DERS 11 KISITLAMALI MAKSİMUM POBLEMLERİ

Teorem (Lagrange): Bir g(x,y) = 0 kısıtlaması altında z = f (x,y) fonksiyonunun her hangi bir yerel maksimum veya minimum değeri f (a,b) ise, F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y) olmak üzere (a,b,) üçlüsü aşağıdaki denklem sisteminin bir çözümüdür:

z = f(x,y) veya F(x,y,z) = 0 şeklinde verilen bir fonksiyonun g(x,y) = 0 veya G(x,y,z) = 0 kısıtlaması altında ekstremum değerlerinin bulunması gerekebilir. Ekstremum değerleri aranan z = f(x,y) fonksiyonuna amaç fonksiyonu, g(x,y) = 0 fonksiyonuna kısıtlama fonksiyonu denir. Bu tür problemlerin çözümünde iki yol izlenir.

1. Kısıtlama fonksiyonundan değişkenlerden biri diğeri veya diğerleri cinsinden çekilerek amaç fonksiyonunda yerine yazılır. Böylece amaç fonksiyonunun bilinmeyen sayısı 1 azaltılmış olur. Bundan sonra bilinen yöntemlerle amaç fonksiyonunun ekstremum değerleri bulunur. 2. Lagrange Çarpanları Yöntemi : Bunun için amaç fonksiyonu z = f(x,y), kısıtlama fonksiyonu g(x,y)=0 ise F(x,y,λ) = f(x,y)+λg(x,y) fonksiyonu oluşturulur. Fx=0, Fy=0, Fλ=0 denklemlerinden x, y, λ bulunur. Böylece elde edilen (x,y,z) noktaları aranan ekstremum noktaları olur.

Örnek Problem: 240 m. Şekilde görüldüğü gibi, bir duvarın önünde bir tarafı duvar, diğer üç tarafı tel örgü ile çevrili dikdörtgen biçiminde bir alan oluşturulmak isteniyor. Kullanılabilecek tel-örgü 240 m olduğuna göre, oluşturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır?

Problemimizi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: Problemin çözümü için dikdörtgensel bölgenin boyutlarını x ve y ile gösterelim. y x Oluşturulacak alan A = f (x,y) = xy dir. Kullanılacak tel örgünün uzunluğunun x+2y=240m olması x ve y üzerinde bir kısıtlamadır. Burada amaç fonksiyonu A = xy, kısıtlama fonksiyonu g(x,y)= x+2y-240 tır. Problemimizi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: z = f (x,y)= xy fonksiyonunun g (x,y)= x+2 y – 240 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz.

A’= 120 – x = 0 ve buradan x = 120, y = 60 olur. Çözüm: 1. yol: x+2y=240 eşitliğinden y=120 çekip A =xy de yerine yazarak A = 120x elde ederiz. Buradan A’= 120 – x = 0 ve buradan x = 120, y = 60 olur. 2. yol: Lagrange Çarpanları Yöntemi: Lagrange çarpanı fonksiyonunu tanımlayalım. olur. Amax = 60.120 = 7 200 m2 olur.

Problem: z = f (x,y) = x2 + y2 fonksiyonunun x+y=10 kısıtlaması altında minimum değerini bulunuz. Çözüm: z = x2+y2 yüzeyin grafiğini çizelim ve kısıtlamanın ne olduğunu görelim.

z = x2 + y2 yüzeyinin grafiği (0,0,0) z = x2 z = y2 z = x2 + y2

x+ y = 10 z y x (0,0) x+ y = 10 (10,0) (0,10) x+ y = 10

z = x2 + y2 paraboloidi ile x+y=10 düzleminin arakesit eğrisi (10,0) (0,10)

Kısıtlamanın anlamı şudur; z nin, z = x2 + y2 yüzeyi ile x+y = 10 düzleminin arakesit eğrisi üzerindeki minimum değeri istenmektedir. 1. yol: x+y=10 y=10 - x z = x2+(10 – x)2 z=2x2 -20x+100 ve z’=4x-20=0 x=5, y=5, z=50 2. yol: Lagrange Çarpanları Yöntemi: Verilen kısıtlama altında zmin =50 olur.

z=25-x2-y2 nin x+y=4 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. Problem: z=25-x2-y2 nin x+y=4 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. z=25-x2-y2 nin grafiği; z y x (0,5,0) (-5,0,0) (0,0,25) (5,0,0) (0,-5,0) z = 25 - y2 z = 25 - x2 z = 25 - x2 - y2 x2 + y2 = 25

z y x x+ y = 4 x+ y = 4 (4,0,0) (0,4,0)

z z = 25 - x2 - y2 z=25-x2-y2 x+y=4 y x x+ y = 4 (-5,0,0) (0,4,0) (0,0,25) z = 25 - x2 - y2 x+ y = 4 z=25-x2-y2 x+y=4 (-5,0,0) (4,0,0) (0,4,0) y (0,-5,0) x

Çözüm: 1. yol: x+y=4 y=4 - x z = 25-x2-(4 – x)2 z=25-2x2 +8x-16 ve z’= -4x+8=0 x=y=2, z=17 2. yol: Lagrange Çarpanları Yöntemi: z=25-x2-y2 yüzeyi ile x+ y = 4 düzleminin arakesit eğrisi üzerinde z’nin maksimum değeri zmax= 17 dir.

fonksiyonunun 3x+4y=74 kısıtlaması altında ekstremumlarını Lagrange Çarpanları Yöntemi ile bulunuz Örnek: Çözüm: min. noktası

z = f (x,y) = exy fonksiyonunun x - y = 2 kısıtlaması altında minimum değerini, Problem: a) Lagrange Yöntemini kullanarak, b) Lagrange Yöntemini kullanmadan bulunuz. Çözüm: a) F(x,y,λ) = exy +λ(x-y-2) y= – x Fx = yexy +λ = 0 yexy + xexy = 0 Fy = xexy -λ = 0 λ = xexy Fλ = x – y – 2 = 0 x = 1, y = -1 z = f (1,-1) = e -1 yüzeyin x - y = 2 kısıtlaması altında minimum değeridir.

z= f(x)= ex(x-2) fonksiyonunun minimum değeri için b) z = f(x,y) = exy fonksiyonunu x - y = 2 kısıtlaması altında z = f(x) = ex(x-2) yazabiliriz. z= f(x)= ex(x-2) fonksiyonunun minimum değeri için f ’ (x)= (2x – 2)ex(x-2) = 0 x = 1 x = 1, y = -1, z = e -1 olur. f ‘(x), x = 1 de negatiften pozitife geçtiği için z = e -1 minimum değerdir. NOT: Lagrange Yöntemi 3 ve daha çok değişkenli fonksiyonlar için de uygulanabilir.

Kutunun boyutlarını x , y, z ile gösterelim. Problem: z y x Şekilde görüldüğü gibi üstü açık, 5 bölmeli, 96 cm3 hacimli bir kutu en az malzeme kullanılarak üretilecektir. Kutunun boyutlarını, a) Lagrange Yöntemini kullanmadan, b) Lagrange Yöntemini kullanarak bulunuz. Çözüm: Kutunun boyutlarını x , y, z ile gösterelim. Kullanılacak malzeme M(x,y,z)=6yz+2xz+xy cm2 olur. Diğer taraftan V = xyz = 96 cm3 tür.

a) xyz = 96 Kutunun hacminin 96 cm3 olması kısıtlaması altında kutunun boyutları x = 12 cm, y = 4 cm, z = 2 cm olmalıdır. Bu durumda kullanılacak malzeme miktarı M=6.4.2+2.12.2+12.4= 144 cm2 olur.

b) F(x,y,z,λ) = 6yz+2xz+xy + λ(xyz-96) Fx =2z+y + λyz = 0 2xz+xy + λxyz = 0 x = 3y Fy =6z+x + λxz = 0 6yz+xy + λxyz = 0 Fz =6y+2x + λxy = 0 6y+6y + 3λy2 = 0 Fλ =xyz-96 = 0 2z+y + λyz = 0 x = 12, y = 4, z = 2 bulunur.

b) F(x,y,z,λ) = 6yz+2xz+xy + λ(xyz-96) Fx =2z+y + λyz = 0 2xz+xy + λxyz = 0 x = 3y Fy =6z+x + λxz = 0 6yz+xy + λxyz = 0 Fz =6y+2x + λxy = 0 6y+6y + 3λy2 = 0 Fλ =xyz-96 = 0 2z+y + λyz = 0 x = 12, y = 4, z = 2 bulunur.

ÖDEVLER: fonksiyonunun kısıtlaması altında maksimum değerini Lagrange yöntemi ile Lagrange yöntemini kullanmadan bulunuz. fonksiyonunun kısıtlaması altında maksimum değerini Lagrange yöntemi ile Lagrange yöntemini kullanmadan bulunuz.

fonksiyonunun kısıtlaması altında minimum değerini Lagrange yöntemi ile bulunuz. fonksiyonunun kısıtlaması altında maksimum değerini Lagrange yöntemi ile bulunuz. fonksiyonunun kısıtlaması altında maksimum değerini Lagrange yöntemi ile bulunuz. 6. Çevresi 300 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacminin en büyük olması için boyutları ne olmalıdır?

düzleminin orijine en yakın noktasını bulunuz. dikdörtgenin kenar uzunluklarını ve alanını bulunuz. elipsinin içine çizilebilecek en büyük alanlı içindeki eksremum değerlerini bulunuz. fonksiyonunun dairesinin içindeki eksremum değerlerini bulunuz. fonksiyonunun dairesinin dairesi içindeki maksimum ve minimum eşitliği ile verilen sıcaklığın değerlerini bulunuz.

eğrisinin orijine en yakın ve en uzak noktalarını bulunuz. 13. Çevrisi 12m olan dikdörtgen şeklindeki bir reklam levhasının alanının en büyük olması için boyutları ne olmalıdır? 14. Sac malzeme kullanılarak hacmi 64 m3 olan dikdörtgenler prizması şeklinde bir su deposu yaptırılacaktır. Minimum malzeme kullanılması için boyutları ne olmalıdır? 15. Hacmi 192 cm3 olan silindir şeklinde bir bardak üretilecektir. Bardağın yüzölçümünün (toplam alanının) minimum olması için boyutları ne olmalıdır?( alınız)

ÇÖZÜMLER:

düzleminin orijine en yakın noktasını bulunuz. Herhangi bir noktanın orijine olan uzaklığının karesi dir. Bu noktanın verilen düzlem üzerinde bulunması şartı ise bir kısıtlamadır.

dikdörtgenin kenar uzunluklarını ve alanını bulunuz. elipsinin içine çizilebilecek en büyük alanlı

içindeki eksremum değerlerini bulunuz. fonksiyonunun dairesinin A ve B noktalarında maksimum C ve D noktalarında minimum vardır.

içindeki eksremum değerlerini bulunuz. fonksiyonunun dairesinin

15. Hacmi 192 cm3 olan silindir şeklinde bir bardak üretilecektir 15. Hacmi 192 cm3 olan silindir şeklinde bir bardak üretilecektir. Bardağın yüzölçümünün (toplam alanının) minimum olması için boyutları ne olmalıdır?