Sürekli Zaman Aktif Filtre Tasarımı Yaklaşımlar Bölüm II

Yaklaşım problemlerinin çözümü filtre tasarım işleminin en önemli adımlarından biridir ve hem analog hem de dijital filtreler için eşit önemdedir. Bunun için, Öncelikle İzinli fonksiyonların karakteristiği incelenir Yaklaşım problemi formüle edilir Frekans bölgesinde istenen filtre tepkesi için yaklaşım problemi çözümünde en popüler ve en iyi bilinen fonksiyonlar kullanılır Bu fonksiyonlar alçak geçiren oldukları için diğer tipler için dönüşümler uygulanır.

İzinli Fonksiyonlar ve Filtre Özellikleri Doğrusal, toplu ve sınırlı (LLF) bir devre fonksiyonu üç önemli özellik taşır. Nedensellik Rasyonellik Kararlılık

Nedensellik (Causality) Herhangi bir neden olmadan sonuç olmaması durumudur. Nedensel bir devrede herhangi bir giriş veya etki olmadan herhangi bir çıkış veya tepki olmaz. 1. şekildeki tepki nedensel değilken 2. şekildeki tepki nedenseldir. İdeal alçak geçiren filtrenin birim dürtü tepkesi nedensel olmadığı için gerçekleştirilemez.

Rasyonellik Doğrusal, toplu ve sınırlı devre fonksiyonu Laplas dönüşüm değişkeni s ten oluşmuş sınırlı iki polinomun oranı şeklinde olduğu için rasyoneldir. H(s)=

Kararlılık (Stability) Frekans alanında bir filtrenin kararlı olması için, Devre fonksiyonunun s düzlemindeki kutupları sol yarı düzlemde olmalıdır. Sanal eksen üzerinde tek kutup olmalıdır. Paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden birden büyük olmamalıdır.

Yaklaşım Probleminin Formüle Edilmesi Bir filtreyi kesim frekansı, geçirme bandındaki en büyük sapma ve durdurma bandındaki en az zayıflatma özellikleri ile tanımlayabiliriz. sapma Zayıflama Kesim Frekansı

Burada hedeflenen: bir matematiksel ifade olarak bir grup kısıtlama olarak grafik olarak tanımlanmış bir M(ω) fonksiyonu için bir F(s) ifadesini |F(jω)| ifadesi |M(ω)| ’nın bir yaklaşımı olacak şekilde hesaplamaktır.

Zaman uzayında birim dürtü tepkesi ile yaklaşımı arasında ki hata ile verilir. Bu hatanın oldukça küçük olması istenir. Yaklaşım problemleri değişik yollar ile matematiksel olarak çözülür. En iyi bilinen ve en popüler olanları, Butterworth, Chebyshev ve eliptik yaklaşım fonksiyonlarıdır. Bunlardan başka gecikme yaklaşımlarından Bessel-Thompson yaklaşımı da yaygın olarak kullanılmaktadır.

İdeal Alçak Geçiren Filtre Yaklaşımı

Alçak Geçiren Filtre Yaklaşımı (Butterworth) Burada yapılan filtre devresinin transfer fonksiyonunun aşağıda verildiği gibi olduğu yaklaşımını kullanmaktır.

Yaygın olarak ε = 1 kabul edilirse yukarıdaki yaklaşım kabulü şeklini alır. Bu BUTTERWORTH fonksiyonu olarak tanımlanır. Burada verilen ifade de frekans normalizasyonu yapılmıştır. Bunu normale dönüştürmek için frekans de-normalizasyonu yapılır. Bu işlem kesim frekansının istenen bir ωC getirilmesi için yapılırsa bu durumda transfer fonksiyonu şeklini alır.

ε = 1 kabul edilip, frekans de-normalizasyonu yapılmış bir Butterworth tipi transfer fonksiyonu için : C = 100 radians/saniye & n = 2, 4, & 7. kabul edelim M(C) her zaman 1/(2) dir n arttıkça şekil ideal ‘brick-wall’ ’a benzer. M() dB cinsinden 20 log10(G()),  ya karşı.  linear veya log skalada olabilir. 20 log10(1/(2)) = -3, bütün eğriler  = C için -3dB dir.

n=7 n = 2 n=4 Doğrusal-Doğrusal PLOT M() 1 / (2) radian/saniye 1 0.9 0.8 1 / (2) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 n=7 n=4 n = 2 0.1 50 100 150 200 250 300 350 400 radian/saniye

dB-Doğrusal çizim dB -10 n=2 -20 -30 n=4 -3dB -40 -50 -60 n=7 -70 -80 -90 50 100 150 200 250 300 350 400 radian/saniye

dB-LOG çizim dB 3 dB n=2 n=4 radian/saniye -10 -20 -30 -40 -50 -60 dB -10 3 dB -20 -30 n=2 -40 -50 -60 n=4 -70 -80 100 101 102 103 radian/saniye

Kutuplar için ve alınırsa veya

n= 4 için

Chebyshev Yaklaşımı İdeal alçak geçiren filtre fonksiyonu Kabul edilebilir band geçiş hatası Chebyshev fonksiyonu

-1 ile 1 arasında Ripple hatası

Elips

Ters Chebyshev Yaklaşımı Chebyshev yaklaşımında geçirme bandında dalgalanmalar olamakta ve kesim frekansından durdurucu bandına tekdüze bir geçiş olmaktadır. Ters Chebyshev yaklaşımında ise dalgalanmalar durdurucu bandda oluşur. Geçirme bandı Butterworth filtre gibi flat olur. Faz tepkesi Chebyshev filtrelerinden daha iyi olmaktadır.

Eliptik Fonksiyon ve Cauer Yaklaşımı Çok keskin geçiş bandlı filtre istendiğinde tercih edilen yaklaşımdır. Bu yaklaşımda dezavantaj olarak hem durdurucu hem de geçirme bandında dalgalanmalar olur.

3. Dereceden Elliptic Filtre

Özelliklerinden Filtre Seçimi Butterworth -3 dB zayıflama Normalize derece

Örnek:

Chebyshev Sapma Zayıflama Örnek:

Frekans Dönüşümleri Alçak Geçiren – Alçak Geçiren Dönüşümü Normalize alçak geçiren fonksiyonunun denormalize edilerek kesim frekansının cinsinden verilmesi.

Alçak Geçiren – Alçak Geçiren Dönüşümü

Alçak Geçiren – Yüksek Geçiren Dönüşümü

Alçak Geçiren – Yüksek Geçiren Dönüşümü

Alçak Geçiren – Band Geçiren Dönüşümü

Alçak Geçiren – Band Geçiren Dönüşümü Bandgenişliği

Alçak Geçiren – Band Durduran Dönüşümü

Alçak Geçiren – Band Durduran Dönüşümü Bandgenişliği

Pasif Alçak Geçiren Filtre Gerçekleştirilmesi Genellike giriş direnci çıkış direncine eşit ve 1 ohm seçilir. Induktans içerdiği için 10 kHz’in altındaki frekanslarda tercih edilmez Butterworth ve Chebishev yaklaşımları için uygulanır.

Pasif Alçak Geçiren Filtre Gerçekleştirilmesi Genellike giriş direnci çıkış direncine eşit ve 1 ohm seçilir. Induktans içerdiği için 10 kHz’in altındaki frekanslarda tercih edilmez Ters Chebishev ve elliptic yaklaşımları için uygulanır.

Pasif Yüksek Geçiren Filtre Gerçekleştirilmesi Alçak geçiren devrede kondansatör ve bobinler yer değiştiriyor.

Pasif Band Geçiren Filtre Gerçekleştirilmesi Alçak geçiren devredeki kondansatör yerine paralel kondansatör ve bobin konuyor.

Pasif Band Geçiren Filtre Gerçekleştirilmesi Alçak geçiren devredeki kondansatör yerine paralel kondansatör ve bobin konuyor.

Pasif Band Geçiren Filtre Gerçekleştirilmesi Butterworth ve Chebishev yaklaşımları için uygulanır.

Pasif Band Geçiren Filtre Gerçekleştirilmesi Butterworth ve Chebishev yaklaşımları için uygulanır.