00132: Ayrık Matematik 00132-Ayrık Matematik, 2013

Karar Ağacı 4 Gömlek, 3 Pantolon, 2 çift ayakkabı 00132-Ayrık Matematik, 2013

Saymanın Temel Prensibi Sıra Önemli Sıra Önemsiz Üçlülerin Sayısı 00132-Ayrık Matematik, 2013

Güvercin Deliği Prensibi 00132-Ayrık Matematik, 2013

Güvercin Deliği Prensibi Güvenrcin sayısı=n Delik sayısı=k k < n olduğu durumda 00132-Ayrık Matematik, 2013

Güvercin Deliği Prensibi S = {a1,a2,a3,a4,a5,a6} olsun. Pozitif tamsayılar olduğuna göre S kümesinde farkı 5’ e bölünebilen bir çift vardır. S = {a1,a2,a3,a4,a5,a6}. Kümenin elemanlarının 5’ e bölümünde kalan 0, 1, 2, 3, or 4 ai ve aj ve kalanı r olsun. ai = 5m + r, ve aj = 5n + r. ai - aj = (5m + r) - (5n + r) = 5m - 5n = 5(m-n) 00132-Ayrık Matematik, 2013

Permutasyon 12 yarışçı bulunmaktadır. İlk 5 yarışçıya farklı madalyalar verilmektedir. 5 madalyayı dağıtmanın kaç farklı yolu vardır? 12 11 10 9 8 60 125 12!/7! 512 Hiçbiri Permutasyon sıranın önemli olduğu nesnelerin dizilmesi işlemidir. P(n,r) = n! / (n-r)! 00132-Ayrık Matematik, 2013

Permutasyon 10 şarkıyı, 6 yaz tonu, 8 kış tonu, 3 sıradan ton varsa, kaç farklı çalma listesi oluşturulabilir? P(17,10) = 17x16x15x14x13x12x11 00132-Ayrık Matematik, 2013

Permutasyon 10 şarkıyı, 6 yaz tonu, 8 kış tonu, 3 sıradan ton vardır. 4 yaz tonu, 4 kış tonu, 2 sıradan kaç farklı şekilde çalınabilir? P(6,4) x P(8,4) x P(3,2) 00132-Ayrık Matematik, 2013

Permutasyon 10 şarkıyı, 6 yaz tonu, 8 kış tonu, 3 sıradan ton vardır. 4 yaz tonu, 4 kış tonu, 2 sıradan kaç farklı şekilde çalınabilir (çalma sırası önemliyse)? P(6,4) x P(8,4) x P(3,2) x 3! 00132-Ayrık Matematik, 2013

Permutasyon Beş tane Martı arasına 3 tane Güvercin nasıl yerleştirilir? (Güvercinlerin ikisi yan-yana gelmeyecektir). M1 M2 M3 M4 M5 5! X P(6,3) 00132-Ayrık Matematik, 2013

C(n,r) = P(n,r)/r! = n!/((n-r)!r!) Kombinasyon Sıranın önemli olmadığı durumda dizilim sayısını bulmak. n tane arasında r tane nesneyi alıp dizmenin yapılacağı yol sayısı C(n,r) veya nCr C(n,r) = P(n,r)/r! = n!/((n-r)!r!) 00132-Ayrık Matematik, 2013

Fark Nedir? Kombinasyon 12 dev adamdan kaç farklı takım kurulur? C(12,5) Fark Nedir? 12 yarışçının yarıştığı yarışmada ilk beş madalya almaktadır. Farklı madalya alma sayısı nedir? P(12,5) = C(12,5) x 5! 00132-Ayrık Matematik, 2013

Kombinasyon 19 birinci sınıf ve 34 son sınıf öğrencinin olduğu bir ortamda 8 öğrencilik bir komite kurulacaktır. 3 tane birinci sınıf ve 5 tane son sınıf olmak üzere kaç farklı şekilde komite teşkil edilir? 1 tane birinci sınıfta olmak üzere komite kaç farklı şekilde oluşturulur? En fazla bir tane birinci sınıfta olmak üzere bu komite kaç farklı şekilde oluşturulur? En az bir tane birinci sınıfta olmak üzere bu komite kaç farklı şekilde oluşturulur? 00132-Ayrık Matematik, 2013

Saymanın Temel Prensibi Algoritma 1   1- k0 2- i10 ‘ dan n1 kadar 3- kk+1 4- i20’ dan n2 kadar 5- kk+1 . m- im0’ dan nm kadar (m+1)- kk+1 00132-Ayrık Matematik, 2013

Saymanın Temel Prensibi Algoritma 2.   1- k0 2- i10’ dan n1-1 kadar 3- i20’ dan n2-1 kadar . m- im0’ dan nm-1 kadar (m+1)- kk+1 00132-Ayrık Matematik, 2013

Tanımlar Verilen farklı nesneler koleksiyonu için, bu nesnelerin herhangi lineer düzenleme şekline permutasyon denir. Eğer verilen nesneler arasında sıra önemli değilse bu nesnelerin lineer olarak dizilmelerine kombinasyon denir. Bu farklı nesneler arasında r tane nesne seçilecek olursa bu işlemde kombinasyondur veya seçmedir. 00132-Ayrık Matematik, 2013

Uygulamalar (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 (a + b)4 = a4 + 4ab3 + 6a2b2 + 4a3b + b4 00132-Ayrık Matematik, 2013

(a + b)12 ifadesinde a9b3 katsayısı nedir? Uygulamalar (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 (a + b)4 = a4 + 4ab3 + 6a2b2 + 4a3b + b4 (a + b)12 ifadesinde a9b3 katsayısı nedir? 00132-Ayrık Matematik, 2013

Uygulamalar (a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) = a4 + a3b + a2b2 Binom Teoremi: x ve y değişkenler, n negatif olmayan bir tamsayı olsun. 00132-Ayrık Matematik, 2013

Uygulamalar Binom Teoremi: x ve y değişkenler, n negatif olmayan bir tamsayı olsun (3a +2b)17 ifadesinde a8b9 teriminin katsayısı nedir? n nedir? 17 j nedir? 9 x nedir? 3a y nedir? 2b 00132-Ayrık Matematik, 2013

Uygulamalar Vandermonde Birimi m, n, ve r negatif olmayan tamsayılar ve r sayısı m ve n sayılarından büyük değildir. 00132-Ayrık Matematik, 2013

Uygulamalar KUŞ kelimesinden kaç farklı kelime türetilir? 6 TAT kelimesinden kaç farklı kelime türetilir? 3 00132-Ayrık Matematik, 2013

Uygulamalar nano-nano kelimesinden kaç farklı kelime türetilir? İpucu: 8 pozisyon, 3 farklı harf. 8C4, 4 boş yer kaldı n kaç farklı şekilde konulur? 4C2, 2 boş yer kaldı a kaç farklı şekilde konulur? 2C2, 0 boş yer kaldı o kaç farklı şekilde konulur? 00132-Ayrık Matematik, 2013

Uygulamalar APALACHICOLA kaç farklı permutasyon vardır? Eğer L harfleri bir arada ise, kaç farklı permutasyon elde edilir? İlk harf A ise kaç farklı permutasyon elde edilir? 00132-Ayrık Matematik, 2013