OTOKORELASYON

Otokorelasyon Yt = a + bXt + ut  Cov (ut,us)  0  ut = r ut-1 + et Birinci dereceden Otokorelasyon Birinci Dereceden Otoregressif Süreç; A R(1) et = r et-1 + et

Otokorelasyon ile Karşılaşılan Durumlar Modele Bazı Bağımsız Değişkenlerin Alınmaması Modelin Matematiksel Kalıbın Yanlış Seçilmesi, Bağımlı Değişkenin Ölçme Hatalı Olması, Verilerin İşlenmesi, Örümcek Ağı Olayı, u’nun yanlış tanımlanması.

Otokorelasyonu GözardI Etmenin SonuçlarI X “gerçek” doğru    “tahminlenmiş” doğru      

Otokorelasyonu GözardI Etmenin SonuçlarI Hipotez testleri üzerine etkisi, Tahmin edilen katsayı varyansları gerçek varyans değerinden daha küçük elde edilir. Ve bu varyans değerleri sapmalı ve tutarsızdır. Dolayısıyla bunlara bağlı olarak elde edilen t ve F istatistiklerine ve elde edilen güven aralıklarına güvenilemeyecektir. Öngörümleme üzerine etkisi. Taminler sapmasız olduğundan, öngörümleme değerleride sapmasız olacaktır. Ancak daha büyük varyanslı olma nedenleriyle etkinlik özelliğini kaybedeceklerdir.

Otokorelasyonun Tesbit Edilmesi Grafik Yöntemle, Durbin-Watson testi ile, Wallis testi Breusch-Godfrey testi ile, Engle ARCH testi ile. Berenblut Webb testi ile,

Grafik Yöntem

Grafik Yöntem

Durbin-Watson Testi H0: r = 0 H1: r  0 Pozitif Otokorelasyon Bölgesi. Negatif Otokorelasyon Bölgesi r=0 Kararsızlık Kararsızlık 2 4 dL dU 4-dU 4-dL d=2(1-r)

Durbin-Watson Testi Dependent Variable: Y Sample: 1985 2000 Included observations: 16 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -467.1080 44.27578 -10.54997 0.0000 X 6.394968 0.489065 13.07590 0.0000 R-squared 0.924316 Mean dependent var 110.4375 Adjusted R-squared 0.918910 S.D. dependent var 43.22494 S.E. of regression 12.30889 Akaike info criterion 7.974988 Sum squared resid 2121.121 Schwarz criterion 8.071562 Log likelihood -61.79991 F-statistic 170.9791 Durbin-Watson stat 0.765629 Prob(F-statistic) 0.000000

Durbin-Watson Testi S 1623.993 Y 43 53 59 82 92 100 102 97 101 110 116 130 148 162 182 190 X 80 81 82 84 86 88 89 90 92 94 91 95 97 96 99 101 et -1.48939 2.115639 1.720671 11.93074 9.140799 4.350863 -0.0441 -11.4391 -20.229 -24.0189 1.16596 -10.4139 -5.20385 15.19112 16.00622 11.21628 et-1 - -1.48939 2.115639 1.720671 11.93074 9.140799 4.350863 -0.0441 -11.4391 -20.229 -24.0189 1.16596 -10.4139 -5.20385 15.19112 16.00622 et- et-1 - 3.605032 -0.39497 10.21006 -2.78994 -4.78994 -4.39497 -11.395 -8.78994 -3.78994 25.1849 -11.5799 5.210064 20.39497 0.815096 (et- et-1)2 - 12.99626 0.156 104.2454 7.783742 22.94349 19.31574 129.8453 77.26297 14.36361 634.2794 134.0934 27.14477 415.9547 0.664382 et2 2.218292 4.475928 2.960708 142.3424 83.55421 18.93001 0.001945 130.8524 409.2128 576.9097 1.359462 108.4496 27.08003 230.7701 256.199 125.8049 S 1623.993 2121.1215

TEST AŞAMALARI 1.Aşama H0: Otokorelasyon yoktur. H1 : Otokorelasyon vardır. 2.Aşama n =16 k’= 1 dL =1.106 dU = 1.371 3.Aşama : Pozitif Otokorelasyon Bölgesi. Negatif Otokorelasyon Bölgesi r=0 Kararsızlık Kararsızlık H0 reddedilir. Pozitif otokorelasyon var. 0.76 1.106 1.371 2 2.629 2.894 4

Durbin-Watson Testi Durbin-Watson Testinin Uygulanmadığı Durumlar: Model sabit terimsiz ise, Bağımsız X değişkenleri stokastikse, Otokorelasyonun derecesi 1’den büyük ise, Zaman serisinde ara yıllar noksan ise, Modelde bağımsız değişken olarak gecikmeli bağımlı değişken varsa,

Wallis Testi Üçer aylık veriler için otokorelasyon olup olmadığını incelemek amacıyla kullanılır. Testin uygulanabilmesi için tek koşul bağımsız değişkenlerin tesadüfi değişken olmamasıdır. Bu test Durbin-Watson testinin dördüncü dereceden otokorelasyon için düzenlenmiş şeklidir.

TEST AŞAMALARI 1.Aşama H0: Dördüncü dereceden otokorelasyon yoktur. H1 : Dördüncü dereceden otokorelasyon vardır. 2.Aşama 3.Aşama : Pozitif Otokorelasyon Bölgesi. Negatif Otokorelasyon Bölgesi r=0 Kararsızlık Kararsızlık d4,L d4,U 2 4- d4,U 4-d4,L 4

UYGULAMA: 1994.01 ve 1999.04 dönemi için Türkiye’nin üçer aylık ithalat ve döviz kuru değerleri verilmiştir. Bu verilerden elde edilen tam logaritmik modelin hata terimleri arasında otokorelasyon olup olmadığını test ediniz.

Σ= 0.1915 Σ= 0.1920

TEST AŞAMALARI 1.Aşama H0: Dördüncü dereceden otokorelasyon yoktur. H1 : Dördüncü dereceden otokorelasyon vardır. 2.Aşama 3.Aşama a=0.05 hata payı ve k’ = 1 n=24 Wallis tablo değeri d4,L = 1.036 ve d4,U =1.189 dir.

KARAR AŞAMASI: 4.Aşama : Pozitif Otokorelasyon Bölgesi. Negatif Kararsızlık Kararsızlık 0.997 1.036 1.189 2 2.811 2.964 4 H0 reddedilir. Pozitif otokorelasyon var.

Breusch-Godfrey (B-G) Testi Y = b1 + b2 X2 + b3 X3+ u LM testi için yardımcı regresyon: ut = b1 + b2 X2 + b3 X3+ r1ut-1 + r2ut-2+ ... + rsut-s + vt Ry2 = ? B-G Testi Aşamaları: 1.Aşama H0: r1 = r2= ... = rs = 0 H1 : ri0 2.Aşama s.d.= s c2tab=? a = ? 3.Aşama B-G= (n-s).Ry2 = ? B-G > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir 4.Aşama

Breusch-Godfrey (B-G) Testi Dependent Variable: HATA Method: Least Squares Sample (adjusted): 16 Included observations: 15 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.   C -12.34801 91.23885 -0.135337 0.8946 X 0.223393 0.989285 0.225813 0.8251 HATA(-1) 0.989166 0.189149 5.229553 0.0002 R-squared 0.958923     Mean dependent var 1.381627 Adjusted R-squared 0.952077     S.D. dependent var 33.51601 S.E. of regression 7.337108     Akaike info criterion 7.000623 Sum squared resid 645.9978     Schwarz criterion 7.142233 Log likelihood -49.50467    F-statistic 140.0673 Durbin-Watson stat 1.177353     Prob(F-statistic) 0.000000

Ry2 = 0.0958 ut = -12.34 + 0.223 X + 0.989ut-1 TEST AŞAMALARI 1.Aşama H0: r1 = 0 H1 : r1  0 2.Aşama a = 0.05 s.d.= 1 c2tab=3.84 3.Aşama B-G= (16-1)*0.958 = 14.37 B-G > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir 4.Aşama

Otoregresif Koşullu Farklı Varyans Modeli(ARCH) 23 23

ARCH (Engle, 1982) Şartlı varyans zaman içerisinde değişmektedir, Hareketli bir küme de– önceden tahmin edilemeyen değerlerdeki büyük (küçük) değişimler, aynı şekilde büyük (küçük) değişimlerin olmasına neden olur, 24 24

Varyans Büyük Değişiklikler Göstermektedir UK Stok Fiyat İndeksi Varyans Büyük Değişiklikler Göstermektedir 25 25

ENGLE ARCH TEST SÜRECİ Engle Arch test ile sadece hatalar arasındaki ardışık bağımlılık değil hata varyanslarındaki değişimler test edilmektedir. Varyansların genelleştirildiği süreç p dereceli ARCH süreci

TEST AŞAMALARI hes= (n-p).Ry2 = ? H0 : a1 = a2 =……..= ap = 0 hipotezini test edebilmek için aşağıdaki adımlar takip edilir. 1.ADIM modeli tahmin edilir. 2.ADIM: Hata terimi u’lar tahminlenir. Buradan hataların karesi alınıp değerleri hesaplanır. 3.ADIM: ile regres edilir. hes= (n-p).Ry2 = ? 4.ADIM: 5.ADIM: a = ? s.d.=p c2tab=? 6.ADIM: hes > tab ise Ho reddedilir.

UYGULAMA ABD’de 1960– 1995 yılları arasında iskonto oranı(r), para arzı (M2) ve bütçe açığı (D1) değişkenleri kullanılarak elde edilen model aşağıdaki gibidir. (RAMANATHAN Data 9.2) Dependent Variable: r Method: Least Squares Sample: 1960 1995 Included observations: 36 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.   C 5.273802 0.853568 6.178537 0.0000 M 0.000886 0.001044 0.849046 0.4020 D1 -0.007451 0.013300 -0.560251 0.5791 R-squared 0.03415     Mean dependent var 6.067500 Adjusted R-squared -0.02438      S.D. dependent var 2.572607 S.E. of regression 2.60378      Akaike info criterion 4.831461 Sum squared resid 223.7292   Schwarz criterion 4.963421 Log likelihood -83.9663   F-statistic 0.583474 Durbin-Watson stat 0.219732   Prob(F-statistic) 0.563609

2.ADIM: u hata terimleri elde edilip karesi alınır. ile regres edilir. Dependent Variable: HATA^2 Method: Least Squares Sample (adjusted): 1962 1995 Included observations: 34 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.055859 0.175374 0.318514 0.7522 HATA^2(-1) 1.365618 0.150759 9.058296 0.0000 HATA^2(-2) -0.555529 0.153512 -3.618791 0.0010 R-squared 0.84820 Mean dependent var 0.134393 Adjusted R-squared 0.83841  S.D. dependent var 2.537825 S.E. of regression 1.020146    Akaike info criterion 2.961866 Sum squared resid 32.26164      Schwarz criterion 3.096545 Log likelihood -47.35172  F-statistic 86.61339 Durbin-Watson stat 1.700638      Prob(F-statistic) 0.000000

hes= (n-p).Ry2 = (36-2)*0.848 = 28.832 2tab = 5.99 4.ADIM: 5.ADIM: s.d.=2 2tab = 5.99 6.ADIM: hes > tab ise Ho reddedilir.

Berenblut Webb Testi Otokorelasyon olması durumunda otokorelasyonun düzeltilmesi için kullanılacak yöntemlerden biri de ilk farklar yöntemidir. İlk farklar yöntemi uygulandıktan sonra oluşacak modellerde sabit terim olmayacağından bu modellerde otokorelasyon testi için Durbin-Watson testi kullanılamayacaktır. Berenblut - Webb testi ilk farkları alınmış modellerde otokorelasyon olup olmadığının araştırılması için kullanılır.

TEST AŞAMALARI 1. Adım: 2.Adım: Test istatistiğinin hesaplanması Fark Denkleminin Hataları İlk Denklemin Hataları 3.Adım: Hesaplanan test istatistiği Durbin-Watson tablo değerleri ile karşılaştırılır.

UYGULAMA

Bu denklemden elde edilen hata kareler toplamı Bu modele ilk farklar uygulandığında

Hata kareler toplamı

TEST AŞAMALARI n= 32 dL = 1.16 k’ = 1 dU = 1.28 Pozitif Otokorelasyon Bölgesi. Negatif Otokorelasyon Bölgesi r=0 Kararsızlık Kararsızlık H0 reddedilir. Pozitif otokorelasyon var. 0.161 2 4 1.16 1.28 2.72 2.84