HATA TİPLERİ Karar H0 Doğru H1 Doğru H0 Kabul Doğru Karar (1 - ) Gerçek Durum H0 Doğru H1 Doğru H0 Kabul Doğru Karar (1 - ) II.Tip Hata () H0 Red I.Tip Hata () (1 - ) Sıfır hipotezinin doğru olduğu halde test sonucunun reddedilmesi durumunda ortaya çıkan hataya “I.tip hata” veya “ hatası”; sıfır hipotezinin yanlış olduğu halde test sonucunun kabul edilmesi durumunda ortaya çıkan hataya “ II.tip hata” yada “ hatası” denir.

I. Tip Hata( α ): H0 hipotezi doğru iken H0’ın red edilmesidir. II. Tip Hata( β ): Gerçekte yanlış olan H0 hipotezini kabul etme olasılığıdır. 1- α : Testin güvenirlilik düzeyidir.Gerçekte doğru olan H0 hipotezini kabul etme olasılığıdır. 1- β : Testin gücüdür.Gerçekte yanlış olan H0hipotezini red etme olasılığıdır.

Büyük Örneklerde Anakütle Ortalaması İçin β TİP HATANIN HESAPLANMASI Anakütle ortalamasının µ0 gibi bir değere eşit olup olmadığı test edilir. Red bölgesinin sınırlarına karşılık gelen sınır değerleri hesaplanır. (Üst değer) (Alt değer)

β olasılığının hesaplanacağı µa değeri belirlenir β olasılığının hesaplanacağı µa değeri belirlenir. Ortalaması µa olan alternatif dağılım için ve sınır değeri Z değerine dönüştürülür. H0 hipotezinin kabul yönüne göre elde edilen z değerlerinden hesaplanan olasılık β olasılığını verir.

ÖRNEK Bir firma ürettiği sabunlardaki PH değerinin 5.5’den küçük olduğunu iddia etmektedir. 36 adet sabun incelenmiş PH değeri için ortalama 5, standart sapma 1.5 bulunmuştur. α = 0.05 için hipotezi test edip µa =5 için P(β)=? H0: µ = 5.5 H1: µ < 5.5 n=36 s =1.5 µa= 5 P(β)=?

Tek taraflı Z değeri H0 Reddedilebilir.

Gerçekte ortalama 5 ise bu durumda ortalamanın 5 Gerçekte ortalama 5 ise bu durumda ortalamanın 5.5 olduğunu iddia eden hipotez red edilmiş olur. Böylece testin gücü aşağıdaki gibi bulunur.  = 0.05 e göre H0 red için kritik değer hesaplanırsa

H0 KABUL µa =5 =0.05 =0.3446 µ0 = 5.5 H0 red için gereken kritik değer

ÖRNEK: H0: µ = 5.5 µa= 6 P(β)=? H0: µ > 5.5 n=9 s=1.5 1-b=1-0.7257=0.2743

H0 KABUL µa = 6 µ0 =5.5 H0 red için gereken kritik değer =0.05 =0.7257 z=0.6

ÖRNEK Kimyasal üretim yapan bir fabrikada günlük üretim miktarının ortalama 880 ton olduğu bilinmektedir.Bu durumun doğrulanması amacıyla fabrikada günlük üretimler 50 kez ölçülmüş ve ortalaması 871 ton standart sapması ise 21 bulunmuştur. H0 kabul

ÖRNEK Gerçekte ortalama 871 ise bu durumda ortalamanın 880 olduğunu iddia eden hipotezi red edilmiş olur. Böylece testin gücü bulunabilir : II.Tip hata olasılığı : Testin Gücü :

ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TAHMİNİ Normal Bir Dağılımın Ortalamasının Güven Aralığı için Örneklem Büyüklüğü: Anakütle Varyansı Biliniyor: Ortalaması µ, bilinen varyansı 2 olan normal bir anakütleden n gözlemli rassal bir örneklem alındığında, anakütle ortalaması için %100(1 - ) güven aralığı aşağıdaki gibidir. Burada gözlenen örneklem ortalaması, z/2 ise standart normal dağılımın uygun eşik değeridir. Bu aralık, örneklem ortalamasını orta nokta alır ve örneklem ortalamasının iki yanında kadar uzanır.

L aralığın yarısıdır. Araştırmacının bu L’yi önceden saptamak istediğini varsayalım. Örnek büyüklüğü için bu seçim, güven aralığının, örneklem ortalamasının iki yanında L kadar uzandığını göstermektedir.

Bilinen varyansı 2 olan normal dağılımdan rasal bir örneklem alındığını düşünelim. Örneklem büyüklüğü;

ÖRNEK: Bir üretim sürecinde üretilen metal çubukların boyları, standart sapması 1.8 milimetre olan normal bir dağılıma uymaktadır. Bu anakütleden çekilmiş dokuz gözlemli bir örnekleme dayanılarak anakütle ortalaması için %99 güven aralığı biçiminde bulunmuştur. Bir üretim yöneticisi bu aralığı uygulama için çok geniş bulduğunu, bunun yerine ortalamanın iki yanında en çok 0.50 mm uzanan bir %99 güven aralığı istediğini düşünelim. Böyle bir aralığa ulaşabilmek için örneklem büyüklüğü kaç olmalıdır.?

L = 0.50  = 1.8 z/2 = z0.005 =2.58 Yöneticinin isteğinin yerine gelebilmesi için en az 86 gözlemli bir örneklem gerekmektedir.

Anakütle Oranının Aralıkları: p oranının %100(1 - ) güven aralığı, n gözlemli bir rassal örnekleme dayanılarak aşağıdaki gibidir. Bu aralık örneklem oranını orta nokta olarak alır ve örneklem oranının iki yanında kadar uzanır.

Bu bulgu, belirli bir genişlikteki bir güven aralığını elde etmek için gerekli örneklem büyüklüğünü saptamada doğrudan kullanılamaz, çünkü örneklem oranını içermektedir ve o da önceden bilinemez. Ancak, sonuç ne olursa olsun p(1 – p) örneklem oranı 0.5 iken alacağı değer olan 0.25’ten büyük olamaz. Öyleyse L’nin alabileceği en büyük değer olan L şöyle bulunabilir.

Bir anakütleden rassal bir örneklem aldığımızı düşünelim Bir anakütleden rassal bir örneklem aldığımızı düşünelim. Örneklemdeki gözlem sayısı ise, anakütle oranı için %100 (1- ) güven aralığının, örneklem oranının her iki yanında en çok L* kadar uzaması sağlanabilir.

ÖRNEK: Üniversite yerleşkelerinde işe almak üzere öğrencilerle görüşen 142 şirket görevlisinden oluşan rassal bir örnekleme, işe almada mezuniyet notunun oynadığı rolün ne olduğu sorulmuştur. Bu örneklemdeki kişilerden 87’si “kritik”, “son derece önemli”, ya da “çok önemli” yanıtlarını vermiştir. Bu görüşteki işe alma görevlilerinin anakütle oranı için %95 güven aralığı şeklindedir. Bunun yerine, anakütle oranının, örneklem oranının her iki yanında en çok 0.06 uzayan %95 güven aralığını sağlamak istediğimizi varsayarsak örneklem büyüklüğü ne olmalıdır?

L = 0.06 z/2 = z0.025 =1.96 en az 287 gözlemli bir örneklem gerekmektedir.