EŞDEĞER SİSTEMLER İLE BASİTLEŞTİRME M.Feridun Dengizek

Kuvvet çiftleri belli bir noktada etkin eşdeğer kuvvetler ile değiştirelerek çözümler kolaylaştırılabilir. ÖRNEK B noktasında F kuvveti ile çekilen bir mekanik elemanın A noktasına + ve – değerli F kuvveti yerleştirilirse sistem aynı kalır. B noktasındaki F kuvveti A noktasına ilave edilen -F kuvvetini yok eder. Sadece A noktasındaki F kalır. Bu olaya F kuvvetinin geçişkenliği (transmissibility) denir. Yani kuvvet etki ettiği doğrultu üzerinde olmak şartıyla herhangi bir noktada aynı büyüklükte etkindir.

Bir eleman üzerinde etkin kuvvetin doğrusal yönde olmayan farklı bir yere geçirilme durumunda ise Kuvvetin kaydırıldığı noktaya ayrıca kuvvet çarpı kayma mesafesi kadar moment ilave edilmesi gerekir. Bu moment serbest bir moment olup elemanın herhangi bir yerde etkin olabilir.

Bir cisim üzerinde iki farklı kuvvet F1 ve F2 ve ayrıca bir moment M etkin olduğunu kabul edelim. Bir önceki slaytta belirtilen metodu uygulayarak bütün kuvvetleri herhangi bir O noktası etrafında buluşturabiliriz. Bu durumda yapılacak şey her kuvvetin yanı sıra kayma konum vektörünün O noktasına koyulmasıdır. Tek başına moment ise zaten serbest bir vektör olduğu için hepsinin O noktasında toplanması mümkün olur. Böylece;

PROBLEM Yandaki sistemde, O noktasında ortaya çıkacak toplam kuvvet ve Momenti bulunuz ÇÖZÜM Öncelikle çift kuvvetler moment olarak O noktasına taşınır MC=200*1= 200N-m Sonra toplam kuvvetler kartezyen koordinatlarda bulunarak skalar büyüklüğe çevrilir Sonra A ve B deki kuvvetlerin O noktasına taşınabilmesi için bu kuvvetlerin O noktasına göre momentleri bulunur.

PROBLEM Bir direk iki halat ile zemine bağlanmış. Halatlarda belirtilen kuvvetler etkin olduğuna göre O noktasındaki kuvveti ve momenti bulunuz. ÇÖZÜM O(0,0,0) A(0,0,8) B(0,6,0) C(0,0,6) D(2,-3,0)

KESİŞEN KUVVETLER Eğer bir sistemde bütün kuvvetler tek bir noktada kesişiyorsa bu durumda sadece bir toplam kuvvet oluşur ve herhangi bir moment oluşmaz.

AYNI DÜZLEMDEKİ KUVVETLER Aynı düzlemde olup fakat kesişmeyen kuvvetlerde toplanarak tek bir kuvvete dönüştürülebilir. Ancak bu toplam kuvvetin belli bir noktadan geçmesini sağlamak için ilave moment eklenmesi gerekir. İlave momenti eklemek yerine toplam kuvveti moment kolu kadar kaydırarak toplam kuvveti yine sadece tek bir kuvvete dönüştürebiliriz

PARALEL KUVVETLER Bir yüzeye dik ve birbirine paralel etki eden kuvvetlerin bir noktada toplanması durumunda yine toplam kuvvetin yanı sıra kuvvete dik yönde toplam bir moment oluşur. Bu momenti ortadan kaldırmak için toplam kuvvetin kuvvet kolu kadar moment eksenine dik bir mesafeye kaydırılması gerekir

ÜÇ BOYUTLU KUVVETLER Eğer bir makine parçası üzerinde etkin kuvvetler Aynı noktada kesişmiyorlar Aynı düzlemde değil Ve birbirlerine paralel değilseler Bu kuvvetlerin belli bir noktadaki toplam değeri ve oluşan toplam moment birbirine dik konumda olmaz. Bu durumda; Oluşan toplam moment biri toplam kuvvete paralel, diğeri dik olacak şekilde iki bileşene ayrılır. Sonra dik konumdaki moment yok edilecek şekilde toplam kuvvet kaydırılır Sonra paralel moment serbest moment olduğu için toplam kuvvetin eksenine getirilir

PROBLEM Resimdeki kaldırma aparatının üzerinde oluşacak toplam kuvvetin AB kolonu üzerinden geçtiği noktayı bulunuz BC kirisi üzerinden geçtiği noktayı bulunuz ÇÖZÜM Önce toplam kuvvet bulunur

Bulunan toplam kuvvetin BC kirişi üzerinde etkin olduğu noktayı bulmak için toplam kuvvetin x kadar uzakta oluşturacağı toplam moment, etkin kuvvetlerin oluşturacağı toplam momente eşit olmalıdır. Önce bir önceki slaytta bulunan kuvvetlerin A noktasında oluşturacağı toplam moment bulunur. Toplam kuvvetin C kirişi üzerinde oluşturduğu moment Bulunan momentin toplam kuvvetin oluşturacağı momente eşit olduğu x mesafesi için momentler eşitlenir AB kolunu üzerindeki noktayı bulmak içinde aynı metod uygulanır veya bir önceki slaytta bulunmuş olan açıdan yararlanılarak y ölçüsü bulunur.

Problem Yanda görülen binanın kolonlarına binen yüklerin eşdeğer toplam yükü x-y eksenlerinden ne kadar uzaktadır.

DAĞILMIŞ YÜKLER Bir tank içinde bulunan su, serilmiş halının ağırlığı vs. tabanda eşit dağılmış yük (basınç) oluşturur. Bu basıncın biriminin (N/m2) veya pascal (pa) olduğunu görmüştük. Ancak yapı elemanlarında yük belli bir alan üzerinde değil belli bir eksen üzerinde etki eder. (kiriş üzerindeki yayılı yük gibi) Kiriş üzerindeki yükün kiriş genişliğince eşit, kiriş boyunca ise değişken olması durumunda yükün eksenel olarak denklemini yazmak gerekir p=p(x) w(x)=b*p(X) Bu durumda yayılı paralel yükler yerine eşdeğer toplam yük kullanılarak çözüm kolaylaştırılabilir. Bunun için eşdeğer toplam yükün hangi pozisyonda etki ettiğini bulmak gerekir.

ETKİ POZİSYONU Dersin başında belli bir eksen etrafında kuvvetler toplamının nasıl toplam momente dönüştüğünü görmüştük Burada X toplam FR kuvvetinin etki ettiği pozisyondur. Ve bu nokta aynı zamanda elemanın ağırlık merkezi “C” dir Makine ve yapı elemanlarında değişken kuvvetler ikinci dereceden bir denklem ile ifade edilebilen değerler olmayıp; üçgen daire, kare dikdörtgen gibi ağırlık merkezleri kolay hesaplanabilir şekillerdir

PROBLEM 1 Yük dağılımı verilen kirişte Toplam kuvveti ve bu kuvvetin nerede etki ettiğini bulunuz

Makine ve yapı elemanlarında değişken kuvvetler üstel foksiyonlu denklemler ile ifade edilebilen değerler olmayıp; üçgen, daire, kare dikdörtgen gibi ağırlık merkezleri kolay hesaplanabilir şekillerdir. Bu durumda şekillerin alanları ve ağırlık merkezleri hesaplanarak toplam moment bilgisine ulaşılır

PROBLEM 2 Yük dağılımı verilen kirişte toplam kuvveti ve A noktasına göre bu kuvvetin nerede etki ettiğini bulunuz. ÇÖZÜM. Önce yayılı yükler şekline göre gruplandırılır X1=1m F1=15*3/2= 22.5kN/m X2=1m F2=5*3/2= 7.5kN/m X4=1m F4=10*3/2= 15kN/m X2=1.5m F2=3*10= 30 kN/m

PROBLEM 3 Islak beton kalıp içinde resimdeki gibi yük dağılımına neden olur. 5 metre genişliğindeki bu kalıba etki eden toplam kuvveti ve bu kuvvetin etki ettiği noktanın yerden yüksekliğini bulunuz.