KARAR VERME VE MODELLER DOĞRUSAL PROGRAMLAMA KARAR VERME VE MODELLER

Karar Verme “Algılanan ihtiyaçlara özgü kasıtlı ve düşünceli seçim” (Kleindorfer ve diğ., 1993) “Karar Verici (KV)’nin mevcut tüm seçenekler arasından amacına veya amaçlarına en uygun bir veya birkaç seçeneği seçme sürecine girmesi” (Evren ve Ülengin, 1992) En genel hali ile karar verme; KV’nin mevcut seçenekler arasından bir seçim, sıralama ya da sınıflandırma yapması gibi bir sorunu çözmesi sürecidir

İyi Bir Karar Karar verme kalitesini ölçecek tek bir ortak ölçü saptanamamıştır (Olson ve Courtney, 1992) İyi karar verme sanatı sistematik düşünce ile oluşur (Hammond ve diğ., 1999) İyi bir karar; Mantığa dayanır Tüm mevcut kaynakları kullanır Tüm olası seçenekleri inceler Sayısal bir yöntem uygular

Karar Verme Süreci Dar anlamda karar verme, çeşitli alternatifler içinde en uygun olanının seçiminin yapıldığı bir süreç olarak tanımlanabilir. Karar Verme Süreci, değişik kaynaklarda farklı aşamalarla sıralanmıştır. Ancak farklı yaklaşımların ortak noktaları dikkate alındığında, söz konusu sürecin aşamalarını aşağıdaki gibi ifade etmek yanlış olmaz. Karar probleminin tanımlanması -Karar verecek kişi veya kişiler -Amaç -Alternatif eylem biçimleri -Belirsizlik 2. Karar probleminin modelinin kurulması Problemin kolayca çözümlenebilmesi için diğer bir deyişle problemi en iyi biçimde temsil edecek ve problemin çözümündeki belirsizlikleri en aza indirecek bir modelin kurulması gerekir. Model: Bir sistemin değişen şarlar altındaki davranışlarını incelemek, kontrol etmek ve geleceği hakkında tahminlerde bulunmak amacıyla elemanları arasındaki bağıntıları kelimler veya matematik terimlerle belirten ifadeler topluluğuna model denir. 3. Modelden çözüm elde edilmesi 4. Modelin çözümünün test edilmesi 5. Karar verme ve kararın uygulamaya konulması

Her basamak arasında geribesleme bulunmaktadır Yöneylem Araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Her basamak arasında geribesleme bulunmaktadır Problemin Tanımlanması Sistemin Gözlenmesi Problemin Matematiksel Modelinin Geliştirilmesi Modelin Çözülmesi Modelin Geçerliliğinin Gösterilmesi Çözümün Uygulanması ve Yorumlanması

Problem çok dar kapsamlı mı ele alındı? Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Amaçlar nelerdir? Problem çok dar kapsamlı mı ele alındı? Problem çok geniş kapsamlı mı ele alındı? Problemin Tanımlanması Sistemin Gözlenmesi Problemin Matematiksel Modelinin Geliştirilmesi Modelin Çözülmesi Modelin Geçerliliğinin Gösterilmesi Çözümün Uygulanması ve Yorumlanması

Problemin tanımlanması Mümkün seçenekler arasından bir faaliyet veya faaliyetler dizisinin benimsenmesine karar denir Karar verici, alternatif stratejiler arasından en uygun olanını seçme konusunda karar verme yetkisine sahip birey ya da topluluğa verilen genel isimdir Karar vericinin ulaşmak istediği bir amacının olması, bu amaca ulaşmada izlenebilecek alternatif stratejilerin bulunması ve alternatifler içinden hangisinin amacı gerçekleştirebileceği konusunda kuşku içinde bulunulması gerekmektedir Ancak bu koşullarda bir problem vardır denir

Hangi veriler toplanmalı? Veriler nasıl toplanmalı? Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Hangi veriler toplanmalı? Veriler nasıl toplanmalı? Sistemin farklı parçaları birbirleriyle nasıl etkileşmektedir? Problemin Tanımlanması Sistemin Gözlenmesi Problemin Matematiksel Modelinin Geliştirilmesi Modelin Çözülmesi Modelin Geçerliliğinin Gösterilmesi Çözümün Uygulanması ve Yorumlanması

Sistemin gözlenmesi Sistem gözlemlenir ve probleme etki eden parametreler tahmin edilmeye çalışılır Bu amaçla veri derlenmesi, bu adımın çok önemli bir kısmını oluşturur Tahmin değerleri sabit sayılar olarak işleme tabi tutulurlar ve matematiksel modelin geliştirilmesinde kullanılırlar Problem elemanlarının duruma en uygun biçimde belirlenebilmesi için sistem yaklaşımı kullanılır

Sistemin çok sayıda girdisi ve çıktısı olabilir Sistem nedir? Bir sınır içerisinde, birbirleriyle etkileşim içinde bulunan ve ortak bir amaca yönelmiş olan öğeler topluluğudur Sistem, girdileri çıktılara dönüştüren birbirleriyle ilişkili faaliyetlerden ve öğelerden (elemanlardan) oluşmaktadır Sistemin çok sayıda girdisi ve çıktısı olabilir Çıktılar Girdiler Prosesler

Hangi tür model kullanılmalı? Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Hangi tür model kullanılmalı? Model, problemi tam olarak ifade ediyor mu? Model çok mu karmaşık? Problemin Tanımlanması Sistemin Gözlenmesi Problemin Modelinin Geliştirilmesi Modelin Çözülmesi Modelin Geçerliliğinin Gösterilmesi Çözümün Uygulanması ve Yorumlanması

Problemin kolayca çözülebilecek bir yapıya oturtulması gerekmektedir Model geliştirmek Problemin kolayca çözülebilecek bir yapıya oturtulması gerekmektedir Model nedir? Bir sistemin değişen koşullar altındaki davranışlarını incelemek, kontrol etmek ve geleceği hakkında varsayımlarda bulunmak amacıyla elemanları arasındaki bağlantıları kelimeler veya matematiksek terimlerle belirleyen ifadeler topluluğuna model denir

Model geliştirmek Sistem Gerçek sistem üzerinde çalışmak Sistem modeli üzerinde çalışmak Fiziksel modeller üzerinde çalışmak Matematiksel modeller üzerinde çalışmak Analitik model üzerinde çalışmak Simülasyon modeli üzerinde çalışmak

Model geliştirmek Her modelin kuruluş amacı, belirli bir ekonomik sistemi yönetmekle görevli kişi veya kişilere (karar vericiye) mümkün karar seçeneklerini sunmak, bunların sonuçlarını belirlemek ve karşılaştırmalar yapmaktır Yöneylem araştırmasının karar vermeye en önemli katkısı matematiksel modellerdir Bir sistemin davranışlarıyla ilgili kuralların matematiksel olarak ifade edilmesiyle matematiksel modeller kurulur Eğer ele alınan sistem matematiksel modellerle çözülemeyecek kadar karmaşık bir yapıya sahipse sistemin bir simülasyon modeli kurulur. Simülasyon, bir sistemin tüm çalışma zamanı boyunca davranış şeklinin bilgisayar ortamında taklit edilmesidir

Matematiksel modellerin elemanları Ekonomik sistemlerin matematiksel modellerinde kullanılan elemanlarını üç ana grupta toplamak mümkündür: Amaç fonksiyonu Karar değişkenleri Kısıtlar Bir karar verme durumunda ilgilenilen sistem dikkatli bir şekilde gözlemlenir ve değerleri kontrol edilebilen ve sistemin performansını etkileyen parametreler belirlenir. Bu parametreler yöneticilerin kontrolü altındadır ve karar değişkenleri olarak tanımlanırlar. Bir üretim sisteminde farklı ürünlerin üretilecek miktarları, bir yerden başka yere taşınacak ürün miktarı, işçi sayısı, makina sayısı vb Karar değişkenlerinin amaç üzerindeki etkilerinin analitik olarak gösterilmesiyle amaç fonksiyonu oluşturulur Kısıtlar, sistemin içinde bulunduğu koşullardan kaynaklanmaktadır (talep kısıtları, kapasite kısıtları gibi)

En uygun çözüm tekniği nedir? Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı En uygun çözüm tekniği nedir? Analitik çözüm Algoritmalar Simülasyon Sezgisel Problemin Tanımlanması Sistemin Gözlenmesi Problemin Modelinin Geliştirilmesi Modelin Çözülmesi Modelin Geçerliliğinin Gösterilmesi Çözümün Uygulanması ve Yorumlanması

Modelin çözülmesi Analitik çözüm: Problemin Lagrange çarpanları, diferansiyel ve integral hesapları ile koşullu en iyi çözümünün bulunmasıdır. Analitik çözümde sadece matematiğin değil iktisat teorisinin de temel kuralları kullanılır Algoritma çözümü: Analitik çözüm bazen çok zor veya imkansız olabilir. Belirli bir sıra içerisinde gerçekleştirilen matematiksel ve mantıksal işlemler kümesine “algoritma” denir. Yinelemeli olarak uygulanan algoritmalar her adımda optimuma daha yakın bir çözüme doğru ilerler Simülasyon çözümü: Problem, analitik olarak veya algoritmalarla çözülemiyorsa kullanılır. Sistemin davranış şekli bilgisayar ortamında taklit edilir Sezgisel çözüm: Problem optimum çözümü bulunamayacak kadar karmaşıksa, sezgisel yöntemler sezgiye veya bazı deneysel kayıtlara dayanan karar kuralları ile belirli sayıda adımdan sonra en iyi olmasa da tatminkar bir sonuç verirler

Modelden elde edilen çıktılar mantıklı mı? Model hatalı olabilir mi? Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Modelden elde edilen çıktılar sistemin kendisinden elde edilen çıktılarla uyuşuyor mu? Modelden elde edilen çıktılar mantıklı mı? Model hatalı olabilir mi? Problemin Tanımlanması Sistemin Gözlenmesi Problemin Modelinin Geliştirilmesi Modelin Çözülmesi Modelin Geçerliliğinin Gösterilmesi Çözümün Uygulanması ve Yorumlanması

Modelin geçerliliğinin gösterilmesi Modelden elde edilen çözümü uygulamaya koymadan önce gerçeğe uygunluğunun kanıtlanması gerekir Eğer çözüm sistemin geçmiş dönem sonuçlarını aynen veya daha olumlu bir şekilde sağlıyorsa, modelin geçerli olduğu kabul edilir Eğer sistemin geçmiş dönem sonuçları yoksa simülasyondan yararlanılır Model geçerliliğinin kanıtlanmasında bir başka yol olarak da sistemdeki deneyimli kişilerin görüşlerine başvurulabilir

Uygulamanın nasıl yapılacağı bir rapor halinde yönetime sunulmalıdır Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Yöneylem araştırması ekibi, uygulama sürecini açıklamalı ve uygulamada yardımcı olmalıdır Uygulamanın nasıl yapılacağı bir rapor halinde yönetime sunulmalıdır Problemin Tanımlanması Sistemin Gözlenmesi Problemin Modelinin Geliştirilmesi Modelin Çözülmesi Modelin Geçerliliğinin Gösterilmesi Çözümün Uygulanması ve Yorumlanması

Başarılı Yöneylem Araştırması Uygulamaları

Matematiksel Model Türleri Yöneylem araştırmasında karşılaşılabilecek matematiksel model türleri, ilgilenilen karar probleminin yapısına göre şekillenir

Zorlaşıyor Matematiksel Model Kısıtsız Kısıtlı Statik Dinamik Deterministik Stokastik Tek amaçlı Çok amaçlı Sürekli karar değişkeni Kesikli karar değişkeni Doğrusal programlar Doğrusal olmayan programlar Tamsayılı programlar Kombinatoryel programlar

Matematiksel Model Türleri Eğer karar değişkenleri üzerinde hiçbir sınırlama yoksa kısıtsız modeller ortaya çıkar, en azından bir sınırlama olması kısıtlı modelleri ortaya çıkarır. Gerçek hayatta genellikle kısıtlı problemler karşımıza çıkar. Eğer problem tek bir dönem için çözülecekse statik model, birden fazla dönem göz önüne alınarak çözülecekse dinamik model ortaya çıkar. Eğer birden fazla amaç varsa çok amaçlı problemler ortaya çıkar. Eğer tüm karar değişkenleri pozitif reel (gerçel) değerler alıyorsa sürekli optimizasyon problemi söz konusudur Tüm karar değişkenlerinin tamsayı değerler alması gerekiyorsa kesikli optimizasyon problemi ortaya çıkar Bazı karar değişkenlerinin reel, bazılarının tamsayı değer alması durumunda ise karışık kesikli optimizasyon problemi ile karşılaşırız. Eğer karar değişkenlerinin kombinatoryal seçenekleri söz konusuysa kombinatoryal optimizasyon problemleri ortaya çıkar.

Matematiksel model türlerine göre kullanılan çözüm yaklaşımları Dinamik modeller için kullanılan yaklaşım dinamik programlamadır. Eğer optimize edilecek birden fazla amaç varsa genellikle kullanılan yaklaşım hedef programlamadır. Modeldeki tüm fonksiyonların doğrusal olması durumunda sürekli optimizasyon problemleri doğrusal programlama yöntemi ile çözülür. Sürekli optimizasyon modelinde en azından bir fonksiyonun doğrusal olmaması durumundaysa doğrusal olmayan programlama yöntemi kullanılır. Eğer kesikli optimizasyon problemlerinde karar değişkenleri herhangi bir tamsayı değer alıyorsa tamsayılı programlama yöntemi kullanılır. Kombinatoryal optimizasyon problemlerinin belirli bir boyuta kadar olanı tamsayılı programlama yöntemi ile çözülürken, orta ve büyük boyutlu problemlerin sezgisel yöntemlerle çözülmesi gerekmektedir.

Doğrusal Programlama Günümüzde, işletme, ekonomi ve muhasebe dallarını en yakından ilgilendiren konulardan bir olan doğrusal programlama, aynı zamanda yöneylem araştırmasında da en önemli konulardan biridir. Doğrusal programlama, kaynakların optimal dağılımını elde etmeye, maliyetleri minimize, karı ise maksimize etmeye yarayan bir tekniktir. Doğrusal Programlama, optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan bir yöntemdir. 1947’ de, George Dantzig, doğrusal Programlama problemlerinin çözümünde kullanılan etkin bir yol olan Simpleks Algoritma’ yı buldu ve bu buluşla birlikte doğrusal Programlama, sıklıkla ve hemen hemen her sektörde kullanılmaya başlandı. Temel olarak, doğrusal Programlama, kıt kaynakların optimum şekilde dağılımını içeren deterministik bir matematiksel tekniktir. Doğrusal programlama, iyi tanımlanmış doğrusal eşitliklerin veya eşitsizliklerin kısıtlayıcı koşulları altında doğrusal bir amaç fonksiyonunu en iyi (optimum/ maksimizasyon-minimizasyon) kılan değişken değerlerinin belirlenmesinde kullanılan matematiksel programlama tekniğidir.

DP Modelinin Yapısal Unsurları-devam Amaç fonksiyonu Karar vericinin ulaşmak istediği hedef doğrusal bir denklem ile açıklanır. Amaç fonksiyonu olarak bilinen bu denklem, karar değişkenleri ile karar vericinin amacı arasındaki fonksiyonel ilişkiyi gösterir. Zenk/enb=c1x1 + c2x2 + .....cnxn 2. Kısıtlayıcı fonksiyonlar (kısıtlayıcılar/kısıtlar) Karar değişkenleri ve karar değişkenleriyle parametrelerin birbirleriyle olan ilişkilerinde sağlanması zorunlu olan ilişkilerin matematiksel olarak açıklanmasıyla elde edilen denklemlere kısıtlayıcı fonksiyonlar denir. Kısıtlayıcıların değerleri kesin olarak önceden belirlenmiş olup sistemin tanımlanmasında kullanılır. Kısıtlayıcı fonksiyonlar sadece kaynakların sınırlarını değil, gereksinim ve yönetim kararlarını ifade etmekte de kullanılır. a11x1+a12x2+..................+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+..................+a2nxn=b2 … … … … … am1x1+am2x2+................+amnxn=bm 3. Negatif olmama koşulları Karar değişkenlerinin değerleri negatif olmaz. x1, x2,........xn  0 veya kısaca xj  0 (j=1, 2, 3, …, n)

DP Modelinin Yapısal Unsurları-devam 4. Karar değişkenleri Karar vericinin denetimi altında olan niteliklere karar değişkenleri denir. Bunlar modele ilişkin bilinmeyenler olup değerleri modelin çözümünden sonra belirlenir. Bu değişkenler karar vericinin denetimi altında olduklarından bunlara kontrol değişkenleri de denir. xj: Belirli bir zaman döneminde j’inci ürünün üretim miktarı veya faaliyet düzeyi. j=1, 2, 3, …n : Ürün çeşidi, faaliyet sayısı. 5. Parametreler Alabileceği değerlerde karar vericinin hiçbir etkisi olmayan niteliklere parametre veya kontrol dışı değişkenler denir. Belirli koşullarda belirli değerler alan parametreler problem için veri durumundadır. Cj: j’inci karar değişkeninin amaç fonksiyonu katsayısı (parametre)-(birim kar, birim fiyat, birim maliyet vs.). aij: j’inci üründen bir birim üretmek için i’inci kaynaktan tüketilen kaynak miktarı veya girdi katsayısı bi: n sayıdaki ürün için elde bulunan i’inci sınırlı kaynak miktarı. i= 1, 2, 3, …, m : Üretim bölümlerinin veya üretim kaynaklarının sayısı.

DP Modelinin Genel Görünümü Amaç Fonksiyon Zenk/enb=c1x1 + c2x2 + .....cnxn Kısıtlayıcı fonksiyonlar a11x1+a12x2+..................+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+..................+a2nxn=b2 … … … … … am1x1+am2x2+................+amnxn=bm Negatif Olmama Koşulu x1, x2,........xn  0

DP Modelinin Matris Gösterimi

DP’nin Varsayımları Doğrusallık (veya Oransallık) Varsayımı: Modeldeki fonksiyoların hepsi doğrusaldır. Bu varsayım gerçekleşmediği takdirde DOP söz konusudur. Toplanabilirlik Varsayımı Kesinlik Varsayımı: Bu varsayım, tüm parametrelerin (amaç fonksiyonu katsayısı, sağ el tarafı ve teknolojik katsayı) kesin olarak bilindiğini ve ilgili dönemde değişmeyeceğini öngörür. Eğer bu değerler tam olarak bilinmiyorsa, sonuç güvenilir olmayacaktır. Böyle bir durumda duyarlılık analizine başvurulabilir. 4. Negatif Olmama Varsayımı Karar değişkenleri negatif değerler alamaz. 5. Bölünebilirlik Varsayımı Bu varsayım, her karar değişkenlerinin ondalıklı bir sayı alabileceği anlamına gelir. Bu varsayım ortadan kalktığında tamsayılı programlama söz konusu olur.

DP’nin Uygulama Alanları Ulaştırma ve dağıtım kanallar Beslenme ve karıştırma problemleri Üreim planlaması Yatırım planlaması Görev dağıtımı Arazi kullanımı planlaması Kuruluş yeri seçimi Oyun teorisi …

DP Problemlerinin Modelinin Kurulması DP Problemlerinin modelinin kurulmasında aşağıdaki adımların izlenmesi gerekmektedir. Karar değişkenlerinin tanımlanması ve bunların sembolize edilmesi Amacın belirlenerek amaç fonksiyonun karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonu olarak yazılması Tüm kısıtlamaların karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonları olarak eşitlik veya eşitsizlik olarak yazılması Negatif olmama koşullarının yazılması.

Örnek DP Modeli-1 İnci kimya firması X ve Y gibi iki tip kimyasal madde üretmektedir. 1 litre X ürününün maliyeti 160 TL. , 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL. dir. Müşteri talebine göre, firma, gelecek hafta için en az 6 litre X ve en az 2 litre Y ürünü üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde kullanılan hammaddelerden birisinin sunumu azdır ve sadece 30 gr. sağlanabilmektedir. X ürününün bir litresinde bu hammaddeden 3 gr. ve Y nin litresinde de 5 gr. gerekli olmaktadır. İnci firması, toplam maliyetini minimize etmek için X ve Y ürünlerinden kaçar litre üretmesi gerektiği konusunda çok büyük bir kararsızlık içerisine girmiştir. Bu soruyu yanıtlayacak modeli kurunuz.

Örnek DP Modeli-1-devam Problemde karar değişkenleri, x1 = Üretilecek X ürününün miktarı ( litre ) x2 = Üretilecek Y ürününün miktarı ( litre ) Minimize edilmek istenen toplam maliyet 160x1 + 240x2 dir. İstenen gerekli minimum miktar ise x1  6 ve x2  2 dir. Hammadde kısıtlayıcısı ise 3x1 + 5x2  30 dur. Böylece minimizasyon modeli şöyle olacaktır: Min z = 160x1+240x2 x16  x22  3x1+5x230  x1, x2  0

Örnek DP Modeli-2 Mügesüt şirketi kapasite sorunu yüzünden günde 120.000 kg. dan daha çok süt işleyememektedir. Yönetim, yağ veya işlenmiş süt için kullanılan sütün dengelenmesi için peynir fabrikasında en az 10.000 kg. lık günlük süt kullanmak istemektedir. Bir kg. sütün yağ üretimi için kullanıldığında, kara katkısı, 4 TL., şişe sütü olarak kullanıldığında katkısı 8 TL. ve peynir üretimi için kullanıldığında ise katkısı 6 TL. dir. Yağ bölümü günde 60.000 kg., süt şişeleme donanımı günde 40.000 kg., peynir donanımı ise günde 30.000 kg. süt işleyebilir. Şirket karını maksimize etmek istediğine göre problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz.

Çözüm: Karar Değişkenleri x1 = Yağ yapımında kullanılan süt miktarı ( kg ) x2 = Şişelemede kullanılan süt miktarı ( kg ) x3 = Peynir yapımında kullanılan süt miktarı ( kg ) İşletmenin karını maksimize edecek amaç fonksiyonu; Maksimum z = 4x1 + 8x2 + 6x3 Kısıtlar ise; x3  10.000 x1  60.000 x2  40.000 x3  30.000 x1 + x2 + x3  120.000 Negatif Olmama koşulu; x1, x2, x3  0