MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net POLİNOMLAR HER ÖĞRENCİ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ATAŞEHİR-2012

POLİNOMLARDA KAVRAMLAR POLİNOMLARDA İŞLEMLER POLNİNOMUN TERİMLERİ POLİNOMLARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA POLİNOMUN DERECESİ POLİNOMLARDA ÇARPMA POLİNOMUN KATSAYILARI POLİNOMLARDA BÖLME POLİNOMUN BAŞ KAT SAYISI BÖLME İŞLEMİ YAPMADAN KALAN BULMA POLİNOMUN SABİT TERİMİ ( AX + B) İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN BULMA POLİNOMLARIN EŞİTLİĞİ ( xn + A) İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN BULMA SABİT POLİNOM ( X + A)(X +B) İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN BULMA SIFIR POLİNOMU ( AX + B)n İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN BULMA

www.muratguner.net ÖRNEK Aşağıda iki farklı grupta verilen fonksiyonların terimlerinin derecelerini inceleyiniz. Bu iki gruptaki fonksiyonları incelediğimizde grupları birbirinden ayıran temel özelliğin ne olabileceğini söyleyiniz.

Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi polinomdur? www.muratguner.net TANIM a0, a1, a 2, ..., anR ve nN olmak üzere P( x ) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn biçimindeki ifadelere x değişkenine göre düzenlenmiş reel katsayılı polinom( çok terimli ) denir. UYARI : Her fonksiyon polinom değildir.Fakat her polinom bir fonksiyondur.Buna göre, fonksiyonlardaki bütün işlemler polinomlarda da geçerlidir. ÖRNEK Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi polinomdur? a)  c)  b)  d) 

e)  f) g) h) ı) Paydada ki terim sadeleşmediğinden polinom değildir. j)

ÖRNEK ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM

www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

P( x – 2 ) = 5x3 – 4x2 + 2x + 4 polinomu veriliyor.P( 2) = ? www.muratguner.net ÖRNEK P( x – 2 ) = 5x3 – 4x2 + 2x + 4 polinomu veriliyor.P( 2) = ? ÇÖZÜM P(x) bulmadan çözüm bulalım. P( x – 2 ) = 5x3 – 4x2 + 2x + 4 ( polinomda x= 4 alındığında p(2) elde edilir.) 4 4 4 4 P( 4 – 2 ) = 5.43 – 4.42 + 2.4 + 4 = 268

P( 2x + 1 ) = 4x2 + 5x – 7 polinomu veriliyor.P( 7 ) = ? www.muratguner.net ÖRNEK P( 2x + 1 ) = 4x2 + 5x – 7 polinomu veriliyor.P( 7 ) = ? ÇÖZÜM P(x) bulmadan çözüm bulalım. P( 2x + 1 ) = 4x2 + 5x – 7 polinomu veriliyor.P( 7 ) = ? ( polinomda x= 3 alındığında p(7) elde edilir.) 3 P( 7 ) = 4.32 + 5.3 – 7 P( 7 ) = 44

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK ÖRNEK

POLİNOM İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR www.muratguner.net POLİNOM İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR P( x ) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn ifadesindeki a0, a1, a2, a3, ..., an reel sayılarına polinomun katsayıları denir. Örneğin; P( x ) = 5x3 – 4x2 + 2x – 7 polinomunun katsayıları 5 - 4 2 -7 ÖRNEK P( x ) = x5 + 4x3 + 5x2 +3 polinomunun katsayılarını yazınız ÇÖZÜM P( x ) = 1x5 + 4x3 + 5x2 + 3 1 4 5 3

P( x ) = 5x3 – 4x2 + 2x – 7 polinomunun terimleri www.muratguner.net a0, a1x, a2x2, a3x3, ......., anxn ifadelerine polinomun terimleri denir. Örneğin; P( x ) = 5x3 – 4x2 + 2x – 7 polinomunun terimleri 5x3, – 4x2 , 2x, – 7 dir. anxn terimindeki an sayısına terimin kat sayısı, x in kuvveti olan n sayısına terimin derecesi denir. Örneğin; Derecesi P( x ) = 5x3 + 4x2 + 2x – 7 polinomununda 4x2 teriminde Katsayı

Değişkene bağlı olmayan terime de sabit terim denir. www.muratguner.net Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ( der p(x) ) ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı denir. Değişkene bağlı olmayan terime de sabit terim denir.

d) Katsayılar toplamını yazınız. www.muratguner.net der [p(x)] = 3 Baş katsayı : – 5 Sabit terim: P( 0 ) = d) Katsayılar toplamını yazınız. Katsayılar toplamı: P(1 ) =

ÖRNEK 2012-LYS

www.muratguner.net Yanda verilen fonksiyonları inceleyiniz.Örneğe uygun şekilde boşluları doldurunuz.

P( x + 2 ) polinomunun katsayılar toplamı x =1 için www.muratguner.net ÖRNEK P( x + 2 ) polinomunun katsayılar toplamı x =1 için P(1+ 2 ) = P( 3 ) bulunmalıdır. P( 3 ), P( x + 2 ) polinomunun katsayılar toplamıdır. Q( x2 +2x – 3 ) polinomunun katsayılar toplamı x = 1 için Q(1+ 2 – 3) = Q( 0 ) Q( x2 +2x – 3 ) polinomunun sabit terimi x = 0 için Q(0 + 0 – 3) = Q(– 3 ) tür.

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK 31

ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

SABİT POLİNOM – SIFIR POLİNOMU www.muratguner.net SABİT POLİNOM – SIFIR POLİNOMU  P( x ) = c ( c  R )  Sabit polinomda x li terimler bulunmaz. Örneğin; Q( x ) = P( x ) = – 7, R( x ) = 5 , P( x ) = 0

www.muratguner.net

Sabit polinomda x, x2, … li terimler yoktur. www.muratguner.net ÖRNEK P( x ) = ( m – 2 )x2 – nx +4x – m + n sabit polinom ise P( m+n) kaçtır? ÇÖZÜM Sabit polinomda x, x2, … li terimler yoktur. m – 2 = 0 – n + 4 = 0 m = 2 n = 4 P( x ) = ( 2 – 2 )x2 – 4x +4x – 2 + 4 P( x ) = 2 P( 2 + 4 ) = P( 6 ) = 2

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK 47

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

Çorba İskender Kaymaklı kadayıf Trafik polisi ile ambulans olay yerine aynı anda geldiler.İki aracın sürücüsü ağır yaralı idiler.Olay yerinde inceleme başlatan polis ilginç bir durumla karşılaşmıştı.Sürücüleri kaza geçiren araçlarda bir çizik dahi yoktu.Bu nasıl olmuştu?

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net p(x,y) tipindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı polinom denir.Bu polinomların derecelerini bulmak için her terimdeki x ve y lerin üslerini toplarız.Toplamın en büyük değeri polinomun derecesini verir.

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

ÖRNEK

www.muratguner.net

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK 63

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net UYARI

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. www.muratguner.net ÖRNEK Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz.

www.muratguner.net ÖRNEK ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

ÖRNEK olmalı

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net

www.muratguner.net

BİRAZCIK TÜREV BİLGİSİ www.muratguner.net BİRAZCIK TÜREV BİLGİSİ

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net ÖRNEK

www.muratguner.net

BU ÇALIŞMAYI HAZIRLARKEN AŞAĞIDAKİ KİTAPLARDAN İKTİBAS YAPILMIŞTIR. www.muratguner.net BU ÇALIŞMAYI HAZIRLARKEN AŞAĞIDAKİ KİTAPLARDAN İKTİBAS YAPILMIŞTIR. 1- ZAFER YAYINLARI LİSE1 MATEMATİK 2-KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK 3 3-FEM SET 1 4-MEF YAYINLARI/POLİNOM 5-CELAL AYDIN YAYINLARI/POLİNOM 6-MURAT GÜNER TÜREV DERS NOTLARI