Bby 252 AraştIrma yöntemlerİ DağIlIMLAR, OlasILIK ve OLASILIK DağILIMLARI

DERS İÇERİĞİ Olasılık, ortaya çıkışı ve anlamı Örneklem uzayı Faktörüyel, Permütasyon, Kombinasyon Koşullu olasılık Raslantı değişkeni Bir değişkenin dağılımı Olasılık dağılımları Binom dağılımı Poisson dağılımı Normal dağılım Örneklem dağılımları Ki-kare dağılımı t dağılımı F dağılımı

OlasILIK KAVRAMI Ortaya çıkışı 1654 Kumarbaz, Fransız Mere Şövalyesi Antonie Combauld Şans oyunlarındaki gerçek olasılığı öğrenme isteği Bu amaçla Pascal ve Fermat ile iletişim 1713 – Bernoulli’nin olasılık kuramı ile ilgilenmeye başlaması Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 95

OlasILIK Raslantı ve kesin olmayan olaylar Rasgele deney: Çeşitli sonuçlar verebilen bir deneyin herhangi bir tekrarında hangi sonucun elde edileceği tamamen şansa bağlı ise Olasılık böyle durumlarda ortaya çıkan belirsizliği sayısal olarak ifade etmek için geliştirilmiş bir düşünce aracı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 95

ÖRNEKLEM UZAYI S Bir denemenin tüm olası sonuçlarından oluşan küme Bir zar atma denemesinde örneklem uzayı S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Bir paranın bir defa atılması deneyi için örneklem uzayı S={Yazı, Tura} Üç paranın bir defa atılması deneyi için örneklem uzayı S={YYY, TYT, YTT, TTY, YYT, YTY, TYY, YYY} Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96

ÖRNEKLEM UZAYI Bir zar atma denemesinde, Örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları birbirine eşit S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 1/6 İçinde 7 beyaz, 6 kırmızı, 8 yeşil top bulunan bir torbadan, bir top çekildiği zaman , S={Beyaz, Kırmızı, Yeşil} Örneklem uzayının noktalarının olasılığı birbirinden farklı Beyaz top gelme olasılığı 7/21, kırmızı top gelme olasılığı 6/21, yeşil top gelme olasılığı 8/21 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96

soru 1 İki zarın birlikte atılması durumunda örneklem uzayı nedir? Örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları nedir? Bir paranın iki defa atılması deneyi için örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları nedir?

ÖRNEKLEM UZAYI Olay: Örneklem uzayındaki noktaların bir alt kümesi Rasgele olay: Gerçekleşmesi raslantıya bağlı olaylar Bir zarın atılmasında, A çift sayı gelme olayı ise, A={Çift sayı}={2, 4, 6} İki para atma denemesinde, S={YY, YT, TY, TT} B, en az bir yazı gelmesi olayı ise, B={En az bir yazı}={YY, YT, TY} Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96

N Faktörİyel n! 1’den n’ye kadar olan pozitif tamsayıların çarpımı n!=1.2. … .n=n(n-1)(n-2) … 2.1 0!=1 1!=1 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 98

PERmütasyon Sıra Düzen n farklı nesnenin k (k≤n) tanesi sıralanırsa elde edilecek değişik düzenlerin sayısı nPk = n! / (n-k)! , k<n ise, nPk = n! , k=n ise. A, B, C gibi 3 öğrenci bir sırada kaç farklı şekilde oturabilir? 3!=6 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 98

KOMBİnasyon Birleşim n farklı nesneden düzenleme sırasına bakılmadan r tanesinin seçimi nCr = n! / r!(n-r)! 3 kitap arasından 2’sinin seçilmesi durumunda 3!/2!(3-2)!=3 Kombinasyonlar AB, AC, BC Permütasyonlar AB, BA – AC, CA – BC, CB Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 99

olasILIK Bir denemede n tane sonuç varsa, her sonucun ortaya çıkma olasılığı eşit ve ilgilenilen sonuç sayısı m ise bu olayın olasılığı, P(m)=İlgilenilen olayın sonuç sayısı/Olası tüm sonuçların sayısı=m/n Olasılık daima 0 ile 1 arasında bir değer alır 0≤P≤1 Olasılık uzayı: Olasılık fonksiyonunun belirtildiği örneklem uzayı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 100

olasILIK 200 ailenin çocuk sayısına göre dağılımları verilmiştir. Rasgele seçilen bir ailenin 4 çocuklu olma olasılığı nedir? P(4)=20/200=1/10 Çocuk sayısı Sıklık 40 1 80 2 3 20 4 Toplam 200 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 101-102

KOŞULLU olasILIK Bir olayın gerçekleşmesi, başka bir olayın gerçekleşmesi koşuluna bağlı ise P(B/A)=P(A∩B)/P(B) Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 104

KOŞULLU olasILIK 80 ailenin ekonomik durumu ve istedikleri çocuk sayıları verilmiştir. Rasgele seçilen bir ailenin zengin olduğu bilindiğine göre, istediği ideal çocuk sayısının 1 olması olasılığı nedir? P(A/B) = (12/80) / (22/80) = 12/22 A B Ekonomik durum İstenen çocuk sayısı Toplam 1 2 3 4 Fakir 7 8 5 24 Orta 10 15 34 Zengin 12 22 18 19 21 80 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 104-105

RASLANTI Değİşkenİ Gelecekteki bir gözlemde alacağı değer önceden kesinlikle bilinmeyen bir değişken Bir olasılık uzayında her basit rasgele olaya sayısal değer atayan bir fonksiyon Bir kavşağa bir dakikada gelen araba sayısı, bir yıldaki yağışlı günlerin sayısı, bir noktadaki rüzgar hızı, bir akarsudaki akımın debisi, belli bir bileşiğin alkol yüzdesi, belli sayıdaki ailede kız çocuk sayısı, tüberkülozlu hastaların akciğerlerindeki leke sayısı, bir zar atma denemesinde çift sayıların gelmesi Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 105

RASLANTI Değİşkenİ İki parayı atma denemesinde X raslantı değişkeni tura sayısını göstersin S = {YY, YT, TY, TT} X = {0, 1, 2} Kesikli raslantı değişkeni: X raslantı değişkeninin olası değerleri sayısı sonlu ya da sayılabilir sonsuzlukta ise Kız çocuk sayısı, tura sayısı Sürekli raslantı değişkeni: X raslantı değişkeninin tanım bölgesi bir aralık ya da aralıklar kümesi ise Zaman, ağırlık, yükseklik Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 105-107

soru 2 Bir önceki slayttaki bilgileri dikkate alarak, İki tura gelmesi olasılığı nedir? Bir tura gelmesi olasılığı nedir? Hiç tura gelmemesi olasılığı nedir? En az bir tura gelmesi olasılığı nedir?

olasIlIk DağIlImlarI Bir torbada bulunan eşit sayıdaki yeşil ve beyaz toplardan rasgele 3 top seçilsin S = {YYY, YYB, YBY, YBB, BYY, BYB, BBY, BBB} İlgilenilen sonuç yeşil top sayısı olduğunda X raslantı değişkeni, X = {0, 1, 2, 3} Son sütundaki olasılıkların oluşturduğu dağılım «Olasılık Dağılımı» Yeşil top sayısı Örneklem uzayındaki nokta sayısı Olasılık 1 1/8 3 3/8 2 Toplam 8 1.00 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108-109

olasIlIk DağIlImlarI Kesikli raslantı değişkeni Olasılık fonksiyonu Sürekli raslantı değişkeni Olasılık yoğunluk fonksiyonu Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108-109

olasIlIk DağIlImlarI Binom dağılımı Poisson dağılımı Normal dağılım

Bİnom dağILIMI Kesikli raslantı değişkenlerinin oluşturdukları bir dağılım İki olası sonuç ile ilgilenir Erkek-kız, yazı-tura, başarılı-başarısız, sağlam- bozuk, ölü-canlı, olumlu-olumsuz Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108-109

Bİnom dağILIMI Bir para atma deneyinde iki sonuç vardır: yazı ya da tura Paranın ilk atılmasında yazı gelmesi olasılığı 1/2=p Birinci atışta yazı ikinci atışta yazı gelmesi olasılığı 1/2.1/2=p² Üç atışın üçünde de yazı gelmesi olasılığı 1/2.1/2.1/2=p³ Bu deney n kez yinelendiğinde yazı sayısı X bir binom raslantı değişkenidir n denemede x tane yazı ve (n-x) tane tura gelmesi olasılığı 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 x tane yazı ve (n-x) tane tura n!/(x!(n-x)!) farklı düzende ortaya çıkar Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 111

Bİnom dağILIMI Sonuç olarak, n denemede x yazı gelmesi (n-x) tura gelmesi olasılığı, ( n!/(x!(n-x)!) ) . 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 111

POİSSON dağILIMI Önemli bir kesikli dağılım Az raslanan fakat her defasında belirli bir olasılıkla meydana gelen olaylarının oluş sayılarının dağılımı Belli bir zaman aralığında bir telefon kulübesine gelen konuşma sayısı, bir grup maldan alınan örneklemden çıkacak bozuk mal sayısı, bir fabrikada dokunan kumaşlar arasında günlük raslanan hatalı kumaş sayısı gibi kesikli raslantı değişkenlerinin dağılımı Olasılık fonksiyonu 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 /𝑥!, x=0,1,2,… (e=2,72) 𝜆, belli bir zaman aralığında ya da belli bir yerde istenen olayın ortalama ortaya çıkma sayısı, 𝜆=n.p Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 116

POİSSON dağILIMI Bir kavşakta haftada ortalama kaza sayısı 3’tür. Bir haftada 5 kaza görülmesi olasılığı nedir? 𝜆=3 𝑒 −3 3 5 /5!=0,10 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 117

NorMAL dağILIM Hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılım 18.yy’da ölçüm hatalarının dağılımı olarak ortaya çıkmış İlk olarak 1733 yılında DeMoivre tarafından matematiksel olarak tanımlanmış 1775, Laplace - bu dağılım üzerine çalışmalar 1809, Gauss – Normal dağılım ile ilgili ilk basılı eser Gauss Dağılımı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 123

NorMAL dağILIM İstatistikte önemli bir yerinin olmasının nedeni Yapılan birçok gözlem sonucunun çan biçiminde bir dağılım vermesi Çoğu dağılımın denek sayısı arttıkça normal dağılıma yaklaşması Sürekli raslantı değişkeni ---olasılık yoğunluk fonksiyonu İki parametresi Kitle ortalaması 𝜇 Kitle varyansı 𝜎² - ortalama etrafındaki yayılmayı gösterir Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 123-124

NorMAL dağILIM

NorMAL dağILIM Ortalamaya göre simetrik Bir değişken normal dağılıma sahip ise, Aritmetik ortalama = tepe değeri = ortanca Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 124-125; Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 250

NorMAL dağILIM

NorMAL dağILIM

NorMAL dağILIM

NorMAL dağILIM

NorMAL dağILIM

NorMAL dağILIM

NorMAL dağILIM Normal dağılıma sahip bir değişkene 1 standart sapma eklenip, 1 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %68,26 Normal dağılıma sahip bir değişkene 2 standart sapma eklenip, 2 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %95,44 Normal dağılıma sahip bir değişkene 1 standart sapma eklenip, 1 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %99,74 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 250-252

NorMAL dağILIM Soru: hastaların iyileşme süresi ortalama 20 gün ve varyansı 25 gün olan bir normal dağılım ise, iyileşme oranı 15 ile 25 gün arasında olan hastaların oranı nedir? Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 251

NorMAL dağILIM Normal dağılım eğrisinin şekli ortalama ve varyans parametreleri tarafından belirlenmekte Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 253

NorMAL dağILIM Ortalamalar aynı, varyanslar farklı ise

NorMAL dağILIM

NorMAL dağILIM Ortalamalar farklı, varyanslar aynı ise

STANDART NorMAL dağILIM Ortalaması 1, varyansı 0 olan standart normal dağılım

ÖRneklem dağILIMlarI Örneklem üzerinde çalışılıyorsa İstatistik Farklı örneklemlerden hesaplanabilecek istatistik değerlerinin dağılımı Örneklem dağılımı: Aynı kitleden alınmış aynı büyüklükteki örneklemlerden bulunan değerlerin/istatistiklerin olasılık dağılımı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 157

Z dağILIMI Standart normal dağılıma sahip değişkenlerde alan hesabı için kullanılmakta Normal dağılıma sahip değişkenler aşağıdaki gibi standart normal dağılıma sahip değişkenlere dönüştürülerek kullanılır (X-Ortalama) / Varyans Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262

Z dağILIMI İlaçla tedavi edilen hastaların iyileşme süresine göre dağılım ortalaması 20 gün, varyansı 25 gün olan bir normal dağılımdır. 22 günden daha kısa sürede iyileşme olasılığı nedir? 20 22 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262-263

Z dağILIMI P(x<22) = P(Z<0,40) = ? Z tablosundan Z<0,40 değerinin bulunması gerek Z tablosu - P(x<22) = P(Z<0,40) =0,6554 = %66 22 günden daha kısa sürede iyileşme olasılığı %66 Standart normal dağılıma dönüştürme (22-20) / 5 = 0,40 0,4 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262

Ödev Aynı soru için aşağıdaki olasılıkları bulunuz. a. 28 günden daha fazla sürede iyileşme olasılığı? b. 18 günden daha fazla sürede iyileşme olasılığı? c. 15 günden daha az sürede iyileşme olasılığı? d. 21 gün ile 26 gün arasında iyileşme olasılığı? e. 14 gün ile 23 gün arasında iyileşme olasılığı? Teslim tarihi: 25 Nisan 2013 - Perşembe

Kİ-KARE DaĞILIMI 1889, Karl Pearson Ki-kare tablosu Ortalaması 0, varyansı 1 olan normal dağılıma sahip raslantı değişkenlerinin toplamı ile elde edilir Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 158

Kİ-KARE DaĞILIMI 1889, Karl Pearson Ki-kare tablosu

T DağILIMI İstatistik değerlendirmelerde kullanılan önemli dağılımlardan 1908, W. S. Gosset 1926, R. A. Fisher Ortalamaya göre simetrik bir dağılım, normal dağılımdan daha basık, standart normal dağılıma benzer Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 162

F DağILIMI Aynı kitleden ya da aynı varyanslı iki kitleden rasgele seçilmiş iki örneklemin varyanslarının eşit olmaları beklenir Her zaman gerçekleşmez İki örneklemin varyansları açısından aynı kitleye ait olup olmadıklarının kontrolü için kullanılan istatistik Ki-kare dağılımının görünümüne benzer Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 165