BASİT ELEMANLARDA GERİLME ANALİZİ BÖLÜM II BASİT ELEMANLARDA GERİLME ANALİZİ

EKSENEL YÜKLENMİŞ ELEMANLAR Eksenel yükleme durumunda; a P sx P=sxdA

Çubuğun uzaması AE: çubuğun eksenel rijitliği DT sıcaklık değişiminde eksenel deformasyon Hooke yasasını uygulayarak termal gerilme

BURKULMA Bası altındaki prizmatik çubuklara kolon adı verilir. Burkulma bası yüküne maruz elemanda mevcut yükün küçük bir artışından kaynaklanan ani, büyük, yanal deformasyon durumudur. L’nin kesit alanı A’nın jirasyon yarıçapı olan r’ye oranı narinlik oranı L/r’dir. Burkulma fenomeni göstermeyen düşük narinlik oranına sahip kolonlar (kısa kolonlar-çelik için L/r<30) için hasar malzeme hasarındandır. Sınır koşullarına göre L yerine Le konur. Le efektif uzunluktur.

GERİLME YIĞILMA FAKTÖRÜ Geometrideki ani değişimler sebebiyle oluşan bölgesel yüksek şiddetli gerilmeler gerilme yığılmaları olarak bilinir. (Delikler, çentikler vs)

DAİRESEL KESİTLERİN BURULMASI Kutupsal (polar) atalet momenti:

KİRİŞLERDEKİ GERİLMELER Kirişler, eksenlerine göre yanal ve dik yüklere maruzdurlar. Örnek olarak binaların zemini, otomobil veya kamyon aksları, yaprak yaylar verilebilir. Temel kabuller şunlardır: Kiriş ekseninin çökmesi kiriş açıklığına göre küçüktür; çökme eğrisinin eğimi küçüktür ve karesi ihmal edilebilir. Eğilmeye maruz kirişin eksenine dik düzlemsel kesit yüklemeden sonra da düzlem kalır. Bu hipotezler plaklar ve kabuklar teorisi için de temel oluşturmaktadır.

Normal gerilme En büyük gerilmeler en dış liflerde oluşur. Kesit modülü Section modulus

Kayma gerilmesi Kirişin kesit alanına etkiyen dik gerilmelerdir. V: Kesitteki kesme kuvveti b: Gerilme değeri aranan noktanın kesit genişliği Q: Taralı alanın nötr eksene göre birinci momenti Dikdörtgen kesitte kayma gerilmesi dağılımı paraboliktir. Kesitin üst ve alt noktalarında sıfır, tarafsız eksende maksimumdur.

Kayma Akımı Kiriş ekseni boyunca birim uzunluk başına kirişin genişliğine etkiyen kesme kuvveti txz ile b genişliği çarpılarak elde edilir.

Kirişlerin Çökmesi Narin elemanlar için kaymanın çökmeye etkisi ihmal edilir. Çünkü statik eğilme problemlerinde, kaymanın çökmeye etkisi toplam çökmenin çok küçük bir yüzdesini oluşturur. Moment ile çökme arasındaki diferansiyel denklem; EI: Eğilme rijitliği Çökme eğrisinin radyan cinsinden eğim açısı;

q’nın (+) veya (-) işareti, aynı momentte olduğu gibi sağ el kuralına uygun olarak belirlenir. Yayılı yüke maruz dx genişliğindeki kiriş elemanına etkiyen düşey yükler ve momentin dengesini göz önünde bulunduralım. İç kuvvetler V ve M ve yük şiddeti P ise Çökme integrasyon ile belirlenir. Geniş kirişlerde (b>>h), EI yerine EI/(1-n2) konmalıdır. Geniş kiriş, dar kirişten %10 daha büyük rijitliğe sahiptir.

Sınır koşulları Ankastre Sabit mesnet w a Serbest uç M(a)=0 V(a)=0

Süperpozisyon Yöntemi Bu yöntem Hooke yasasının geçerli olduğu ve küçük deformasyonlar durumunda kullanılır. Statik olarak belirli kirişlerde, toplam çökme ve eğim açısı her bir yükün ayrı ayrı etkisiyle oluşan çökmelerin cebrik toplamıyla bulunabilir. Statik olarak belirsiz kirişlerde, fazla sayıdaki tepkiler bilinmeyen yükler olarak değerlendirilip mesnetler kaldırılır. B noktasındaki çökme:

İnce cidarlı basınçlı kaplar Basınçlı kaplar, basınçlı sıvı veya gaz içeren kapalı yapılardır. İnce cidarlı kabın kalınlığı iç yarıçapı 1/10’dan küçüktür. Bu sebeple riror alınır. İnce cidarlı kabın düzlemine etkiyen gerilmeler membran gerilmeleri olarak adlandırılır. İnce cidarlı kabın uygun bir parçasına uygulanan denge denklemleri gerilmelerin bulunması için yeterlidir. İç basıncı p olan kaptaki eksenel veya boyuna ve teğetsel veya çevresel gerilmeler: Silindir Küre Küre kaplarda sq gerilmeleri tüm yönlerde eşittir. Şiddeti, silindirdekinin yarısına eşittir.

AKMA VE KIRILMA KRİTERLERİ Maksimum Asal Gerilme Teorisi Kırılgan bir malzeme en büyük asal gerilme çekmede kopma mukavemetini aştığında hasara uğrar. Kırılmanın başlangıcında n emniyet katsayısı olup n=1 için karenin sınırları kırılma hasarını gösterir. Sınırların içindeki alan hasarın olmadığı bölgedir.

Coulomb-Mohr Teorisi Bu kriter çekide ve basıda farklı özelliklere sahip kırılgan malzemede verilen bir düzlem gerilme durumunun etkisini belirlemekte kullanılır. Tek eksenli çekme ve basma testleri için Mohr çemberi Coulomb-Mohr teorisi ile hasarı belirlemek için kullanılır. Gerilme çemberleri ile zarfların temas noktaları kırılmadaki gerilme durumunu belirler. Mesela, eğer böyle bir nokta C (veya C’) ise, gerilmeler ve etkidiği düzlemler gerilme için Mohr çemberi kullanılarak elde edilebilir. s1 ve s2 ters işaretli olduğunda, biri çeki biri bası,

n=1 için Eksenel çekme durumunda Eksenel basma durumunda ab ve af : eksenel çekme ab ve af : eksenel basma bc eşitliği ile bulunur. ef altıgeni tamamlar. Taralı alan hasarsız durumu gösterir.

Maksimum Kayma Gerilmesi Teorisi Bu kriter, maksimum kayma gerilmesi basit çekme testindeki akma noktasındaki maksimum kayma gerilmesine eşit olduğunda akmanın başlayacağını söyler. s1 ve s2 ters işaretlidir. Eğer s1 ve s2 aynı işaretli ise akma koşulları; ise ise

Maksimum Çarpılma Enerjisi Teorisi Bu kritere göre, herhangi bir noktada birim hacmin çarpılma enerjisi basit çekmede akma durumundaki eşitse akma oluşur. Bu kriter sünek malzemeler için deneysel sonuçlarla en uyumlu olandır. Fakat maksimum kayma gerilmesi teorisi bazı dizayn kodlarında uygulamasının basit oluşu ve daha konservatif olması nedeniyle kullanılır.

Eğilme ve burulma veya eğilme ve kesmeye maruz yapısal bir elemanı göz önüne alalım. Bu durumda sy=sz=tyz=txz=0 F Mb Maksimum çarpılma enerjisi Maksimum kayma gerilmesi

Şekil Değiştirme Enerjisi (Strain Energy) Denge yöntemlerine alternatif olarak, enerji yöntemleri kullanılarak yer değiştirme ve kuvvet analizleri gerçekleştirilebilir. Enerji teknikleri değişken kesit alanlarına sahip elemanları içeren durumlara ve elastik stabilite ile ilgili problemlere uygulanabilir. Bu teknikler, kısa ve nispeten basit yaklaşımlar sunup çeşitli yükler altındaki narin elemanların yer değiştirmelerini hesaplamada kullanılır. Gerilme-şekil değiştirme diyagramının altında kalan alan birim hacim için absorbe edilen enerji veya çekme numunesinin şekil değiştirme enerji yoğunluğu Uo’dır. Lineer elastik malzeme için orijinden orantı sınırına kadar Bu büyüklük rezilyans modülü olarak adlandırılır. Elastik bölgede malzemenin enerji absorbe etme kapasitesini belirler.

Gerilme-şekil değiştirme eğrisinin üzerindeki alan tamamlayıcı enerji yoğunluğunu ifade eder eder ve U* ile gösterilir. Tokluk (toughness) is malzemenin kırılmadan enerji absorbe etme kapasitesini gösterir. Tokluk modülü tüm gerilme-şekil değiştirme eğrisinin altında kalan alana eşittir. Enerjinin çoğu, kalıcı olarak malzemeyi deforme etmeye harcanır ve ısı olarak kaybolur.

Kayma gerilmesi durumunda; Genel gerilme halinde; Bu eşitliğe Hooke yasası uygulandığında; Asal gerilmeler cinsinden;

Tüm hacim için şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu integre edilerek tüm cismin depolanan elastik şekil değiştirme enerjisi bulunabilir: Şekil değiştirme enerjisi yük ve deformasyonun nonlineer fonksiyonudur. Süperpozisyon prensibi şekil değiştirme enerjisine uygulanmaz. P eksenel yükü, M eğilme momenti ve T torkuna maruz düz veya eğri çubuktaki şekil değiştirme enerjisi;