www.matematikci.org internetin matematik kaynağı Bu çalışma Prof.Dr Halil ARDAHAN tarafından hazırlanmıştır. Çalışmalarından dolayı değerli hocamıza teşekkür ederiz. Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

Cebimdeki bilinmeyen parayı x harfi neyi temsil ediyor? DENKLEM KURMAK Arkadaş, cebimdeki paranın ne kadar olduğunu bilmiyorum Ama.yarısını sana verebilirim. Bakalım kaç lira verebilirim. CEBİMDEKİ PARA VEREBİLECEĞİM PARA 10 milyon 10/2 = 5 milyon 15/2 = 7,5 milyon 15 milyon 50/2 = 25 milyon 50 milyon 150/2 = 75 milyon 150 milyon x milyon x / 2 milyon Cebimdeki bilinmeyen parayı x harfi neyi temsil ediyor? Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

Aşağıdaki sözel ve matematik ifadeleri inceleyelim. SÖZEL İFADE MATEMATİK İFADESİ Paramın yarısı x/2 Paramın yarısının 5 lira fazlası x/2 + 5 Paramın yarısının 3 katının 5 lira fazlası 3 . (x/2) + 5 Bir sayının 5 fazlası x + 5 Bir sayının 7 katının 5 fazlası 7 . x + 5 x - 5 Bir sayının 5 eksiği (x –5) / 6 Bir sayının 5 eksiğinin 6 da biri n , n+1, n+2 Ardışık üş tamsayı Bu çeşit önermelere ne isim verelim? AÇIK ÖNERMELER Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

İki sayının aritmetik ortalaması ( a+ b)/ 2 SÖZEL İFADE MATEMATİK İFADESİ Ardışık üç çift sayı 2n , 2n+2, 2n+4 Ardışık dört tek sayı 2n+1,2n+3, 2n+5, 2n+7 İki sayının aritmetik ortalaması ( a+ b)/ 2 Üç sayının aritmetik ortalaması (a + b + c)/ 3 a b= 10 a+ b İki basamaklı sayı abc=100a+10b+c Üç basamaklı sayı Bir sayının yüzde beşi x. 0,050 = x . 5/100 M malını % t KAR ile satış Satış= M + M t /100 M malını % t ZARAR ile satış Satış= M - M t /100 V hızı ile t zamanda alınan yol YOL= V. t A liranın %t faiz ile n yılda getireceği faiz F=A.n.t /100 % p asitli M malı ile %q asitli N malının karışımı Karışım=M . p/100 + N . q /100 Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

- 27 – 14 = 13 İŞLEMLERDE KULLANILAN DENKLEMLER 1.ÇIKARMA İŞLEMİNDE KULLANILAN DENKLEMLER 27 E=Eksilen 27 – 14 = 13 - 14 Ç= Çıkan 13 F= Fark E=Eksilen Ç=Çıkan F=Fark 27 = 13 + 14 E = F + Ç E = F + Ç 13 = 27 – 14 F = E - Ç F = E - Ç 14 = 27 - 13 Ç = E - F + Ç = E - F ? ? E+F+Ç= 2 . E E+Ç-F=2. Ç E+F-Ç=2. F Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

2.BÖLME İŞLEMİNDE KULLANILAN DENKLEMLER Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

DEKLEM KURMAK / EŞİTLİK KURMAK Yukarıdaki terazide ? yerine kaç kg koyalım ki terazi dengeye gelsin? Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

Terazideki ilk durumu ve son durumu matematik olarak nasıl yarsınız? 5 + x = 10 İlk durum : Son durum : 5 + 5 = 10 Bu çeşit eşitliklere ne isim verelim? BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

4 + x = 13 4 + 9 = 13 Soru. Bu karışıma 3 kg kakao katarsanız. Bu durumu matematik olarak nasıl yazarsınız. 4 + x + 3 = 13 + 3 4 + 9 + 3 = 13 + 3 Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

YAŞ PROBLEMLERİNİ İFADE EDEN DENKLEMLER 1.Problem. Bir babanın yaşı çocuğunun yaşının iki katıdır 10 yıl sonra baba ile çocuğunun yaşları toplamı ne olur? ŞİMDİKİ YAŞLARI 10 YIL SONRAKİ YAŞLARI Çocuğun yaşı x x + 10 Babanın Yaşı 2 . x 2 . x + 10 + 3. x + 20 2.Problem. Bir babanın yaşı çocuğunun yaşının iki katıdır 10 yıl sonra baba ile çocuğunun yaşları toplamı 50 olduğuna göre çocuğun yaşı nedir? Baba ile çocuğun 3 yıl sonraki yaşları toplamı 3 . x +20 dır Baba ile çocuğun 3 yıl sonraki yaşları toplamı 50 dır. O halde, 3 . x +20 = 50 denklemi yazılır. Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

O halde, 3 . x +20 = 50 denklemi yazılır. Çocuğun şimdiki yaşı 10 Çocuğun iki yıl sonraki yaşı 10 + 2 = 12 dır Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

3. Problem. Ali ile Metin’in yaşları toplamı 21 dır 3.Problem. Ali ile Metin’in yaşları toplamı 21 dır. Ali’nin yaşı Metin’in yaşının 2 katıdır. Ali kaç yaşındadır? Çözüm. Ali’nin yaşı Metin’nin yaşı x 2. x + = 21 x + 2 . x = 21 x = 7 . Ali 7 yaşında Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

Karşılaştırmak ve sonucu kontrol etmek. 3.Problem. Ali ile Metin’in yaşları toplamı 21 dır. Ali’nin yaşı Metin’in yaşının 2 katıdır. Ali kaç yaşındadır? Ali’nin yaşı Metin’nin yaşı x 2. x 7 yaşında 14 yaşında 7 + 14 = 21 toplam yaşları Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

x x + 2 x - 4 x –4 x x + 2 = 35 x= 11 yaş ORTANCA 4.Problem. Üç kardeşin yaşları toplamı 35 tir. Ortanca küçükten 4 yaş büyük, büyükten ise 2 yaş küçük olduğuna göre küçük kardeşin yaşı nedir? Çözüm. Bu durumda hangi çocuğun yaşını referans alalım? Diğerleri ile karşılaştıralım? KÜÇÜK kardeş ORTANCA kardeş BÜYÜK kardeş - 4 + 2 x x + 2 x - 4 x –4 x x + 2 = 35 + + 3. x –2 = 35 3. x = 33 x= 11 yaş ORTANCA Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

DENEME METODU KULLANILIR Karşılaştırmak ve sonucu kontrol etmek. KÜÇÜK kardeş ORTANCA kardeş BÜYÜK kardeş 7 yaşında 11 yasında 13 yaşında 4 yaş büyük 2 yaş büyük 5.Problem. Bir baba 42, oğlu 12 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı kızının 3 katı olur? KIZI BABA 12 42 DENEME METODU KULLANILIR 13 1 yıl sonra 43 14 2 yıl sonra 44 15 3 yıl sonra 45 45 = 3 . 15 Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

6.Problem. (1991 .DPY) Bir ailede ANNE ile OĞLUNUN yaşları toplamı 70, BABA ile OĞLUNUN yaşları toplamı 80, BABA ile ANNENİN yaşları toplamı 92 ise bu aile fertlerinin yaşları toplamı nedir? Çözüm. ANNE OĞUL BABA Yaşları Toplamı A O B A + O = 70 B + O = 80 B + A = 92 + 2.(A+O+B)= 242 Aile fertlerinin yaşları toplamı A+ O+ B dır A+O+B= 121 Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

KARIŞIM PROBLEMLERİ İÇİN DENKLEM KURMAK 1.Problem. %20 yağlı süte, %5 yağlı süt karıştırılıyor. Karışımı matematik olarak yazınız. Karışım = M1 + M2 Karışıma giren yağ miktarı nasıl yazılır? Her bir maddeden karışıma ne kadar yağ girer? M1 . 0,20 1.Maddeden giren yağ miktarı : 2. Maddeden giren yağ miktarı : M2. 0,05 Karışıma giren toplam yağ : M1. 0,20 + M2. 0,05 Karışımın(M1+M2 ) yağ yüzdesi (YY) nasıl bulunur? Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

Karışım = M1 + M2 Karışımın yağ yüzdesi = YY olsun. Buna göre, Karışımdaki yağ miktarını nasıl yazarsınız? (M1 + M2) . YY O halde, karışımdaki yağ miktarını kaç türlü yazarsınız? M1. 0,20 + M2. 0,05 ( M1 + M2 ) . YY M1.0,20 + M2. 0,05 ( M1 + M2) . YY = Karışımın yağ yüzdesidir Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

Karışım = M1 + M2 + M3 + + M1 . %Y1 M2. %Y2 M3 . %Y3 2.Problem. Üç madde karıştırılırsa karışımın yağ yüzdesi nasıl bulunur? Karışım = M1 + M2 + M3 Karışıma giren yağ miktarı nasıl yazılır? Her bir maddeden karışıma ne kadar yağ girer? M1 . %Y1 1.Maddeden giren yağ miktarı : 2. Maddeden giren yağ miktarı : M2. %Y2 3. maddeden giren yağ miktarı: M3 . %Y3 + + Karışıma giren yağ : M1.%Y1 M2.%Y2 M3.%Y3 Karışımın ( M1+M2+M3) Yağ yüzdesi (YY) nasıl bulunur? Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

Karışım = M1 + M2 + M3 = + ( M1+M2+M3).YY M1.%Y1 M2.%Y2+M3*%Y3 Karışımın yağ yüzdesi = YY olsun. Buna göre, Karışımdaki yağ miktarını nasıl yazarsınız? (M1 + M2+M3) . YY O halde, karışımdaki yağ miktarını kaç türlü yazarsınız? = ( M1+M2+M3).YY M1.%Y1 + M2.%Y2+M3*%Y3 M1.%Y1+ M2.%Y2+M3.%Y3 = ( M1 + M2+M3) . YY Karışımın yağ yüzdesidir. Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

1.Karışımın bilinmeyen 1 kg fiyatı x TL olsun 3.Problem. Bakkal kilogramı 1500 TL olan 6 kg pirinçle, kilogramı 3000 TL olan 4 kg pirinci karıştırıyor. Karışımın 1 kilogramı kaç lira olur? Çözüm. 1.Karışımın bilinmeyen 1 kg fiyatı x TL olsun 2.Karışımın toplam fiyatı kaç türlü yazılır? 1500.6 +3000.4 = ( 6 + 4 ) . x 9000 + 12000 = 10 . x 21000 = 10 . x 2100 = x Sonuç. Karışımın 1 kilogramı 2100 TL olur. Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

4. Problem. %15 yağlı 30 kg süte, % 7 yağlı 20 kg süt katılıyor 4.Problem. %15 yağlı 30 kg süte, % 7 yağlı 20 kg süt katılıyor. Karışımın yağ yüzdesi ne olur? Çözüm. 1.Karışımın bilinmeyen yağ yüzdesi Y olsun 2.Karışımdaki yağ miktarını kaç türlü yazarsınız? = 30 . 0,15 + 20 . 0,07 (30 + 20) . Y 4,5 + 1,4 = 50. Y KONTROL 5,9 = 50. Y 5,9 = 50. 118 / 1000 5,9/ 50 = Y Karışımdaki yağ miktarı 0,118 = Y= % 11,8 Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

HAREKET PROBLEMLERİ İÇİN DENKLEM KURMAK Bir cismin birim zamanda (1 saat, 1 dakika, 1 saniye) aldığı yola HIZ denir ve V ile gösterilir. Bir araba 1 saatte 50 km yol alıyorsa 2 saate 100 km yol alır. O halde, (YOL= HIZ . ZAMAN) denklemi yazılır. 1. Problem. 1990.KLJ. Saatteki hızları 10 ve 14 km olan iki bisikletli, A şehrinden 70 km uzaktaki B şehrine gidecektir.Her ikisinin de B şehrine aynı anda varmaları için hızı yavaş olan bisikletli kaç saat önce yola çıkmalıdır? 1. Yavaş bisiklet , 70 = 10 . Z1 Z1= 7 saatte alır 2. Hızlı bisiklet , 70 = 14 . Z2 Z1= 5 saatte alır 3. Yavaş olan bisiklet, 7-5 = 2 saat önce yola çıkmalıdır. Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

KAR ve ZARAR İÇİN DENKLEM KURMAK Önce bu konu ile ilgili kavramları öğrenelim. ALIŞ FİYATI, MAL OLUŞ FİYATI ,SATIŞ FİYATI, KAR, ZARAR ALIŞ FİYATI:Üreticiden, fabrikadan veya imalathaneden alınan mal için ödenen ilk fiyata ALIŞ FİYATI denir. MAL OLUŞ FİYATI= ALIŞ FİYATI + MASRAF SATIŞ FİYATI= MAL OLUŞ FİYATI + KAR+ KDV KAR= SATIŞ FİYATI - ALIŞ FİYATI ZARAR= ALIŞ FİYATI - SATIŞ FİYATI Uygulamalardaki denklemleri dikkatle izleyiniz. Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

Uygulama. 600 000 TL ye alınan bir mal, dükkana getirilinceye kadar %3 masraf yapılıyor. Bu malı %35 kar ile satarsak kaç lira kar elde ederiz? Çözüm. KAR Alış Fiyatı Mal Oluş Fiyatı Satış Fiyatı 600 000 618 000 + 618 000 . 0,35 = 834.300 834.000 - 600 000 . 0,35 = 234.300 600 000 + 600 000 . 0,03 = 618.000 Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

TOPLAM KAR= SATIŞ FİYATI - MAL OLUŞ FİYATI Uygulama. Bir bakkal yumurtaların tanesini 190 TL den alıp 250 TL den satıyor. Satıştan 42000 TL KAR elde ettiğine göre kaç yumurta satmıştır? Çözüm. Alış Fiyatı Mal Oluş Fiyatı Satış Fiyatı KAR 250-190=60TL 190 TL 250 TL 190 TL TOPLAM KAR= SATIŞ FİYATI - MAL OLUŞ FİYATI 42000 = 250 . Y - 190 . Y Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

240 TY ye alınan mal 300 TL ye satılırsa yüzde kaç kar elde edilir? Uygulama. 240 TY ye alınan mal 300 TL ye satılırsa yüzde kaç kar elde edilir? Çözüm. Alış Fiyatı Mal Oluş Fiyatı Satış Fiyatı KAR 240 300 Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

FAİZ. Anaparanın belirli bir zaman içindeki faiz yüzdesidir. FAİZ DENKLEMLERİ FAİZ. Paranın belli bir zaman ve belli bir yüzde payı ile kiralanmasıdır. FAİZ. Anaparanın belirli bir zaman içindeki faiz yüzdesidir. Anapara, yıllık, aylık ve günlük yüzde kar ile kiralanabilir. A=Anapara/Kapital t =Yüzde oranı( Faiz yüzdesi n = Süre(Yıl, ay, gün sayısı) F = Faiz miktarı Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

YILLIK FAİZ. Anaparanın 1 yıl sonundaki faiz yüzdesidir. 1 yıllık faiz (F)= A ( ) . . 2 2 yıllık faiz (F)= A ( ) . . 3 3 yıllık faiz (F)= A ( ) . . n n yıllık faiz (F)= A A . t . n F yıl = 100 Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

AYLIK FAİZ. Anaparanın 1 ay sonundaki faiz yüzdesidir. Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

( ) ( ) ( ) 1 aylık faiz (F)= A . . 1 2 aylık faiz (F)= A . . 2 ( ) 1 aylık faiz (F)= A . . 1 ( ) 2 aylık faiz (F)= A . . 2 ( ) n aylık faiz (F)= A . . n Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

GÜNLÜK FAİZ. Anaparanın 1 gün sonundaki faiz yüzdesidir. 1 Günlük faiz, Yıllık faizin kaçta kaçıdır? Sizde, benzer şekilde n günlük faiz için bir kural, formül bulunuz. Problem. 5,000,000 TL %85 yıllık faiz ile bankaya yatırılıyor. 1 yıllık faizi 3 aylık faizi 60 günlük faizi hesaplayınız. Ezberci eğitim ile anlamlı / oluşturmacı öğrenme arasındaki farkı sezdiniz mi? Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

Çözüm. 1 yıllık faiz. F= A . t / 100 F= 500,000 85/100 F= 425,000 TL.faiz getirir. 3 aylık faiz. F= A . t / 1200 . 3 F= 500,000 85/1200 .3 F= 106,250 TL.faiz getirir. Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org

60 günlük faiz. F= A . t / 36,000 . 60 F= 500,000 85/36,000 .60 F= 70,833 TL. faiz getirir. Bileşik faiz: Bir yıl sonundaki faizi anaparanın üzerine koyup yeniden faize yatırmak demektir. Prof. Dr Halil ARDAHAN www.matematikci.org