En Küçük Maksimal Eşlemeler Zorluk ve Yaklaşıklama Marc Demange1 , Tınaz Ekim2 , Cerasela Tanasescu1 1) ESSEC Business School, Bucarest, Romania 2) Boğaziçi Üniversitesi, Istanbul, Turkey

Plan En küçük maksimal eşlemeler (MMM) Biparti graflarda uygulamalar Karmaşıklık Yaklaşıklama Açılımlar YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Tanımlar Eşleme birbirleriyle bitişik olmayan kenarlar kümesidir Bir eşlemeye yeni bir kenar eklenemiyorsa bu bir maksimal eşlemedir. maksimal (kümesel) ≠ maksimum (en büyük - boyutsal) maksimum  maksimal ama maksimal  maksimum En Büyük Eşleme (M) (Polynomiyal, Edmond 1965) En Küçük Maksimal Eşleme (MMM) YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Telefon ağları aramalar bağlantı noktası MMM= doymuş bir sistemin en kötü durumdaki davranışı 00 i araması j bağlantı noktasına yönlendirilebilir YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Sağlam Evlilik adaylar kurumlar En kötü durumda eşlenmemiş adayların sayısı  n-MMM 00 + tercihler M sağlam  M maksimal YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Eşdereceli biparti graflar (1) Pratikte kullanılan yapıların çoğu son derece düzenli Örnek: d-boyutlu küp, Hamming grafları 2-eşdereceli 1-eşdereceli 3-eşdereceli 4-eşdereceli YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Eşdereceli biparti graflar (2) Türkiye’de üniversite giriş sınavı  2 milyon aday Üniversitelerin aday tercihleri = sınav sonuçları Adayların üniversite tercihleri Eksiklik: Sınav sonuçları tek kriter Alternatif metod (Alkan 1999): Çoklu sağlam eşleme kullanarak kısa-listeler oluştur  eşdereceli biparti graf Mülakat yap + yeni tercih listeleri oluştur (U ve A için) + sağlam bir eşleme bul YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

NP-zorluk sonuçları Yannakakis & Gavril, 1980 Horton & Kilakos, 1993 En büyük derecesi 3 olan düzlemsel graflar En büyük derecesi 3 olan biparti graflar Horton & Kilakos, 1993 Düzlemsel biparti graflar 3-eşdereceli düzlemsel graflar MMM k≥3 k-eşdereceli biparti graflarda NP-zor 3-eşdereceli biparti  en büyük derece 3 biparti YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

NP-zorluk kanıtı Teorem: MMM k≥3 k-eşdereceli biparti graflarda NP-zor k-eşdereceli biparti graflarda MMM(D)  (k+1)-eşdereceli biparti graflarda MMM(D) 3-eşdereceli biparti graflarda MMM NP-zordur. Yannakakis & Gavril (1980) En fazla 3 dereceli biparti graflarda MMM NP-zor Polynomiyal indirgemeyi değiştir YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Yaklaşıklama: literatür Genel graflarda: herhangi bir algoritma 2-yaklaşık sonuç verir ve daha iyi bir yaklaşıklama bilinmemektedir. En büyük eşleme ≤ 2MMM (biparti graflar için bile) M: maksimum eşleme MMM: En küçük maksimal eşleme Cardinal, Langerman, Levy 2009: yoğun graflarda 2-e Chlebik, Chlebikova 2006: 7/6dan iyi yaklaşıklanamaz YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Yaklaşıklama: özel durumlar (1) Teorem: d-eşdereceli graflarda M ≤ (2d-1)/d MMM; ve de bu sınır eşdereceli biparti graflarda dahi sıkıdır. M ile MMMnin simetrik fark ve kesişimlerine bak MMMe göre özgür noktalardan çıkan kenarlar ancak MMMe göre doymuş noktalara gidebilir  P3 sayısı sınırlı YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Yaklaşıklama: özel durumlar (2) Teorem: d-eşdereceli ve ideal eşlemesi olan graflarda MM ≤ 9/10 M. Mden yola çıkarak, maksimalliği koru, kenar sayısını azaltmaya çalış Sonuç: d-eşdereceli ve ideal eşlemesi olan graflarda MMM (9/10)(2d-1/d)-yaklaşıklanabilir. d=3  1,5-yaklaşıklama d büyük  1,8-yaklaşıklama YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Açılımlar P – NP-tam Farklı varsayımlar altında daha iyi yaklaşıklama algoritmaları geliştirmek Sezgisel algoritmalar geliştirmek ve performanslarını incelemek YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

Teşekkürler YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010