Süleyman Demirel Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri Anabilim Dalı Ders Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz Konu İdempotent matris Danışman Yrd.Doç.Dr. Aliye KAYIŞ Hazırlayan Ahmet YAVAŞ ISPARTA Ekim 2011

Ders İçeriği 1.İdempotent matris nedir 2. Doğrusal Denklem Sistemlerine Bir Bakış 3. Doğrusal Denklem Sistemlerinin Determinantlar Yardımıyla Çözümü 4. Denklem Sistemlerinin Çözümünde Rank Kuralı

İdempotent Matris A, nxn boyutlu bir matris iken 𝐴 2 =A özelliğini A matrisine idempotent matris denir. Çeşitli Açıklamalar ve Uygulamalar Örnek1. A tam ranklı ve idempotent bir matris ise A birim matristir (A = r ) dir. Örnek2. İdempotent matrisin rankı, izine eşittir. Örnek3. Aşağıdaki A ve B matrisleri idempotent matrislerdir: A= 1 −1 0 0 B= 1/2 −1/2 −1/2 1/2 Çünkü, örneğin, BB = 1/2 −1/2 −1/2 1/2 1/2 −1/2 −1/2 1/2 = 1/2 −1/2 −1/2 1/2 = B olur.

Doğrusal Denklem Sistemlerine Bir Bakış Denklem Sistemlerinin Tanımı: p değişkenli n denklemden oluşan bir sistemin çözümü Gauss yok etme yöntemi, determinantlar,… vb. yardımı ile yapılabilir. Doğrusal denklem sistemindeki denklemlerin her biri doğrusal bir denklemdir. Bir denklemin doğrusal olması demek; denklemde bulunan bilinmeyen veya bilinmeyenlerin birinci dereceden olması ve bilinmeyenlerin çarpımlarının denklemde bulunmaması demektir. Örneğin, 5 𝑥 1 + 2 𝑥 2 −1=0 ya da 2 𝑥 1 + 𝑥 1 𝑥 2 −3 𝑥 3 =0 denklemleri doğrusal değil iken, 2 𝑥 1 + 𝑥 2 −3 𝑥 3 −8=0 denklemi doğrusaldır. İki ya da daha çok doğrusal denklemin oluşturduğu denklemler topluluğuna doğrusal denklemi sistemi denir. Örneğin, 2 𝑥 1 + 𝑥 2 −3 𝑥 3 =5 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑥 3 =0 3 𝑥 1 + 5 𝑥 2 −2 𝑥 3 =4

Denklem sistemi, üç bilinmeyenli(değişkenli) ve üç denklemli bir doğrusal denklem sistemidir. Doğrusal denklem sistemlerindeki denklem sayısı, genellikle sistemde bulunan bilinmeyen sayısına eşittir(regresyon modellerinde olduğu gibi). Denklem sayısının değişken sayısına eşit olduğu durumlarda, bilinmeyenler için denklem sistemini sağlayacak tek değerler vardır ve buna tek çözüm denir. Eğer, bilinmeyen sayısı denklem sayısından büyükse( ki böylesi durumlar doğrusal programlama problemlerinde görülür) bilinmeyenler için sistemi sağlayan sonsuz sayıda değerler vardır. Bu da sonsuz sayıda çözüm olarak nitelenir.

Bazı durumlarda, bilinmeyen sayısı denklem sayısından küçük olabilir Bazı durumlarda, bilinmeyen sayısı denklem sayısından küçük olabilir. Fizikteki devre problemleri buna örnek gösterilebilir. Bu gibi durumlarda, sistemde bulunan denklemlerin bazıları bağımlıdır ve çözümleri denklemde bulunan diğer denklemlerin çözümü ile elde edilir. Buna da; denklemde bulunan bağımsız denklemleri kullanma yolu ile çözüm denir.

p bilinmeyenli n denklemden oluşan bir doğrusal denklem sistemi: 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 +…+ 𝑎 1𝑝 𝑥 𝑝 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 +…+ 𝑎 2𝑝 𝑥 𝑝 = 𝑏 2 𝑎 𝑛1 𝑥 1 + 𝑎 𝑛2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑛𝑝 𝑥 𝑝 = 𝑏 𝑛 Biçiminde verilir. Bu denklem sistemi matrislerle; 𝑎 11 𝑎 12 …… 𝑎 1𝑝 𝑎 21 . . . . 𝑎 22 …… 𝑎 2𝑝 . . . . 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 …… 𝑎 𝑛𝑝 𝑥 1 𝑥 2 . . . . 𝑥 𝑝 = 𝑏 1 𝑏 2 . . . . 𝑏 𝑛 Şeklinde gösterilir ve AX= B şeklinde yazılabilir. Bu sistemde A=( 𝑎 𝑖𝑗 )𝑛𝑝 matrisine katsayılar matrisi denir.

Doğrusal Denklem Sistemlerinin Determinantlar Yardımıyla Çözümü Doğrusal sistemlerinin çözümünde kullanılan değişik yöntemler vardır. Burada sadece, doğrusal denklem sistemlerinin determinantlar yardımıyla çözümü üzerine durulacaktır. Bu amaçla, aşağıdaki denklem sistemini dikkate alalım ve sistemi determinantlar yardımı ile çözelim; Denklem sistemi, 3 𝑥 1 −7 𝑥 2 +2 𝑥 3 =−1 4 𝑥 1 + 𝑥 2 =12 2 𝑥 1 − 4 𝑥 2 + 𝑥 3 =1 Olsun. Bu 3x3’lük doğrusal denklem sistemini matris formunda AX=B olarak yazarsak; 3 −7 2 4 1 0 2 −4 1 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = −1 12 1 olur.

Bir doğrusal denklem sisteminde, denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşitse (n=p) ve doğrusal denklem sistemindeki katsayılar matrisinin determinantı sıfırdan farklı (│A│≠ 0) ise denklemin bilinmeyenleri olan 𝑥 𝑖 ’ler; 𝑥 𝑖 =│ 𝐴 𝑖 𝐴 │ i = 1……..,,P ile bulunur ve sistemin tek çözümü vardır. Burada 𝐴 𝑖 ’ler; A matrisinde i. sütun yerine B sütunu konularak elde edilen matrislerdir ve bu yöntem Cramer kuralı olarak adlandırılır. Sistemi Cramer kuralına göre çözersek; │ 𝐴 1 │= −1 −7 2 12 1 0 1 −4 1 = -15 │ 𝐴 2 │= 3 −1 2 4 12 0 2 1 1 = 0 │ 𝐴 3 │= 3 −7 −1 4 1 12 2 −4 1 =25 ve │A│= -5 olarak bulunur.

Buradan; 𝑥 1 = −15 −5 =3, 𝑥 2 = 0 −5 =0 ve 𝑥 3 = 25 −5 =−5 olarak bulunur. │A│= 0 ise bu yöntemle sistemin çözümü bulunamaz. Eğer │A│= 0 ve herhangi bir (│ 𝐴 𝑖 │≠ 0) ise sistem tutarsız olacaktır. Eğer çözüm varsa ve │A│= 0 iken her (│ 𝐴 𝑖 │= 0 ise çözümde keyfi bir parametre vardır. Ancak, Cramer kuralı bu parametrik çözümü vermez.

Denklem Sistemlerinin Çözümünde Rank Kuralı Determinant yönteminde sistemdeki denklem sayısının değişken sayısına eşit olması durumunda denklem sistemini sağlayacak tek çözümün nasıl elde edileceğini yukarıda gördük. Rank kuralı da verilen herhangi bir denklem sisteminde çözüm olup olmadığının araştırılmasında kullanılır. Bu kurala göre denklem sayısının (n) değişken sayısına (p) eşit olduğu bir sistemde tek çözüm olabilmesi için katsayılar matrisi olan A’nın rankının değişken sayısına (p) eşit olması gerekir. Eğer r(A)‹ p ise sistemin çözümünde bir takım zorluklar ortaya çıkar.

N denklemi p bilinmeyenli AX=B sistemini göz önüne aldığımızda A katsayılar matrisine B sütununun eklenmesi ile elde edilen nx(p+1) boyutlu matrise eklemeli matris adı verilir ve 𝐴 𝐵 ile gösterilir. 𝐴 𝐵 eklemeli matris aşağıda verilmiştir.  𝐴 𝐵 = 𝑎 11 𝑎 12 …… 𝑎 1𝑝 𝑏 1 𝑎 21 . . . . 𝑎 22 …… 𝑎 2𝑝 . . . . 𝑏 2 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 …… 𝑎 𝑛𝑝 𝑏 𝑛

𝐴 𝐵 ve A matrislerinin rankının incelenmesi verilen herhangi bir denklem sisteminin çözümü olup olmadığı hakkında bilgi verir. A katsayıları matrisi 𝐴 𝐵 eklemeli matrisinin içinde olduğu için r(A), r( 𝐴 𝐵 )’den büyük olmayacaktır. Benzer şekilde r( 𝐴 𝐵 ) ise r( 𝐴 𝐵 )+1’den büyük olamaz buna göre; 1.r( 𝐴 𝐵 )= r( 𝐴 𝐵 )+1 ise çözüm yoktur. 2.r( 𝐴 𝐵 )= r(A)=p ise tek çözüm vardır. 3.r( 𝐴 𝐵 )= r(A)‹p ise sonsuz çözüm vardır

Buna göre, 1 nolu durumda sistem tutarsız kurulmuştur Buna göre, 1 nolu durumda sistem tutarsız kurulmuştur. Yani A matrisi B’ yi eklemek rankını bir artırmaktadır. 2 nolu durumda sistem tutarlıdır. Yani B vektörünü A’ ya eklemek A matrisinin rankını artırmaz ve bu sistemdeki X’ lerin kümesine anlamlı çözüm kümesi denir. 3 nolu durumda sistem tutarlı kurulmuştur. Ancak, bazı X değerlerini (n-r(A) kadarını) keyfi olarak belirlemek olanaklıdır.

Teşekkürler