RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ

Rijit cismin kinetiği, cisme etki eden kuvvetler ile cismin şekli, kütlesi ve bu kuvvetlerin yarattığı hareket arasındaki bağıntıları inceler. Parçacığın kinetiği konusunda cismi yalnızca kütle merkezinden ibaret bir nokta gibi ele almıştık ve cisme etkiyen tüm kuvvetler bu noktadan geçmek zorundaydı. Rijit cisimde ise cismin gerçek boyutları ile birlikte, kuvvetlerin cisme uygulandıkları noktaların yeri de göz önüne alınacaktır. Cismin tamamının yaptığı hareketin yanı sıra, cismin kendi kütle merkezi etrafındaki hareketi de incelenecektir.

Kütle-Kuvvet-İvme Bağıntıları Genel Hareket Denklemleri Statikte, cisme etkiyen kuvvet sistemi keyfi olarak alınan bir noktaya bir bileşke kuvvet ve bir bileşke kupl momenti olarak indirgenebiliyordu. Yani kuvvet sistemi sonsuz sayıda bileşkeyle yer değiştirebiliyordu. Eğer bu keyfi noktayı rijit cismin G kütle merkezi olarak alır ve bileşkeyi bileşke kuvvetin doğrultusu bu noktadan geçecek şekilde yerleştirirsek dış kuvvet sisteminin etkisine cismin verdiği dinamik yanıtı (Dynamic Response) aşağıdaki gibi canlandırabiliriz:

SCD Eşdeğer Kuvvet-Kupl Diyagramı Kinetik Diyagram (a) (b) (c) 1) Cisme etkiyen dış kuvvetlerin gösterildiği SCD 2) Bileşke kuvvetin G’ ye indirgendiği eşdeğer kuvvet-kupl diyagramı 3) Bunların sonucunda cismin bunlara verdiği dinamik yanıt (davranış)-Kinetik diyagram

RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKET DENKLEMLERİ xy düzleminde genel hareket yapan cismin G kütle merkezi doğrusal ivmesine ve cisim w açısal hızı ve a açısal ivmesine sahip olsun. Genel hareket yapan bu cismin G kütle merkezine göre açısal momentumunun neye eşit olduğunu çıkaralım ve daha sonra zaman türevini alalım. Cismi oluşturan parçacıklardan herhangi birini temsilen mi parçacığını dikkate alalım. Bu parçacığın G’ ye göre açısal momentumu: : mi parçacığının G’ye göre konum vektörü mi parçacığının hızı g

Rijit cismin G’ ye göre açısal momentumu, onu oluşturan tüm parçacıkların G’ ye göre açısal momentumlarının toplamına eşit olacaktır. I katı cismin G’ ye göre (veya G’ den geçen ve şekil düzlemine dik olan z eksenine göre) kütle eylemsizlik (atalet) momentidir.

Analiz Yöntemi Rijit cisimlerin hareketleri ile kuvvet-kütle-ivme problemleri çözülürken aşağıdaki sıra izlenir: 1) Kinematik : Öncelikle ne tip bir hareket olduğu tanımlanmalı ve bilinmeyen gerekli doğrusal-açısal ivme değerleri kinematik bağıntılar kullanılarak belirlenmelidir. 2) Diyagramların çizilmesi : SCD ve kinetik diyagram oluşturulup uygun eksen takımı seçilmelidir. 3) Hareket denklemlerinin uygulanması ( , )

Kütle Atalet Momenti dm kütleli sonsuz küçük bir elemanın OO eksenine göre kütle atalet momenti dI dm r O m kütleli cismin toplam atalet momenti I ise I her zaman pozitiftir, birimi kg.m2’ dir. G O d Paralel Eksenler Teoremi: Kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momenti biliniyorsa, herhangi bir eksene göre kütle atalet momenti;

Bazı Geometrik Şekillerin Kütle Atalet Momentleri İnce Çubuk İnce dairesel plaka İnce dikdörtgen plaka Jirasyon (Atalet) Yarıçapı Bir doğruya göre kütle atalet momenti: k : jirasyon yarıçapı

 1) ÖTELENME a) Doğrusal Ötelenme (Rectilinear Translation): SCD G “m” F1 F2 F3 Fn  SCD Kinetik Diyagram G’ nin yörüngesi w=0 a=0 P d A x x

PROBLEMLER 1. Düzgün 30 kg OB çubuğu O’daki mesnet ve A’daki tekerlek ile yatayla 30o yapacak şekilde ivmelenen çerçeve üzerine monte edilmiştir. Çerçevenin yatay ivmesi a=20 m/s2 ise tekerleğe uygulanan FA kuvveti ile O’daki pime gelen kuvvetin x- ve y- bileşenlerini hesaplayınız.

PROBLEMLER 2. A bloğu ve ona bağlı çubuk toplam 60 kg kütleye sahiptir ve 800 N’luk etkisi altında 60o’lik kılavuz boyunca hareket etmektedir. Düzgün yatay çubuğun kütlesi 20 kg olup B noktasında bloğa kaynaklanmıştır. Kılavuzdaki sürtünme ihmal edilebilir. B noktasında kaynaktan çubuğa etkiyen M momentini hesaplayınız.

ÇÖZÜM  SCD Kinetik Diyagram mTax=60ax x x N W=60(9.81) N Çubuğun SCD 60o W=60(9.81) N Çubuğun SCD Çubuğun KD By m1ax=20ax Bx M W1=20(9.81) N

 b) Eğrisel Ötelenme (Curvilinear Translation): SCD Kinetik Diyagram F1 F2 F3 Fn  SCD Kinetik Diyagram G’ nin yörüngesi w=0 a=0 A t t B G dB dA n n + + Cismin G kütle merkezinin eğrisel bir yörünge izlemesi kendisinin açısal bir hareket yaptığı anlamına gelmez.

PROBLEMLER 3. Paralelkenar mekanizma hem plaka hem de EF çubuğuna kaynaklanan bir pimle E noktasında plakaya bağlanan düzgün 8 kg kütleli EF çubuğu ile birlikte düşey düzlemde hareket etmektedir. Kolları hareket ettirmek üzere, saat yönünde bir moment (şekilde görülmüyor) AB koluna uygulanmaktadır. q, 60o’ye ulaştığında kolların açısal ivmesi ve hızı sırasıyla 6 rad/s2 ve 3 rad/s’dir. Bu an için E’deki pime etkiyen F kuvveti ile M momentini hesaplayınız.

PROBLEMLER 4. 100 kg kütleli düzgün kütük iki kablo ile taşınmaktadır ve şahmerdan olarak kullanılmaktadır. Eğer kütük görülen konumdan serbest bırakılıyorsa serbest bırakıldıktan hemen sonra her bir kablodaki çekme kuvvet ile kabloların açısal hızını hesaplayınız.

 * * SCD +n Kinetik Diyagram +n TA TB +t +t W=100(9.81) N ÇÖZÜM +n SCD Kinetik Diyagram +n TA TB  +t +t W=100(9.81) N Harekete başladığı anda v=0, w=0 fakat a≠0 * Kablo uzunluğu Kütük eğrisel öteleme hareketi yapıyor. *

PROBLEMLER 5. 18 kg kütleli düzgün üçgen plaka AB ve CD kabloları ile taşınmaktadır. Plaka görülen konumda iken kabloların açısal hızı s.i.t.y. 4 rad/s’dir. Bu anda, plakanın kütle merkezinin ivmesi ile her bir kablodaki çekme kuvvetini hesaplayınız. G 10 cm A B C D 60° 24 cm 20 cm Cevap:

2) SABİT EKSEN ETRAFINDA DÖNME Sabit bir O noktası etrafında dönme hareketinde, cismin tüm noktaları dönme ekseni etrafında daireler çizerler, cismin yine tek bir w ve a’ sı vardır. n-t koordinatlarda kütle merkezi G’ nin ivme bileşenlerine ve dersek ve olur. SCD ve kinetik diyagram da şekildeki gibi elde edilir. SCD Kinetik Diyagram Hareket denklemleri; Kuvvet denkleminin skaler bileşenleri; O noktasındaki mesnet tepkisi SCD’ nda unutulmamalıdır.

Eğer dönme ekseni G’ den geçiyorsa olur, sadece Sabit eksenli dönme hareketinde, moment denkleminin doğrudan O noktasına uygulanması bazen kolaylık sağlar. Paralel eksenler teoreminden; Eğer dönme ekseni G’ den geçiyorsa olur, sadece kalır. SCD Kinetik Diyagram

PROBLEMLER 6. 8 kg düzgün ince çubuk O’dan geçen yatay bir mile mafsallanmıştır ve yatay konumdan serbest bırakılmaktadır. Başlangıç açısal ivmesinin 16 rad/s2 olması için kütle merkezinden O’ya olan b mesafesi ile serbest bırakıldıktan hemen sonra O’daki tepkileri hesaplayınız.

PROBLEMLER 7. Yay, düzgün çubuk düşey konumda iken serbest konumundadır. Çubuk görülen konumdan siy’de 30o döndürüldüğü konumdan serbest bırakıldığında çubuğun a başlangıç açısal ivmesini hesaplayınız. Yaydaki çökmeyi ve yayın kütlesini ihmal ediniz.

 W O G On Ot l Fyay lyay ÇÖZÜM Yayın serbest uzunluğu: q=30o iken yay uzunluğu: q=30o iken yay kuvveti: (Bası) W O G +n +t On Ot 30o l Fyay 60o . lyay 

3) GENEL DÜZLEMSEL HAREKET Ötelenme ve dönmenin birlikte olması halidir. SCD Kinetik Diyagram Hareket denklemleri; Herhangi bir P noktasına göre yazılan alternatif moment denklemi de kullanılabilir:

PROBLEMLER 8. Şekildeki mekanizmada volanın kütlesi 50 kg ve merkezine göre atalet (jirasyon) yarıçapı 160 mm’ dir. 10 kg kütleli AB piston kolu üniformdur. Pistonun kütlesi is 15 kg’ dır. T kuplu volanı 50 rad/s sabit açısal hız ile s.i.t.y. ‘nde döndürmektedir. q=53o konumunda AB piston kolunun açısal hız ve açısal ivmesini, piston koluna A ve B pimlerinden etkiyen kuvvetleri hesaplayınız. Sürtünmeyi ihmal ediniz. sin 53=0.8, cos 53=0.6 alınız.

PROBLEMLER 9. AB elemanı bir tork tarafından (şekilde görülmüyor) sabit w=10 rad/s açısal hızı ile döndürülmektedir. AB elemanı, 3 kg kütleli D dişli çarkını döndüren 6 kg kütleli BC elemanını hareket ettirmektedir. Dişli çarkın C’ye göre jirasyon yarıçapı 200 mm’dir. Dişli çarkın yarıçapı r=250 mm olarak verilmektedir. Görülen anda, C ve B pimlerine gelen kuvvetleri hesaplayınız.

PROBLEMS 10. 20 kg kütleli dengelenmemiş volanın kütle merkezine göre atalet (jirasyon) yarıçapı 202 mm’dir. 20o’lik eğik düzlemden aşağı doğru kaymadan yuvarlanmaktadır. Görülen konumda volanın açısal hızı 3 rad/s’dir. bu anda volana etkiyen sürtünme kuvvetini hesaplayınız.

ÇÖZÜM “Genel Hareket” SCD KD y mg = x x Fs N

PROBLEMLER 11. Üniform 15 kg çubuk kütlesi ihmal edilen küçük bir tekerlek ile yatay yüzeyde A noktasına dayanmaktadır. B ucu ve düşey yüzey arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.3 ise görülen konumdan serbest bırakıldığı andaki A ucunun başlangıç ivmesini hesaplayınız.