DERS 3 DETERMİNANTLAR ve CRAMER YÖNTEMİ Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol DETERMİNANTLAR: Determinant kare matrisler kümesinden reel sayılar kümesine bir fonksiyondur. Kare matrisler kümesini K ile, determinant fonksiyonunu ile gösterirsek, olarak tanımlanır. 2×2 Tipinde Bir Kare Matrisin Determinantı: Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

3×3 Tipinde Bir Kare Matrisin Determinantı: (SARRUS KURALI) Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

n×n Tipinde Bir Determinantın i. Satıra Göre Açılımı n×n tipindeki bir kare matriste i. satır ile j. sütün silindikten sonra geriye kalan (n-1)×(n-1) tipindeki matrisi Mij ile gösterelim. Mij matrisine aij elemanının minörü, sayısına da aij elemanının kofaktörü denir. olur. Tekil Matris: Determinantı sıfır olan matrise tekil matris denir. Tekil matrislerin tersleri yoktur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Aşağıdaki determinantı birinci satıra göre açalım. Örnek: Aşağıdaki determinantı hesaplayınız.. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Determinantını 2. satıra göre açalım. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Determinantların Bazı Özellikleri 1. Bir matrisin herhangi bir satırındaki (ya da sütunundaki ) tüm elemanlar sıfır ise bu matrisim determinantı sıfırdır 2. Bir matrisin herhangi iki satırının (ya da iki sütununun) yerleri değiştirilirse determinantının işareti değişir. 3. Bir matrisin herhangi bir satırı (ya da sütunu) bir k sayısı ile çarpılırsa determinantı bu k sayısı ile çarpılmış olur. 4. Bir matrisin herhangi iki satırı (ya da iki sütunu) eşit ise ya da satırlarından (ya da sütunlarından) biri diğerinin belli bir katı ise determinantı sıfırdır. 5. Bir matrisin herhangi bir satırına (ya da sütununa) diğer bir satırın (ya da sütunun) belli bir katı eklenirse determinantının değeri değişmez 6. Bir matrisin determinantı transpozunun determinantına eşittir. 7. İki matrisin çarpımının determinantı bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 5. özellikten yararlanarak determinantların hesaplanmasında kolaylıklar sağlanabilir. Örnek: veya Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol veya Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir Matrisin Transpozu: Bir A matrisinin satırları aynı numaralı sütunlar, sütunları da aynı numaralı satır yapıldığında elde edilen matrise A matrisinin transpozu denir ve AT ile gösterilir. A matrisi mxn tipinde bir matris ise doğal olarak AT nxm tipindedir. AT = A ise (aij = aji ) A matrisine simetrik matris, AT = -A ise (aij = -aji ) A ya antisimetrik matris denir. A-1=AT ise A matrisine ortogonal matris denir. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Transpozla İlgili Özellikler: 1. (AT)T= A 2. (kA)T= kAT 3. (A+B)T = AT+BT 4. (AB)T = BTAT 5. (A-1)T=(AT)-1 Teorem: A bir kare matris ise, olmak üzere A=S+Q biçiminde yazılabilir. Burada S bir simetrik matris, Q ise bir anti simetrik matristir. Gerçekten: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Matrisinin her bir elemanı yerine o elemanın kofaktörü yazılarak elde edilen matris C olsun. olsun. olur. Bu eşitlikten; “Bir kare matrisin tersinin olabilmesi için determinantı sıfırdan farklı olmalıdır.” denilebilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol olmak üzere Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Matrisinin tersini Kofaktör Yöntemi ile bulunuz. Örnek: Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Gerçekten bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Matrisinin tersini Kofaktör Yöntemi ile bulunuz. Örnek: Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Cramer Yöntemi: Doğrusal denklem sistemi verilsin. Bu denklem sistemi A matrisinde olmak üzere şeklinde yazılabilir. i. sütun yerine B matrisi yazıldığında elde edilen matrisin determinantı ile gösterilirse olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir denklem sisteminin çözümünün olabilmesi için katsayılar matrisinin determinantının sıfırdan farklı olması gerekir. Örnek: denklem sistemini Cramer Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: denklem sistemini Cramer Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: denklem sistemini Cramer Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: denklem sistemini Cramer Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: denklem sistemini Cramer Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: denklem sistemini Cramer Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol ÖDEVLER 1. Aşağıda verilen matrislerin terslerini kofaktör yöntemi ile bulunuz. 2. Aşağıda verilen denklem sistemlerini Cramer Yöntemi ile çözünüz ve sağlamasını yapınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol