varyansı ile orantılıdır. iii. Yatırımcılar kararlarını verirken sadece beklenen getiri ve getirinin varyansını model parametreleri olarak kullanmaya razıdırlar. iv. Yatırımcı riskten kaçma eğilimi göstermektedir. Herhangi bir beklenen getiri düzeyinde, ulaşabileceği minimum riski, herhangi bir risk düzeyinde de ulaşbileceği maksimum getiriyi seçecektir.
Beklenen Getiri Bir varlığın beklenen getirisi şu şekilde formülize edilir; Beklenen getiri, E[G], Oi i senaryosunun gerçekleşme olasılığı, Gi i senaryosunun beklenen getirisi, N olası senaryo sayısı,
Risk Ölçütleri Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farklarının kareleri toplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Portföy optimizasyonu modellerinde risk ölçütü olarak genellikle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır.
Kovaryans İki tesadüfi getirinin göreli hareketlerinin anlamlılığının istatistiksel ölçütü kovaryanstır. İki varlık arasındaki kovaryans değeri aşağıdaki formül ile elde edilir. Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dilimlerinde aynı yönde olursa, varlıklar arasındaki kovaryans pozitif bir değer alacaktır. Öte yandan, varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dilimlerinde farklı yönde olursa, varlıklar arasındaki kovaryans negatif bir değer alacaktır. Varlıkların ortalamalarından sapma değerleri arasında anlamlı bir ilişki yoksa da, kovaryans değeri sıfıra yaklaşacaktır.
Portföy Getirisi ve Varyansı (2 varlık)
Markowitz Modeli Modelde amaç fonksiyonu minimize edilecek portföy varyansıdır
Markowitz Modeli Beklenen getiri hedefinin sağlanması kısıtı portföyde bulunan varlıkların ağırlıkları toplamının 1 olması kısıtı
Markowitz Modeli N mevcut varlık sayısı, i i varlığının beklenen getirisi (i = 1,..,N), ij i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,..,N), (j = 1,..,N), i = j için i varlığının varyans değeri, R hedeflenen beklenen getiri düzeyi, xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,..,N),
Örnek
Model
Etkin Sınır Karar verici farklı beklenen getiri düzeyleri için yukarıda oluşturulan modeli çözdüğünde, her biri o getiri düzeyi için etkin olan portföyler elde edecektir. Hedeflenen getiri düzeyleri ve o getiri düzeyinde elde edilen etkin portföylerin varyansları beklenen getiri-varyans grafiği üzerinde gösterildiğinde, bu etkin portföyleri birleştiren eğri etkin sınır olarak adlandırılır.
Modelin Geliştirilmesi Yatırım Üst Sınırları Risksiz yatırım enstrümanı İşlem maliyetleri Açığa satış işlemleri Tamsayı değişkenler