Yöneylem Araştırması ve Endüstri Mühendisliği 30. Ulusal Kongresi En İ yi Kararın Zaman Cinsinden De ğ erinin Modellenmesi Bekir Turgut İ şlier, Aybek Korugan, Ali Tamer Ünal 1 Temmuz 2010, Sabancı Üniversitesi

En İ yi Kararın Zaman Cinsinden De ğ eri  En iyi karar de ğ erlidir.  Fakat zaman da de ğ erlidir.  En iyi kararı bulmak için ne kadar zaman harcamaya de ğ er?  İ ki ilkenin karşılaştırılması: ◦ Çizelgelemeye harcanan zamandan tasarruf etmek için ilk gelen önce ilkesiyle çalışmak. ◦ Zaman harcama pahasına en iyi çizelgeyi aramak.

Sistem  Çizelgeleme ile zaman arasındaki ödünleşimi incelemek için basit bir sistem tasarlandı.  Sistem dört parçadan oluşmaktadır. Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

Birinci Kuyruk  Sisteme varışlar bir Poisson da ğ ılımı takip eder.  E ğ er çizelgeleyici meşgul ise sisteme varan ürünler bu kuyru ğ a yerleştirilir.  Ürünler, çizelgeleyici müsait hale gelinceye kadar burada bekler. Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

Birinci Kuyruk (gösterim) 2 0 XX2 2 XX2 1 XX Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

Birinci Kuyruk (gösterim) 2 0 XX0 2 XX Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

Çizelgeleyici  Çizelgeleyicinin görevi, ürünlerin hangi sırada işlenece ğ ine karar vermektir.  Çizelgeleme süresi üstel bir rassal de ğ işkendir.  Çizelgeleme süresi, ürün sayısından ba ğ ımsızdır.  Çizelgeleme sırasında, önceden çizelgelenmiş olup da işlenmek için bekleyen ürünler de hesaba katılır. Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

İ kinci Kuyruk  E ğ er işlemci meşgul ise, çizelgelenen ürünler buraya yerleştirilir.  İ kinci kuyruktaki ürünler de çizelgeleme sırasında hesaba katılmaktadır. Ancak, işlemci işini bitirdi ğ inde, buradan bir ürün alma hakkına sahiptir. Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

İ kinci kuyruk (gösterim) Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

 Ürünün asıl olarak işlendi ğ i yer işlemcidir.  Aynı anda tek bir ürün işleyebilir.  İ şlem süresi üstel bir rassal de ğ işkendir. Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

İ şlemci (gösterim) Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

İ şlemci (gösterim) Birinci Kuyruk Çizelgeleyici İ kinci Kuyruk İ şlemci

Birinci Durum  İ lk gelen önce.  Çizelgeleme için ayrılan süre az.  İ şlemcinin ortalama işlem süresi sabit.

İ kinci Durum  Çizelgeleyici, işlenecek ürünleri en iyi şekilde sıralar. =>Çizelgeleme süresi uzundur.  Çizelgelenmiş olan ürün sayısı arttıkça işlemcinin ortalama hızı da artar.  (x 2 +p) α µ ikinci durum için işlem hızıdır. ◦ x 2 +p : Çizelgelenmiş olan ürün sayısı, ◦ µ : Baz işlem hızı, ◦ α : Kararın etkisi( 0≤ α ≤1 ).

Modelleme ve Çözüm  Sistem, ayrık durumlu, sürekli zamanlı bir Markov zinciri olarak modellenmiştir.  Sistem durumu (x 1, s, x 2, p) ile gösterilmektedir. ◦ x 1 :Birinci kuyruktaki ürün sayısı, ◦ s : Çizelgeleyicideki ürün sayısı, ◦ x 2 : İ kinci kuyruktaki ürün sayısı, ◦ p : İ şlemcideki ürün sayısı.  Performans ölçütü olarak, sistemde harcanan ortalama süre kullanılmıştır.  Sistem kapasitesi sınırlı oldu ğ undan, etkili varış hızı esas alınmıştır.  Sistemde harcanan ortalama sürenin bulunması için, denge denklemleri kullanılarak kararlı durum olasılıkları hesaplanmıştır.

İ ki Durumun Karşılaştırılması  İ ki durumun göreli performanslarının, kapasite, varış hızı ve karar kalitesine göre nasıl de ğ işti ğ i incelenmiştir.  Kapasite; birinci kuyruk, çizelgeleyici ve ikinci kuyru ğ a yerleştirilebilecek toplam ürün sayısı olarak tanımlanmıştır.  Kararın etkisi, çizelgelemenin işlemi ne kadar hızlandırdı ğ ının bir ölçüsüdür.

İ ki Durumun Karşılaştırılması (devam)  Belirli kapasite ve varış hızı için, birinci durumda sistemde harcanan ortalama süre bulunur.  Daha sonra, ikinci durumda aynı parametreler ve belirli bir karar etkisi de ğ eri ile aynı ortalama süreyi veren karar hızı bulunur. Bu işlem, farklı karar etkisi de ğ erleri için tekrarlanır.  Karşılaştırmada d 1 / d 2 oranı temel alınır. (d 1 ve d 2, birinci ve ikinci durumlar için karar hızlarıdır.)

Sayısal Analiz(1)  Varış hızı arttıkça çizelgelemeden sa ğ lanan fayda azalarak artmaktadır. α = 1 iken d 1 /d 2 oranı. μ 2μ2μ 10 μ K = K= K= K = K= K = K = K=

Sayısal Analiz(2)  Kapasite arttıkça çizelgelemeden sa ğ lanan fayda do ğ rusal olarak artmaktadır. α = 1 iken d 1 /d 2 oranı. μ 2μ2μ 10 μ K = K= K= K = K= K = K = K=

Sayısal Analiz(3)  Kararın etkisi azaldıkça, çizelgelemeden sa ğ lanan fayda azalır.  Dolayısıyla, çizelgelemeye ayrılabilecek zaman da azalır. α = 1 iken d 1 /d 2 oranı. α = 0,7 iken d 1 /d 2 oranı. μ 2μ2μ 10 μ K = K= K= K = K= K = K = K= μ 2μ2μ 10 μ K = K= K= K = K= K = K = K=

Sonuçlar  En iyi karar ile bu kararı bulmak için harcanan süre arasında önemli bir ödünleşim vardır.  En iyi kararın hak etti ğ i süre, sistemdeki ürün sayısına göre de ğ işir.  Sistemdeki ürün sayısı çok oldu ğ unda, en iyi kararı bulmak için harcanabilecek süre de yüksek olur.  Bir karar, en iyi karardan ne kadar uzak ise faydası, dolayısıyla hak etti ğ i süre de o kadar düşük olur.

İ lginiz için teşekkürler…