İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BAĞINTILAR ERDAL RUHAT ERDOĞAN DİCLE ÜNİVERSİTESİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

SIRALI İKİLİ Milli futbol takımımızın 2005 – 2010 yılları arasında aldığı galibiyet sayılarını bu yıllarla ilişkilendirip ikililer elde etmeye çalışalım. İkililerin birinci bileşenleri yılı, ikinci bileşenleri o yıla ait galibiyet sayısını göstersin. Bu durumda ; (2005 , 6) (2006 , 8) (2007 , 5) (2008 , 5) (2009 , 4) (2010 , 4) olur. a ve b elemanlarının (a , b) biçiminde yazılmasıyla elde edilen elemana sıralı ikili denir. (a , b) sıralı ikilisinde a’ya birinci bileşen, b’ye ikinci bileşen denir. Sıralı ikililerde bileşen sırası önemlidir. Yani, (a , b) ≠ (b , a)’dır.

Örnek : Adınızı soyadınızı (ADI , SOYADI) biçiminde yazdığımızı düşünelim. Arkadaşlarınızdan Doğan ÖZMEN (Doğan , ÖZMEN ) , DORUK ŞAHİN (Doruk , ŞAHİN) biçiminde yazılsın. Bize bir üçüncü arkadaşınız (İsmet , ERDOĞAN) biçiminde verilmiş olsaydı biz buradan bu arkadaşınızın adının İsmet, soyadının ERDOĞAN olduğunu anlardık. Bu da sıralı ikililere vereceğimiz bir diğer örnek olur.

KARTEZYEN ÇARPIM Türkiye A milli futbol takımında oynayan Sabri ,Arda, Emre 9,10, 11 numaralı formaları giyebilirler. Bu oyuncuların giyebilecekleri formaları gösteren sıralı ikililer şöyledir : Futbolcular F = {SABRİ , ARDA , EMRE} Forma Numaraları N ={9 , 10 ,11} Oluşacak ikililer; { (Emre, 9),(Emre,10),(Emre,11), (Arda,9),(Arda.10),(Arda,11), (Sabri,9),(Sabri,10),(Sabri,11) } Futbolcular ile forma numaralarının oluşturduğu bu ikililer kümesi F ile N kümelerini kartezyen çarpımıdır. Bir başka deyişle, F ve N boş olmayan iki küme olsun. Birinci bileşeni F kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak elde edilecek bütün sıralı ikililerin kümesine F ile N’nin kartezyen çarpımı denir ve F X N biçiminde gösterilir. F X N = { x| x є F Λ y є N }’dir.

Örnek : Mehmet ile Seher birlikte tatile gitmeyi planlamaktadırlar. Mehmet’in tatil planında Diyarbakır ve Urfa’yı gezmek vardır. Seher’in tatil planında ise Kırşehir ve Ankara’yı gezmek vardır. Gezilecek yerleri gösteren sıralı ikililer şöyledir ; Gezilecek yerler Y= {Diyarbakır ,Urfa ,Kırşehir ,Ankara} Gezecek kişiler K= {Mehmet, Seher} Oluşacak ikililer ; { (Diyarbakır , Mehmet), (Diyarbakır , Seher), (Urfa , Mehmet), (Urfa , Seher), (Ankara , Mehmet), (Ankara ,Seher), (Kırşehir , Mehmet), (Kırşehir , Seher) } Gezilecek yerler ile gezecek kişilerin oluşturduğu bu ikililer kümesi Y ve K kümelerinin kartezyen çarpımıdır.

BAĞINTI A = {Türkiye, Almanya } ve B = {Ankara , Berlin} kümelerini arasındaki eşleşmeleri yaparsak ; {(Türkiye , Ankara), (Türkiye , Berlin), (Almanya, Ankara), (Almanya, Berlin)} ikililerini elde ederiz. Bu eşlemelerde birinci bileşenler ülke adını, ikinci bileşenler başkent adlarını göstermektedir. Bu ikililerin oluşturduğu kümenin kartezyen çarpım kümesi olduğunu biliyoruz. Bu eşlemelerden ülkeler ve başkentler bağıntısını β ile gösterirsek β = {(Türkiye, Ankara),(Almanya , Berlin)} olur. β bağıntısının A X B kümesinin bir alt kümesi olduğu açıktır.

Bir başka deyişle A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere A X B kümesinin her bir β alt kümesine, A’dan B’ye bir ikili bağıntı veya kısaca bağıntı denir.

Örnek : İlköğretim 4. sınıf öğrencisi Elvin’in öğretmeni resim dersinde öğrencilere sulu boya çalışması yapmalarını söylemiştir. Elvin resmini yaparken fırçaları karıştırmış önceden kırmızıya boyadığı ev resmine yanlışlıkla sarı fırçayla pencere çizmeye çalışmıştır. Sarı ile kırmızının çalışması ile turuncu renk oluşmuş ve Elvin bu durum karşısında çok şaşırmış ardından diğer boyaları karıştırmaya başlamıştır. Siyah ile beyazı karıştırıp gri elde etmiştir. Renkler R = {sarı, kırmızı, siyah, beyaz} Oluşacak bir β bağıntısı R X R’nin bir alt kümesi olacaktır.

BAĞINTI ÖZELLİKLERİ 1 - YANSIMA : Yandaki şemada kan grupları arasındaki alışveriş akışı gösterilmiştir. Her grup kendi arasında kan alışverişi yapabilir. (A grubu kendi arasında) Farklı gruplardan da bazıları kan alışverişi yapabilir. ( AB grubu A grubuna kan verebilir.) Kan veren gruplarla kan alan gruplar iki farklı küme oluşturur. Bu iki kümenin kartezyen çarpımından elde edilecek bağıntı, yansıyan bir bağıntı olacaktır. β = {(A , A), (B , B), (A , AB) ,(0, 0)}

2 – SİMETRİ : Kırşehir Hatunoğlu Köyü’nün ortasından ırmak geçmektedir. Irmağın iki yakasında da evler kurulmuştur. Bu köydeki bütün evlerin kümesini E olarak ele aldığımızda ; E x E köydeki bütün evlerin ikililerini gösterir. E x E = {(x , y) : x, y є E} E x E’deki şu bağıntıyı düşünelim ; β ={(x , y) : x ile y ırmağın aynı yakasında} Buna göre x evi ile y evi ırmağın aynı yakasında ise y evi ile x evi ırmağın aynı yakasındadır. O halde bu bağıntının simetri özelliği vardır.

ÖRNEK : Erdal ile Doğan iki kuzendir. Doğan, Erdal’ın dayısının oğludur. Bu akrabalık ilişkisi bir bağıntı oluşturur. β = {(Erdal , Doğan), (Erdal , Mehmet), …} Herkes kendisiyle akraba olduğu için bu bağıntı yansıyan bir bağıntıdır. Doğan, Erdal’ın dayısının oğlu ve Erdal, Doğan’ın halasının oğlu olduğu için bu bağıntı simetrik olamaz.

3 - TERS SİMETRİ : Ehliyet sınavına hazırlanan Eren, ehliyet sınıflarına çalışmaktadır. A sınıfı ehliyeti olan kişilerin motorlu bisiklet sürebileceğini , B sınıfı ehliyeti olan kişilerin otomobil, C sınıfı ehliyeti olanların kamyonet sürebileceğini öğrenmiştir. Buna göre ; Ehliyetler E = {A, B, C} Araçlar A = { motosiklet, otomobil, kamyonet} E x A = {(A , motosiklet), (A , otomobil), (A , kamyonet) (B , motosiklet), (B , otomobil), (B, kamyonet) (C, motosiklet), (C, otomobil), (C, kamyonet) Oluşacak bağıntı β = {(A , motosiklet), (B , otomobil), (C, otomobil), (C, kamyonet) Bu bağıntıda, araçlar ehliyeti süremeyeceği için (motosiklet , A), (otomobil , B), (kamyonet C) vb. gibi ikililer yoktur. Bu sebepten bağıntı, ters simetrik bir bağıntıdır.

4 - GEÇİŞME : Dünya, hem kendi ekseni etrafında hem de Güneş’in etrafında döner. Kendi ekseni etrafında dönmesiyle gece ve gündüzü, Güneş etrafında dönmesiyle mevsimleri oluşturur. Ay Dünya’nın uydusu olup Dünya etrafında dönmektedir. Dünya’nın Güneş etrafında döndüğünü zaten biliyoruz. O halde Ay da Güneş’in etrafında dönmektedir. Bu nedenle buradaki bağıntı geçişme özelliği olan bir bağıntıdır. A = {Ay, Dünya, Güneş} A x A = {(Ay , Ay), (Ay , Dünya), (Ay , Güneş), (Dünya , Ay), (Dünya , Dünya), (Dünya , Güneş), (Güneş , Ay), (Güneş , Dünya), (Güneş , Güneş)} β = {(Ay , Ay), (Ay , Dünya), (Ay , Güneş), (Dünya , Dünya), (Dünya , Güneş)} Yukarıda da görüldüğü gibi Ay, Dünya’nın etrafında Dünya Güneş’in etrafında döner. Dolayısıyla Ay Güneş’in etrafında da döner. Bu durumda da bağıntının geçişme özelliği olduğu anlaşılır.

DİCLE ÜNİVERSİTESİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ERDAL RUHAT ERDOĞAN DİCLE ÜNİVERSİTESİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Mail to : erdalruhat@gmail.com