ANALİZ KAVRAMLARI Fonksiyonun limitli, sürekliliği ve türevlenebilirliği Bir fonksiyonun bir noktada tanımlı olması o noktada limitinin olması anlamına geldiğini düşünen çoğu öğrenci için fonksiyonun limiti bir değer bulma işlemi olarak algılanmaktadır. Oysa fonksiyonun verilen noktadaki davranışı incelenmektedir. 2 f(x) f(x) fonksiyonu x = 2 de bir davranış değişikliği göstermiyor.
2 f(x) Fonksiyon x = 2’de tanımsız olsun. x 2’ye küçük değerlerden yaklaşırken fonksiyon 2’ye yaklaşmakta, büyük değerlerden yaklaşırken fonksiyon yine 2’ye yaklaşmaktadır.
2 f(x) x 2’ye küçük değerlerden yaklaşırken fonksiyon 2’ye yaklaşmakta, büyük değerlerden yaklaşırken fonksiyon yine 2’ye yaklaşmaktadır. f(2)=-2 -2 x 2’ye küçük değerlerden yaklaşırken fonksiyon 2’ye yaklaşmakta, büyük değerlerden yaklaşırken fonksiyon -2’ye yaklaşmaktadır. için limit yoktur.
Fonksiyonun bir aralıktaki sürekliliğini formal matematik dilini kullanmadan günlük dille şu şekilde açıklayabiliriz: Bir fonksiyon bir reel sayı aralığında sürekli ise fonksiyonun o aralıktaki grafiğini kalem kaldırmadan çizebiliriz. Bir fonksiyon bir aralığın parçalarında ayrı ayrı sürekli olup tamamında sürekli olmayabilir. Örnek 8.11.1’de gözleneceği gibi limit olmayan noktada süreklilik olamaz ve limit olan noktada da fonksiyon sürekli olmayabilir. Grafik çizilmeden de tanım aralıklarına bağlı olarak parçalı fonksiyonun sürekliliği incelenebilir. Fonksiyon -1 de süreklidir
Türevlenebilme …. Sürekli fonksiyona bir noktadan teğet çizilebiliyorsa fonksiyon o noktada türevlenebilirdir. Teğet çizilebilme ise o noktanın az küçük değerinden çizilen teğet ile az büyük değerinden çizilen teğetin aynı davranışı göstermesidir veya eğimlerinin aynı olmasıdır. x x2-4 + - -2 2 x = 2’de iki teğet var.