KÜMELER

Küme, kesin ifadelerle, iyi tanımlanmış, kişiden kişiye değişiklik göstermeyen nesne veya kavramların oluşturduğu topluluktur. Kümelerin içinde bulunan kavram veya nesnelere, içinde bulunduğu kümenin elemanı denir. ! Unutulmamalıdır ki bir kümede bir eleman sadece bir kez bulunabilir. Örnek: ADANA kelimesini oluşturan harflerin küme şeklinde gösterilmesi için A,D,N harfleri kullanılır. Burada kelime içinde A üç kez kullanılmasına rağmen, küme içine bir kez yazılır.

Kümelerin Gösterilişi: Liste Yöntemi: Elemanların, aralarına virgül koyularak { } (küme parantezi) içerisinde gösterilmesidir. Şema Yöntemi (Venn Şeması): Elemanların bir düzlem parçası içinde gösterilmesidir. Elemanları belirlemek için her elemanın önüne nokta koyulur. Ortak Özelik Yöntemi: Bu yöntem bir anlamda kümeyi oluşturan elemanların tanımlamasını yapmaktır. Elemanların ortak özeliğini küme parantezi içerisine yazarsak bu yöntemi kullanmış oluruz. Hangi yöntem kullanılırsa kullanılsın kümeler büyük harflerle isimlendirilir.

P, E kümesinin bir elemanı mı? D E Örnek: ADANA kelimesini oluşturan harflerden bir küme meydana getirelim. E . A .D .N E={ADANA kelimesinin harfleri} Ortak Özelik Yöntemi E={A,D,N} Burada A, D ve N, E kümesinin elmanıdır bu durum: Liste Yöntemi Şema Yöntemi A E P, E kümesinin bir elemanı mı? D E Burada E kümesinin P diye bir elemanı yoktur. Yani P, E kümesinin elemanı değildir ve bu durum: N E şeklinde gösterilir. P E şeklinde gösterilir.

EVRENSEL KÜME: Söz konusu bir toplulukta, elemanlar farklı özelikler gösterse bile tüm elemanları içine alan kümeye Evrensel Küme denir. A={2009/2010 yılı Altunizade Hafize Özal İlköğretim Okulu müdürü} B={2009/2010 yılı Altunizade Hafize Özal İlköğretim Okulu müdür baş yardımcısı} C={2009/2010 yılı Altunizade Hafize Özal İlköğretim Okulu müdür yardımcıları} E={2009/2010 yılı Altunizade Hafize Özal İlköğretim Okulu idaresi}

Boş Küme: Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Yukarıdaki resimde bulunan öğrencilerin kümesi istendiğinde, nasıl bir küme oluşturursunuz? Boş küme; { } veya Ø sembollerinden biriyle gösterilebilir.

! Verilen bir ifadenin boş küme anlatmasıyla, küme anlatmaması durumu karıştırılmamalıdır.

Örnek: “Kanatlanıp uçabilen ağaçlar.” kümesi istendiğinde: Neyim ben? Kuş mu? Ağaç mı? Burada kanatlanıp uçma özeliğine sahip ağaçlardan bahsedilmekte olup istenen nesne, kesin bir ifade ile iyi tanımlanıp, kişiden kişiye değişiklik göstermeyecek bir şekilde ortaya konmuştur. Yani bu ifade bir küme belirtir ancak içine eleman yazılamayacağından bu küme boş kümedir.

“En lezzetli yemek makarnadır.” Örnek: “Lezzetli yemekler.” kümesi istendiğinde: “En lezzetli yemek makarnadır.” Lezzetli olan yemeklerden bahsedilmekte olup istenen nesne kesin bir ifade ile iyi tanımlanmıştır ancak ne var ki lezzet kavramı kişiden kişiye değişiklik göstereceğinden (benim için lezzetli olan bir yemeği sen beğenmeyebilirsin) bu ifade küme belirtmez.

A B B A D T ALT KÜME Bu durumlar: Bir A kümesi, bir B kümesinin içinde bulunuyorsa yani A kümesinin tüm elemanları aynı zamanda B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin alt kümesidir ya da B kümesi A kümesini kapsar. şeklinde gösterilir. Şema olarak aşağıdaki durum ortaya çıkar. B A Türkiye’de yaşayan her insan aslında Dünya’da yaşamaktadır. Türkiye’de yaşayan insanlar kümesi T, Dünyada yaşayan insanlar kümesi D’nin bir alt kümesidir.

Örnek: Türkiye Cumhuriyeti’nde 70 milyon civarında insan yaşıyor, Çin Halk Cumhuriyeti’nde ise 1 milyar civarında insan yaşıyor. T={Türkiye Cumhuriyeti’nde yaşayan insanlar} Ç= {Çin Halk Cumhuriyeti’nde yaşayan insanlar} kümeleri verildiğinde, T Ç durumu söz konusu değildir. Çünkü Ç’deki eleman sayısının T’dekinden fazla olması Ç’nin T’yi kapsamasını gerektirmez.

Örnekler: 1.) A={1,2,3} kümesi aşağıdakilerden hangisinin alt kümesi olabilir? a)K={a,b,1} b) L={p,r,1,3} c) B={a,1,b,2,c,3} d) E={1} 2.) E={a,b,3} kümesini kapsayan bir küme yazınız. 3.) F={d,k,r} kümesinin iki tane alt kümesini yazınız. 4.) L={m,l,k,n} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini yazınız.

ÖNEMLi NOTLAR Arkadaşlar bunları hiç unutmayın. 1.) Boş küme her kümenin alt kümesidir. 2.) Evrensel küme ilgili her kümeyi kapsar. 3.) Her küme kendisinin alt kümesidir.

! Örnek: A={k,l,m} kümesinin tüm alt kümelerini yazınız. 0 elemanlı alt küme (Boş küme) Ø 1 elemanlı alt küme B1={k} B2={l} B3={m} ! 2 elemanlı alt küme C1={k,l} C2={k,m} C3={l,m} Küme içerisinde elemanların yerinin değişmesi yeni bir küme meydana getirmez. Bu anlamda C1={k,l}; C2={k,m}; C3={l,m} kümelerinin içindeki elemanların yer değiştirmesi bizi yeni alt kümelere götürmeyecektir. (Kendisi) A={k,l,m} 3 elemanlı alt küme ÖNEMLi NOTLAR 1.) Boş küme her kümenin alt kümesidir. 3.) Her küme kendisinin alt kümesidir.

KÜMELERDE İŞLEMLER P’nin yaptığı hareket dikkatinizi çekti mi? Birleşim İşlemi: İki kümenin tüm elemanlarının bir araya gelmesiyle oluşan yeni kümeye bu iki kümenin birleşimi adı verilir. Birleşim işlemi U sembolüyle gösterilir. A={ , , } P R S AUB B={ , , } 1 2 P P’nin yaptığı hareket dikkatinizi çekti mi? Yukarıda S(A)=3 (A kümesinin eleman sayısı 3) ve S(B)=3 olmasına karşın birleşimin eleman sayısı 5 oldu bu durumu açıklar mısınız?

Kesişim İşlemi: İki kümenin tüm elemanları incelendiğinde her iki kümede bulunan ortak elemanların oluşturduğu yeni küme bu iki kümenin kesişimidir. Kesişim işlemi ∩ simgesiyle gösterilir. A={ , R, S} P A ∩B={P} olur. B={1, 2, } P Fark İşlemi: Her hangi iki kümenin biri A diğeri B olsun. A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B den farkı adı verilir. Fark işlemi \ veya – sembollerinden biriyle gösterilir. Yukarıdaki A ve B kümeleri için A\B ve B\A kümelerini inceleyiniz.

İşlemleri şema üzerinde inceleyecek olursak; AUB A ∩B A \B

Örnekler: 1-) A={1,2,3,4} ve B={a,b,1,2,5} ise AUB kümesini yazınız. 2-) A={1,2,5,9,a} ve B={1,5,a,b,c} ise A∩B kümesini yazınız. 3-) K={a,b,3,5} ve L={Latin alfabesindeki harfler} ise K\L kümesini yazınız.

Kümelerle İlgili Problemler ) Bir sınıftaki tüm öğrenciler ya Müzik ya da tiyatro kulübünde görev almıştır. 17 kişi müzik, 15 kişi tiyatro, 8 kişi ise hem müzik hem tiyatro kulübünde görev aldığına göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır? Çözüm: Bu tip problemlerin çözümünde bir kümede bir elemanın sadece bir kez bulunabileceği durumunu aklımızdan çıkarmamalıyız. Şöyle ki: Her iki kulüpte görev alan 8 kişi hem 17 öğrenciye hem de 15 öğrenciye zaten dahildir. Bu durumda toplam 17+15=32 öğrenci olduğu sonucuna gidilirse ortak olan 8 kişi iki defa sayılmış olur. Oysa az önce de belirttiğimiz gibi her eleman bir kez kullanılmalıdır. Buradan 17+15=32’nin içinde iki kez alınmasından dolayı 8 fazlalık olduğu açıktır. Dolayısıyla 32 içindeki 8 fazlalık atılmalıdır. Sonuçta 32–8=24 öğrenci sınıf mevcudunu verir.

= 24 8 9 7 Bu durumu şema ile anlatırsak daha iyi anlaşılabilir. Bunun için birleşim işleminin şema üzerindeki gösterimini hatırlayalım: T M 8 17-8= 9 15-8= 7 Sadece Müzik Sadece Tiyatro Hem müzik hem tiyatro 15 17 + + = 24

2. ) Bir uçakta 38 yolcu bulunmaktadır 2.) Bir uçakta 38 yolcu bulunmaktadır. Yapılan bir ankette 20 yolcunun İngilizce, 23 yolcunun ise Almanca konuşabildiği belirlendiğine göre her iki dili konuşabilen kişiler var mıdır? Varsa kaç kişidir?

3.) Sadece BJK ve Türk Milli takım futbolcularının bulunduğu bir davette BJK futbol takımının kadrosunda bulunan 16 futbolcu ile Türk Milli takımının kadrosunda bulunan 16 futbolcu bir araya geliyor. Tüm futbolcuların katılım gösterdiği bu davette toplam 28 futbolcu olduğuna göre milli takım kadrosunda Beşiktaş’tan kaç futbolcu bulunmaktadır?

4. ) Bir adam film arşivi yapmaktadır 4.) Bir adam film arşivi yapmaktadır. Elindeki komedi filmlerinde ya Kemal Sunal ya da Şener Şen mutlaka oynamaktadır. Bu adamın filmlerinden 60 tanesinde Kemal Sunal, 40 tanesinde Şener Şen oynamaktadır. Arşivdeki 15 filmde Şener Şen ve Kemal Sunal birlikte oynadığına göre bu adamın toplam 124 tane filminin kaç tanesi komedi filmi değildir?