İŞLEM TANIM: A boş olmayan bir küme olmak üzere,A×A nın bir R alt kümesinden A ya tanımlanan her fonksiyona, işlem denir.İşlemi tanımlarken,’’ .....’’ gibi semboller kullanılır. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ : Kapalılık özelliği: A kümesinde tanımlanan bir * işlemi verildiğinde, için x*y A oluyorsa,A kümesi,* işlemine göre kapalıdır denir. 2)Değişme özelliği: A kümesi üzerinde tanımlanan bir* işlemi tanımlandığında için x*y=y*x oluyorsa,* işleminin değişme özelliği vardır denir. 3)Birleşme özelliği: A kümesi üzerinde tanımlanan bir * işlemi verildiğinde, için (x*y)*z=x*(y*z) oluyorsa,* işleminin birleşme özelliği vardır denir.

4)Dağılma özelliği:A kümesi üzerinde tanımlanan iki işlem * ve 0 olsun. için x*(y0z)=(x*y)0(x0z) oluyorsa,* işleminin 0 işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir. 5)Birim (etkisiz) eleman özelliği:A kümesi üzerinde bir * işleminde için x*e=e*x= x koşulunu gerçekleyen bir varsa; e ye * işleminin birim(etkisiz) elemanı denir. 6) Bir elemanın tersi: Bir A kümesi üzerinde tanımlanan * işleminin birim elemanı e olmak üzere, İçin x*y=y*x=e koşulunu gerçekleyen bir y A varsa,y ye * işlemine göre x in tersi denir ve x-1 biçiminde gösterilir. 7)Yutan eleman:A kümesi üzerinde tanımlanan bir * işleminde için x*a=a*x=a koşulunu gerçekleyen bir a A varsa; a ya * işleminin yutan elemanı denir.

ÖRNEKLER 1) Tam sayılar kümesinde tanımlı, x*y=x+y+3 işlemi veriliyor.* işlemine göre, (1*3)*(2*1) işleminin sonucu nedir. Çözüm: 1*3=1+3+3=7 2*1=2+1+3=6 then 7*6 =7+6+3=16 2) Reel sayılar kümesinde tanımlı, x*y=2x+y-3 işlemi veriliyor. (2*a)*3=4 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? Çözüm: 2*a=4+a-3=1+a , (1+a)*3= 2(1+a)+3-3=4 = 2+2a=4 2a=2 then a=1 3) Tam sayılar kümesinde tanımlı, x*y=x+y-4 işleminin birim elemanını bulunuz. Çözüm: x*e=x then x*e=x+e-4=x so e=4

4) Reel sayılar kümesinde tanımlı, x 4) Reel sayılar kümesinde tanımlı, x*y=2x+2y+xy+2 işleminin değişme özelliği vardır.Bu işlemin etkisiz elemanını bulunuz. Çözüm: x*e=x x*e=x then x*e=2x+2e+xe+2=x then e(2+x)=-x-2 so e=1 5) Tam sayılar kümesinde tanımlanan, x*y=x+y-5 işlemi veriliyor.* işlemine göre varsa 2 nin tersini bulunuz. Çözüm: x*e=x then x*e=x+e-5=x so e=5 x*x-1=e then x*x-1=x+x-1-5=5 then x-1=10-x so 2-1=10-2=8 6) Reel sayılar kümesinde tanımlı, x*y=x+y-4xy işleminde hangi elemanın tersi yoktur? Çözüm: x*e=x x+e-4xe=x then e=0 x * x-1=e then x-1= so 1-4x=0 x=1/4 ün * işlemine göre tersi yoktur.

7) x *y= 3xy-3x-3y+4 işleminin varsa yutan elemanını bulunuz Çözüm: x*a=a then 3xa-3x-3a+4=a , 3xa-4a=3x-4 , a(3x-4) =3x-4 , a=1 yutan elemandır.