BAĞINTI SAYISI VE ÇEŞİTLERİ Kim korkar matematikten? Bilmeyenler İ:K(2009)

Tanım:b , A dan B ye bir bağıntı olsun. b nın elemanlarının yani sıralı ikililerinin yerlerini değiştirerek elde edilen bağıntıya b nın ters bağıntısı denir ve b-1 ile gösterilir. Örnek: A={0,1,2,3} ve B={a,b,c} olsun. AxBb={(0,a),(1,b),(2,a)} ise b-1={(a,0),(b,1),(a,2)} dir. UYARI: Eğer b, A dan B ye bir bağıntı ise b -1 B den A ya bir bağıntıdır.

BAĞINTI SAYISI: Madem AxB nin her alt kümesine bir bağıntıdır dedik o zaman AxB nin kaç tane alt kümesi varsa o kadar A dan B ye bağıntı tanımlanabilir. Yani s(AxB)= s(A).s(B) olduğundan A dan B’ye en çok 2s(A).s(B) kadar bağıntı tanımlanabilir. Örnek: A={a,b,5,2} kümesinden B= {2,4,1,9} kümesine En çok kaç bağıntı; a yı 2 ye b yi 9 ‘a bağlayan en çok kaç tane bağıntı; (2,2)(5,1)(a,4) elamanlarının hiç birini bulundurmayan en çok kaç bağıntı yazılabilir? Çözüm: s(A)=4 ve s(B) = 4 olduğundan s(AxB)=4.4 =16 olup A dan B’ye en çok 216 tane bağıntı tanımlanabilir. (a,2) ve (b,9) ‘u eleman olarak kabul eden AxB nin kaç alt kümesi vardır? sorusuna yanıtımız, elbette bu iki eleman hariç 14 elmanlı bir kümenin alt küme sayısı olacağından 214 tür. Son soruda ise (2,2)(5,1)(a,4) bu elemanları çıkardığımızda kalan elemanların oluşturduğu kümenin alt küme sayısı istenen yanıt olup; 216-3= 213 tür.

BAĞINTI ÖZELLİKLERİ: Bazı bağıntıların benzer özellikleri olduğunu sizde mutlaka farketmişsinizdir. Örneğin eşitlik bağıntısını ele alalım. Bu bağıntının hemen şu özellikler göze çarpar. Her şey kendine eşittir. Yani x=x tir. Eğer x= y ise y= x tir. Eğer x= y ve y= z ise x=z dir. Bir başka örneğimizde doğrularda paralellik bağıntısı olsun. Her doğru kendisine paraleldir. Yani l // l dir. Eğer l // d ise d // l tir. Eğer l // d ve d // r ise l // r dur. Şimdi bir bağıntı, bazı koşulları sağladığında o bağıntılara bir ad vereceğiz.

TANIM: b, A da bir bağıntı olsun. her xA için (x,x) b ise b ya yansıyan bağıntı denir. TANIM: b, A da bir bağıntı olsun. her (x,y) b için (y,x) b ise b ya simetrik bağıntı denir. TANIM: b, A da bir bağıntı olsun. (x,y) b ve (y,z) b için (x,z) b ise b ya geçişken bağıntı denir. TANIM: b, A da bir bağıntı olsun. (x,y) b ve (y,x) b için x=y ise b ya ters-simerik bağıntı denir. Ters simetriklik için bir başka tanım da şudur. TANIM: b, A da bir bağıntı olsun. x≠y için (x,y) b ve (y,x) b ise b ya ters-simerik bağıntı denir.

ÖRNEK: A={a,b,c} da bir bağıntı b ={(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(b,a)} olsun. (a,a),(b,b),(c,c) b olduğundan b yansıyan bağıntıdır. ÖRNEK: Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri yansıyan bağıntıdır? b1 ={(x,y)| x2 = y2 x,yIN} b2 ={(x,y)| x ≠ y x,yIN} b3 ={(x,y)| x+ y= 8 x,yIN} ÇÖZÜM: Acaba her x IN için (x,x)  b1 mi? Bağıntı karelerinin eşit olmasını söylemektedir x2 = x2 olduğundan b1 yansıyandır. Acaba her x IN için (x,x)  b2 mi? x ≠ x olamayacağından (x,x)  b2 dir. yani yansıyan değildir. Acaba her x IN için (x,x)  b3 mü? x + x= 8 xIN olup x=4 tür. Oysa en azından (1,1) b3 ün elemanı değildir. O halde b3 yansıyan değildir.

ÖRNEK: A={a,b,c} da bir bağıntı b ={(a,b),(b,a),(c,c),(a,c),(c,a)} olsun. (a,b) b iken (b,a) b (a,c) b iken (c,a) b olduğundan b simetrik bağıntıdır. ÖRNEK: Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri simetrik bağıntıdır? b1 ={(x,y)| x2 = y2 x,yIN} b2 ={(x,y)| x ≠ y x,yIN} b3 ={(x,y)| x+ y= 8 x,yIN} ÇÖZÜM: Acaba her (x,y)  b1 iken (y,x) b1 mi? Bağıntı karelerinin eşit olmasını söylemektedir x2 = y2 için y2 = x2 olduğundan (y,x)b1 yansıyandır. Acaba her (x,y)  b2 için (y,x)  b2 mi? x ≠ y iken y ≠ x olduğundan (y,x)  b2 dir. yani b2 simetriktir. Acaba her (x,y)  b3 için (y,x)  b3 mü? x + y= 8 iken y+x=8 olduğundan (y,x) b3 tür. Yani b3 simetriktir.

ÖRNEK: A={a,b,c} da bir bağıntı b ={(a,b),(b,a),(a,a), (c,c),(a,c),(c,a)} olsun. (a,b) b ve (b,a) b iken (a,a)  b (a,c) b ve (c,a) b iken (a,a)  b (b,a) b ve (a,c) b iken (b,c)  b olduğundan b geçişken değildir. ÖRNEK: Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri geçişken bağıntıdır? b1 ={(x,y)| x2 = y2 x,yIN} b2 ={(x,y)| x ≠ y x,yIN} ÇÖZÜM: Acaba her (x,y)  b1 ve (y,z) b1 için (x,z)b1 mi? x2 = y2 ve y2 = z2 için x2 = z2 olduğundan (x,z)b1 olup geçişkendir. Acaba her (x,y)  b2 ve (y,z) b2 için (x,z)b2 mi? x ≠ y ve y ≠ z için x=z olabilir. yani örnek vermek gerekirse (1,2) ve (2,1) b2 dir. Ama (1,1)  b2 yani b2 geçişken değildir.

UYARI: Bir bağıntının yansıyan olması için köşegen elemanlarının o bağıntının elemanları olması gerekir. UYARI: Madem s(A)=n elemanlı bir kümede tane bağıntı tanımlanıyor. Bunlardan tam n taneside yansıyan bağıntının elemanı olmak zorunda o halde geriye kalan n2-n tane elamandan oluşan kümenin her alt kümesi yansıyan bağıntı olacaktır. Buradan n elemanlı bir kümede tanımlanan bağıntılardan tanesi yansıyandır. A d c b a a b c d A

s(A)=n elemanlı bir kümede tane simetrik bağıntı tanımlanabilir. A UYARI: Bir bağıntının köşegene göre elemanların simetrikleride bağıntının elemanlarıysa o bağıntı simetriktir. UYARI: s(A)=n elemanlı bir kümede tane simetrik bağıntı tanımlanabilir. A d c b a a b c d A