1 ÖMER ASKERDEN EMLAK KREDİ İLKÖĞRETİM OKULU UZMAN MATEMATİK ÖĞRETMENİ AKSARAY ÜNİTE: HARFLİ İFADELER VE DENKLEMLER KONU:HARFLİ İFADELERİ ÇARPANLARA AYIRMA ÇARPANLARA AYIRMA KONU ANLATIMI

2 ÇARPANLARA AYIRMA Sayıları çarpanlara ayırdığımız gibi,harfli ifadeleride iki veya daha fazla çarpanın çarpımı şeklinde yazabiliriz.Buna sayıları veya harfli ifadeleri çarpanlara ayırma denir. Bir ifadeyi, tek terimli veya çok terimli ifadelerin çarpımları şeklinde yazmaya “çarpanlara ayırma” denir. Bir ifadenin,bir veya birden çok terimli ifadelerin çarpımı şeklinde yazılmasına çarpanlara ayırma denir.

3 SAYILARI ÇARPANLARINA AYIRMA ÖRNEK: 42 Sayısının çarpanları kümesini yazınız. 1.42= = = =42 {1,2,3,6,7,14,21,42} 42’nin çarpanları kümesidir. {2,3,7} sayılarıda 42’nin asal sayı çarpanlarıdır.

4 SAYILARI BÖLENLERİNE AYIRMA ÖRNEK: 42 Sayısının bölenleri kümesini yazınız. 42:1=42 42:2=21 42:3=14 42:6=7 42:7=6 42:14=3 42:21=2 42:42=1 {1,2,3,6,7,14,21,42} 42 sayısının bölenleridir. {2,3,7} 42 sayısının asal sayı bölenleridir.

5 BİR SAYININ ÇARPANLARI VE BÖLENLERİ Bir sayının çarpanları ve bölenleri kümesi aynıdır.Bu iki kümede aynı elemanlardan oluşur. ÖRNEK: 42 sayısının çarpanları ve bölenleri kümesini yazınız. A={1,2,3,6,7,14,21,42} Çarpanlar kümesi, B={1,2,3,6,7,14,21,42} Bölenleri kümesi, A=B olur.

6 EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (E.B.O.B) İki yada ikiden fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıya en büyük ortak bölen denir. (a,b,c) ebob= X X=E.B.O.B

7 EN BÜYÜK ORTAK BÖLENİ BULMA (E.B.O.B) ÖRNEK: 24 ve 36 Sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? (24,36) ebob =2.2.3=12

8 ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ 1)Ortak çarpan parantezine alma, 2)Tam kare ifadeleri çarpanlarına ayırma, a)İki terim toplamının karesi şekline getirilebilen ifadeleri çarpanlarına ayırma, b)İki terim farkının karesi şekline getirilebilen ifadeleri çarpanlarına ayırma, 3)İki kare farkı şeklindeki ifadeleri çarpanlarına ayırma, 4)Bir üç terimlinin son teriminden yararlanıp çarpanlara ayırma, 5)AX 2 +BX+C=0 Şeklindeki bir ifadeyi çarpanlarına ayırma, 6)Gruplandırarak çarpanlara ayırma,

9 1)ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA Çarpma işleminin, toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanarak harfli ifadeleri çarpanlara ayırırız. Her terimde katsayıların obeb’i veya her terimdeki aynı “ortak” çarpan ifadelerinin parantez dışına alınmasına ortak çarpan parantezine alma denir. ÖRNEK: x 2 + 4x = ? ifadesini çarpanlarına ayırınız. Her iki terimde de Ortak çarpan “X” tir. x 2 + 4x = x.(x + 4)

10 SINIF ÇALIŞMASI-1 ÖRNEK: x 2 - x =? İfadesini çarpanlarına ayırınız. x 2 - x =x.(x–1) ÖRNEK: 4a a=? İfadesini çarpanlarına ayırınız. 4a a= 4a.(a+3) ÖRNEK: ax - ay =? İfadesini çarpanlarına ayırınız. ax - ay =a.(x-y) ÖRNEK: 2x 2 +4x – 8x 3 =? İfadesini çarpanlarına ayırınız. 2x 2 +4x – 8x 3 =2x.(x+2-4x 2 )

11 SINIF ÇALIŞMASI-2 ÖRNEK: ax 3 – bx 2 + cx =? İfadesini çarpanlarına ayırınız. ax 3 – bx 2 + cx = x(ax 2 – bx + c) ÖRNEK: ax 2 – bx 2 – cx 2 = ? İfadesini çarpanlarına ayırınız. ax 2 – bx 2 – cx 2 = x 2 (a – b – c) ÖRNEK: 4x 2 y 3 – 2x 3 y 2 =? İfadesini çarpanlarına ayırınız. 4x 2 y 3 – 2x 3 y 2 = 2x 2 y 2 (2y – x)

12 2)TAM KARE İFADELERİ ÇARPANLARINA AYIRMA a)İki terim toplamının karesi şekline getirilebilen (dönüştürülebilen) ifadeleri çarpanlarına ayırma, b)İki terim farkının karesi şekline getirilebilen (dönüştürülebilen) ifadeleri çarpanlarına ayırma,

13 a)İki terim toplamının karesi şekline getirilebilen (dönüştürülebilen) ifadeleri çarpanlarına ayırma, Birinci terimin karekökü alınır.Üçüncü terimin karekökü alınır. 2.terimin işareti karekökler arasına işaret olarak verilir. Alınan kareköklerin çarpımı 2.terimi verir. ÖRNEK: a 2 + 2ab + b 2 =? ifadesini çarpanlarına ayırınız. a 2 + 2ab + b 2 =(a + b) 2 ÖRNEK:

14 SINIF ÇALIŞMASI ÖRNEK:16 +24x+9x 2 =? ifadesini çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK:x 2 +4xy+4y 2 =? ifadesini çarpanlarına ayırınız

15 b)İki terim farkının karesi şekline getirilebilen (dönüştürülebilen) ifadeleri çarpanlarına ayırma, Birinci terimin karekökü alınır. Üçüncü terimin karekökü alınır. 2.terimin işareti karekökler arasına işaret olarak verilir. Alınan kareköklerin çarpımı 2.terimi verir. ÖRNEK:a 2 – 2ab + b 2 =? ifadesini çarpanlarına ayırınız. a 2 – 2ab + b 2 =(a – b) 2

16 SINIF ÇALIŞMASI ÖRNEK:16 – 24x +9x 2 =?ifadesini çarpanlarına ayırınız. 16 – 24x +9x 2 =(4–3x) 2 ÖRNEK:16X 2 -24X+9=? ifadesini çarpanlarına ayırınız. 16X 2 -24X+9=( 4x – 3 ) 2

17 3)İki terimin kareleri farkı şeklindeki ifadeleri çarpanlarına ayırma(İki kare farkı): Birinci terimin karekökü alınır. İkinci terimin karekökü alınır. Karekökler arasına bir (+) konur ve birde (-) konularak harfli ifade çarpanlarına ayrılmış olur ÖRNEK:

18 SINIF ÇALIŞMASI ÖRNEK: X 2 -Y 2 =? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız? ÖRNEK: X 2 -4=? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız?

19 4)Bir üç terimlinin son teriminden yararlanıp çarpanlara ayırma, Üç terimli harfli ifadenin 3. terim çarpanlarına ayrılır. Bu çarpanları çarptığımızda 3.terimi, topladığımızda 2.terimi vermelidir. ÖRNEK: X 2 -9X+8=? ifadesini çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK: X 2 +8X+12=? ifadesini çarpanlarına ayırınız.

20 4-A)Bir üç terimlinin bütün işaretleri artı (+) ise,üçüncü terimin her iki çarpanının işareti de artı (+) dır. ÖRNEK: X 2 +7X+12=? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız. X +4 X +3 (X+4).(X+3) ÖRNEK: X 2 +6X+8=? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız. X +4 X +2 (X+4).(X+2)

21 4-B) Bir üç terimlinin birinci terimi artı (+),ikinci terimi ve üçüncü terimi eksi (-) ise,üçüncü terimin çarpanlarından birinin işareti artı (+) ve diğerinin işareti eksi(-)dir. Büyük çarpan eksi (-) ve küçük çarpan artı (+) dır. ÖRNEK: X 2 -1.X-12=? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız. X -4 X +3 (X-4).(X+3) ÖRNEK: X 2 -2.X-8=? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız. X -4 X +2 (X-4).(X+2)

22 4-C)Bir üç terimlinin birinci terimi artı (+),ikinci terimi eksi (-) ve üçüncü terimi artı(+) ise, üçüncü teriminin her iki çarpanının işareti de eksi (-) dir. ÖRNEK: X 2 -7X+12=? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız. X -4 X -3 (X-4).(X-3) ÖRNEK: X 2 -6X+8=? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız. X -4 X -2 (X-4).(X-2)

23 4-D) Bir üç terimlinin birinci ve ikinci terimi artı (+),üçüncü terimi eksi (-) ise,üçüncü terimin çarpanlarından birisi artı (+) ve diğeri eksi (-) dir.Büyük çarpan artı (+) ve küçük çarpan artı (+) dır. ÖRNEK: X 2 +4X-12=? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız. X +6 X -2 (X+6).(X-2) ÖRNEK: X 2 +7X-8=? İfadesini Çarpanlarına Ayırınız. X +8 X -1 (X+8).(X-1)

24 SINIF ÇALIŞMASI ÖRNEK: X 2 +5X+6=? İfadesini çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK: x 2 -7x-18=? İfadesini çarpanlarına ayırınız.

25 5) AX 2 +BX+C=0 Şeklindeki bir ifadeyi çarpanlarına ayırma, ÖRNEK: 2x 2 -3x-5=? İfadesini çarpanlarına ayırınız? 2X -5 X +1 (2X-5).(X+1) ÖRNEK: 3X 2 +5X+2=? İfadesini çarpanlarına ayırınız? ÖRNEK: 6x 2 -23x+10=? İfadesini çarpanlarına ayırınız?

26 TEST SORULARI TEST-1TEST-2

27 6)Gruplandırarak çarpanlara ayırma, Verilen harfli ifadede ortak olan çarpanlar Çekilerek alınır. İki grup arasına çarpma işareti konur. Verilen ifadenin terimleri uygun şekillerde gruplara ayrılır ve ayrılan gruplarda ortak bir çarpan bulunmaya çalışılır. ÖRNEK:a 3 + a 2 + a + 1 =? ifadesini çarpanlarına ayırınız. = a 2 (a + 1) +1 (a + 1) = (a + 1)(a 2 + 1) ÖRNEK:ax – ay – bx + by =? ifadesini çarpanlarına ayırınız. a(x–y) – b(x–y) = (x–y)(a–b)

28 SINIF ÇALIŞMASI ÖRNEK: x 3 -x 2 +x-1=? ifadesini çarpanlarına ayırınız. x 3 -x 2 +x-1=(x 2 +1).(x-1) ÖRNEK: ab-abc-de+cde=? ifadesini çarpanlarına ayırınız. ab-abc-de+cde=(ab-de).(1-c) ÖRNEK: 6x 2 +12x+5xy+10y=? ifadesini çarpanlarına ayırınız. 6x 2 +12x+5xy+10y=(6x+5y).(x+2)

29 TEST SORULARI TEST-1 TEST-2

30 HAZIRLAYAN ÖMER ASKERDEN EMLAK KREDİ İLKÖĞRETİM OKULU UZMAN MATEMATİK ÖĞRETMENİ AKSARAY