Kuantum Mekaniği

Quantum mechanics Classical mechanics Revolution in physics: behaviour of light & atoms cannot be explained by Newton’s classical laws of physics needed to create a “new physics” Quantum mechanics the PHYSICS of very small things (electrons, light…) Classical mechanics the PHYSICS of the MACROSCOPIC world

CLASSICAL PHYSICS At the beginning of the 20th century: Matter: Discrete particles Electromagnetic radiation: Continuous waves The two were thought to be quite separate…..

Max Planck (1900): The beginning of building a new kind of physics… Matter cannot absorb/emit just any amount of energy… Energy can only be transferred in multiples of discrete units (packets of energy), called “quanta”. Max Planck 1858-1947 Nobel Prize in Physics 1918 Energy is not continuous Energy is quantized

Kilometre taşları Siyahcisim ışıması (1900, Max Planck) Fotoelektrik olay (1905, Albert Einstein) Alfa saçılması ve atom modeli (1911, Ernest Rutherford) Atom spektrumunun açıklanması (1913, Niels Bohr) Madde dalgası kavramı (1923, Louis de Broglie) Dalga denklemi (1926, Erwin Schrödinger) Belirsizlik ilkesi (1926, Werner Heisenberg) Relativistik kuantum mekaniği (1932, Dirac)

elektronun dalga özelliği De Broglie teorisi (1923) elektronun dalga özelliği De Broglie sadece fotonun değil elektron, çekirdek, atom,top..v.s. gibi momentuma sahip diğer taneciklerin de dalga özelliği göstermesi gerektiği varsayımında bulundu = h p λ mv λ: taneciğin dalga boyu h: Planck sabiti m: taneciğin kütlesi p: taneciğin momentumu v: taneciğin hızı Davisson ve Germer (1927) : elektronun da foton gibi kırınıma uğradığını gösterdiler (elektron mikroskopu)

 = h/mv = h/electron momentum Wave properties of electrons wave-particle dualism photons have both wave and particle properties electrons have both wave and particle properties Planck (1900): (energy of a photon) Einstein (1908): m = mass of a photon = h/photon momentum DeBroglie (1929):  = h/mv = h/electron momentum

Slit sizes comparable to wavelength of light The diffraction pattern caused by light passing through two adjacent slits. Slit sizes comparable to wavelength of light Electron beams also show diffraction, And thus show wavelike properties!

Comparing the diffraction patterns of x-rays and electrons In-phase diffraction Bright lines (Interatomic distances in Al(s) ~  of x-rays)

ÖRNEK : 1) 40 g Golf topunun hızı 30 ms-1 dir. Bu topa eşlik eden dalga boyu nedir ? 2) Bir nötronun (m : 1.674x10-27 kg) hızı 2000 ms-1 dir. Bu nötrona eşlik eden dalga boyu nedir?

= (6.626x10-34 Js)/(0.450kg)(______ms-1) If a ball with a mass of 0.450 kg is thrown at a speed of 102 km/h, what is its wavelength? 1 J = 1 Nm = 1 kgm2s-2 l = h/mv = (6.626x10-34 Js)/(0.450kg)(______ms-1) 28.3  l = 5.20x10-35 m v = 102 km x 1000 m x 1 h . 1 h 1 km 3600 s = 28.3 ms-1 Wavelength « ball’s size (d ≈ 0.1 m) Wave properties NOT noticeable If an electron (mass 9.109x10-31 kg) is traveling at 40.0% the speed of light, what is its wavelength? l = h/mv = (6.626x10-34 Js)/(9.109x10-31kg)(0.400 x 2.998x108 ms-1) = 6.06x10-12 m Diameter of a H atom is ~ 0.7 Å …wavelength of electron is almost 10% of this distance! VERY NOTICEABLE!  l = 0.0606 Å

WAVE-PARTICLE DUALITY….. All matter and energy shows both particle-like and wave-like properties. Large pieces of matter are mainly particle-like, with very short wavelengths. Small pieces of matter are mainly wave-like with longer wavelengths. MASS Baseball Proton Electron Photon Particle-like Wave-like   object size  behave as BOTH !!

Heisenberg Belirsizlik İlkesi (1926) Bir ölçüm yapılırken mutlaka bir hata yapılır. Gelişmiş aletler ve ölçüm teknikleri ile bu hata azaltılabilir. Heisenberg yapılacak hatanın bir alt limiti olduğunu göstermiştir. h x : Yerdeki belirsizlik p : Momentumdaki belirsizlik pxx  4 Bir taneciğin yerini ve momentumunu aynı anda sonsuz duyarlıkta ölçebilmek imkansızdır. Bu imkansızlık, ölçme işleminin kendisinden kaynaklanır.

Dp = m Dv = (80kg)(0.013 m/s) = 1.04 kg.m/s ÖRNEK: Hızdaki belirsizliği 1% olan 80 kg ağırlığındaki bir öğrencinin kampüsteki hızı 1.3 m/s ise yerindeki belirsizliği ne olur? Dp = m Dv = (80kg)(0.013 m/s) = 1.04 kg.m/s Çok küçük….nerede olduğu kesin olarak belli. in ordinary life, wavelength is so short and frequency so high that we are not directly aware of the wave (geometrical optics limit).

ÖRNEK : 1Å yarıçaplı bir yörüngede bulunan elektronun hızındaki belirsizlik nedir? Konum belirsizliği : %1 Dx = (1 Å)(0.01) = 1 x 10-12 m çok büyük

Belirsizlik ilkesi SONUÇ Mikroskopik dünyada foton veya elektron kolayca tanımlanamaz. Foton ve elektron hem dalga hem tanecik özelliği gösterir. Mikroskopik dünyayı anlamaya çalışırken her ikisini birden dikkate almalıyız.

E●t ≥ ћ / 2 = h / 4 Enerji-zaman belirsizlik bağıntısı Enerjideki belirsizlik Zamandaki belirsizlik ÖRNEK : Uyarılmış bir enerji düzeyindeki yarıömrü 1.6 x 10-8 saniye olan bir atom temel düzeye indiğinde 8000 Å dalgaboylu bir foton yayınlamaktadır. Fotonun enerjisindeki ve dalga boyundaki belirsizlik ne olur?  t = 1.6 x 10-8 s E●1.6 x 10-8 = h / 4 E = 2.1x10-8 eV E = hc/  = 1x10-4 Å

KUANTUM MEKANİĞİ Klasik mekaniğin alternatifleri Dalga mekaniği (Erwin Schrodinger) Matris mekaniği (Werner Heisenberg) Sonunda her iki mekaniğin aynı olduğu gösterilmiştir. Makroskopik dünyaya yaklaşırken kuantum mekaniği, klasik mekanik ile bütünleşir. Buna karşılığı bulunma ilkesi (correspondence principle ) denir.

varsayım: Bir fiziksel sistemin belirli bir t anındaki durumu Kuantum mekaniği varsayım: Bir fiziksel sistemin belirli bir t anındaki durumu (r,t) dalga fonksiyonu ile belirlenir. İlerleyen dalgaya, bir dalga fonksiyonu eşlik eder. (r,t) = yer ve zamanın fonksiyonu olarak dalganın genliği  (psi), ışık ile mukayese edilebilir Işık dalga gibi düşünülürse, ışık şiddeti elektrik alan şiddetinin karesi ile orantılıdır. Işık bir tanecik akımı gibi düşünülürse, ışık şiddeti foton sayısı ile orantılıdır. Foton sayısı ve alan şiddetinin karesi birbiri ile orantılıdır.

 ışık ile mukayese edildiğinde, mutlak değerinin karesi 2, tanecik sayısı veya benzeri bir şey olmalıdır. Uzayda bir yerde fotonların bulunma olasılığı E2 ile orantılıdır. Uzayda bir yerde taneciklerin bulunma olasılığı 2 ile orantılıdır. ||2 = * bir taneciğin belirli bir yerde bulunma olasılığı Lokalize dalga paketi veya duran dalga Tanecik (elektron) 2(xyz)  elektronun (x,y,z) de bulunma olasılığı 2(xyz), her zaman pozitiftir,  negatif olsada

nin fiziksel gerçek bir çözümü için gereken bazı şartlar… 1.  dalga fonksiyonu tek değerli olmalıdır. Uzayın herhangi bir noktasında bir elektron için iki olasılık mevcut olmaz. 2.  dalga fonksiyonu ve onun birinci türevi sürekli olmalıdır. Uzayın tüm noktalarında olasılık tanımlı olmalıdır ve bir noktadan diğerine geçişte âni bir şekilde değişemez. 3. r sonsuza giderken  dalga fonksiyonu sıfıra yaklaşmalıdır. Çekirdekten uzak mesafelerde, olasılık gittikçe küçülmelidir. 4. Uzayın herhangi bir yerinde elektronun toplam bulunma olasılığı 1 dir. Buna dalga fonksiyonunun normalizasyon şartı denir.  . * d = 1 tüm uzay 5. Bir atomdaki tüm orbitaller birbirleriyle ortogonal olmalıdır. ∫A.B d =0 Örneğin, px, py pz orbitalleri birbirine diktir.

Kararlı Dalga veya Duran Dalga standing wave Dalga mekaniğine göre, belirli bir enerji seviyesinde bulunan elektron “duran dalga” gibi kabul edilebilir. Çekirdeğin etrafında sadece belirli dalgalar mevcut olabilir. Bunlara kararlı dalga veya duran dalga adı verilir. Her kararlı dalga belirli bir enerji seviyesine sahiptir. Schrödinger H atomundaki elektronun enerjisini hesaplamak için duran dalgaları kullanmış ve bir eşitlik geliştirmiştir.

Standing Electron waves Duran dalga düğümler Standing Electron waves in an atomic corral Duran dalga, gitar teli gibi, dalganın ilerlemediği bir harekettir  Duran dalga düğüm noktaları içerir ve bu noktalarda hareket etmez. Dalga boyunun tam veya yarım katları duran dalgalara karşılık gelir.  = genlik, dalga yüksekliği

de Broglie , Bohr’un öngördüğü izinli yörüngelerin duran dalga şartlarını sağlayan yörüngeler olduğunu ileri sürmüştür. Birinci harmonik İkinci harmonik Üçüncü harmonik not allowed

Madde Dalgaları ve Bohr Atomu Matter waves and the Bohr model If the radius of a Bohr orbit is r, the path length of the electron around the atomic nucleus is 2r. If electrons act like waves, stable orbits require path lengths of integer numbers of wavelength: n = 2r. Otherwise the electron waves must decay from self-cancellation. n = 4 n = 5 n = 4.5 Kararlı Kararlı Kararsız 2pr = nl Kararlı Dalga Şartı λ = h mv De Broglie

Hamiltonian operatörü Toplam enerji özdeğeri 2. Varsayım : Bir sistemin (r, t) dalga fonksiyonunun zaman içindeki gelişmesi Schrödinger denklemi ile belirlenir. Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi Hamiltonian operatörü Toplam enerji özdeğeri Toplam enerji operatörü Kinetik enerji Potansiyel enerji

Schrödinger Dalga Eşitliği Tek doğrultuda (x) hareket eden (1D), kütlesi m olan bir taneciğin enerjisi kinetik enerji potansiyel enerji E = taneciğin özdeğer (eigenvalue) enerjisi Ψ = özfonksiyonlar (eigenfunction) m = kütle x = konum Ћ ( h-bar) = h/2π

3D boyutta Schrödinger eşitliği wave function mass of e potential energy of e d2Y dy2 dx2 dz2 + 8p2m h2 (E-V(x,y,z)Y(x,y,z) = 0 Kinetic energy of e how y changes in space Laplacian operator (okunuşu, del kare)

Potansiyel enerji ve Kuantlaşma • 1 boyutta (1D) serbestçe hareket eden bir tanecik düşünün. “Serbest Tanecik” Potansiyel E = 0 • Schrödinger Eşitliği şöyle olacaktır: • Enerji aralığı 0 dan sonsuza kadar değişir….. Kuantize değildir…..

Kutudaki tanecik Particle in a Box “Kutudaki tanecik” Potansiyel E Bir potansiyel tarafından sınırlandırılırsa taneciğin yeri ne olur? “Kutudaki tanecik” Potansiyel E = 0 , 0 ≤ x ≤ a için =  , diğer x değerlerinde • Bu durumda, taneciğin yeri kutunun boyutuna göre sınırlanmıştır.

Dalga fonksiyonu neye benzer? Duran dalgalara y y*y

Enerjiler nasıldır? Enerji kuantizedir E n = 1, 2, … y y*y a : kutunun boyutu

ÖRNEK: Bir boya molekülünün uzunluğu 8x10-10 m dir ve kutunun uzunluğu olarak kabul edilebilir. Buna göre, molekülün n = 1 ve n = 2 arasındaki ΔE ve buna karşılık gelen ışığın dalga boyu nedir? a = 8 x10-10 m h = 6.62 x 10-34 J.s m = 9.10 x 10–31 kg ( denel 680 nm)

Potansiyel enerji sınırlandırılırsa, sistemin enerjisi kuantlaşır. • Hidrojen atomunda.. Schrodinger Equation potential Recovers the “Bohr” behavior