END3061 SİSTEM ANALİZİ VE MÜHENDİSLİĞİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİNDE MODEL KULLANIMI

Kavramlar Model: Meydana getirilecek yeni sistemin veya analiz edilecek mevcut sistemin bir temsili örneği Model üzerinde yapılan incelemeler, sistemin kendisi üzerinde yapılacak düzenlemelere göre daha kısa sürede ve daha düşük maliyetle gerekli tasarım veya işletim kararlarının verilmesini sağlar.

Modellerin Sınıflanması Fiziksel Modeller: Belli bir ölçekle gerçek sistemin geometrik eşdeğeri. Örnekler: dünyanın küre modeli, güneş sistemi modeli, atomun yapısal modeli, iş yeri düzenlemedeki makina modelleri. Analog Modeller: Davranışı açısından bir sistemi temsil eden modeller. Örnekler: mekanik, hidrolik ve hatta ekonomik sistemleri temsil eden elektrik devreleri. Şematik modeller: Bir durum veya olayın şema ya da diyagrama indirgenmesi. Örnekler: futbol maçının analizinde kullanılan çizimler, organizasyon şeması, üretimi temsil eden iş akış şeması. Matematiksel modeller: Sistemlerin matematiksel dille tanımlanması ve açıklanması. Örnekler: Newton’un hareket yasaları, Ohm yasası, doğrusal programlama. Bir değerlendirme ölçüsü belirlendiğinde çeşitli seçeneklerin sonuçları tahmin edilebilir.

Modeller ve Dolaylı Deneyler Doğrudan deneyler: Nesne, durum veya olay değişikliğe açıktır ve sonuçlar gözlenebilir. Oturma odasındaki mobilyaların yerleşimini değiştirerek en iyi yerleşimi bulma, uçak test modeli. Dolaylı deneyler (benzetim): Sistem yerine bir modeli üzerinde denemeler yaparak belli bir performans ölçütünün ekonomik olarak en iyilenmesini sağlama.

Tasarım ve İşletimde Modeller Tasarım ve işletimde model kullanılması, modellerin karar noktasına kadar belli ölçüde karar vericinin yerini alması nedeniyledir. Bir matematiksel karar modeli kurarken, sistemin performans ve maliyetiyle ilişkili tüm bileşenler dikkate alınmalıdır. Modeller, incelenen sistemin belli ölçüde soyutlanmasından oluşur. Bu nedenle modeller, bileşenlerin işlemsel özellikleri, insanların davranışı ve çevrenin yapısı hakkında varsayımlar içerir. Model ve “gerçek dünya” arasındaki uyumsuzluğu gidermek için modelde değişiklik yapmak gerekir. Modelin verdiği sonuçları ölçerek gerçek sistemle kıyaslama ve gereken değişiklikleri yapma sürecine “geçerleme” (validation) adı verilir.

Karar Değerlendirme Teorisi Değerlendirme ölçüsü Ürün Kullanımı, Aşınma ve Elden Çıkarma Üretim ve/veya İnşaat Ayrıntılı Tasarım ve Geliştirme Kavramsal- Hazırlık Tasarımı Tasarım İşletim E = f (X, Yd, Yi) Tasarım değişkenleri Tasarıma bağımlı parametreler Tasarımdan bağımsız parametreler E = f (X, Y) Karar değişkenleri Sistem parametreleri

Parametre ve Değişken Kavramı Tasarıma bağımlı parametreler (Yd): Geliştirme sürecindeki uzmanlık alanlarınca etkilenebilen ve tasarımcının kontrolu altındaki etmenlerdir. Tasarıma bağımlı parametrelerin aldığı özel değerler özgün bir tasarımı belirler. Örnekler, güvenilirlik, üretilebilirlik, bakım kolaylığı, en yüksek hıza erişme süresi, çıktı. Tasarımdan bağımsız parametreler (Yi): Tasarımcının kontrolu altında olmasa da tasarım seçeneklerinin etkililiğini ve dolayısıyla kalitesini belirleyen unsurlardır Örnekler, işgücü ücretleri, malzeme maliyetleri, enerji maliyeti, enflasyon ve faiz oranı vb. Tasarım değişkenleri (X): Tasarım en iyileme uzayını tanımlayan etmenlerdir. Her aday sistem diğer seçeneklerle kıyaslanmadan önce tasarım değişkenleri kümesi üzerinde en iyilenir. Bu yolla özdeşlikleri garanti edilmiş olur.

Karar Değerlendirme Matrisi Bir sonlu seçenekler kümesi ile sonlu bir olası gelecek durum (ortam durumu) kümesi arasındaki etkileşimi ifade eder. Seçenekler, bir karar vericinin seçmesi olası eylemlerdir. Ortam durumları, karar vericinin doğrudan kontrolu altında olmayan bir dizi gelecek sonucu ifade eder. Pj Fj Ai P1 F1 P2 F2 ... Fn A1 E11 E12 E1n A2 E21 E22 E2n Am Em1 Em2 Emn Pn Karar değerlendirme matrisi

Karar Değerlendirme Matrisi Ai: Karar vericinin seçimine açık bir seçenek, i= 1,...,m Fj: Karar vericinin denetiminde olmayan bir gelecek durum, j = 1, ..., n. Pj: j. durumun meydana gelme olasılığı, j= 1, ..., n. Eij: i. seçenek ve j. durumun karşılaşması halinde oluşan değerlendirme ölçüsü (pozitif veya negatif). Pj Fj Ai P1 F1 P2 F2 ... Fn A1 E11 E12 E1n A2 E21 E22 E2n Am Em1 Em2 Emn Karar değerlendirme matrisi

Karar değerlendirme matrisindeki varsayımlar: Bir durumun meydana gelmesi diğer durumların meydana gelmesini önler (durumlar karşılıklı bağımsızdır). Belli bir durumun meydana gelmesi tercih edilen seçenekten bağımsızdır. Belli bir durumun meydana gelişi kesinlikle önceden belli değildir.

Belirlilik Altında Karar Verme Fj Ai F1 A1 E1 A2 E2 ... Am Em Maliyet durumu için: Mini {Ei}, i = 1, 2, ..., m Kâr durumu için: Maxi {Ei}, i = 1, 2, ..., m Karar değerlendirme vektörü

Risk/Belirsizlik Altında Karar Verme Gelecek durumlara ilişkin belli olasılık atamaları yapılabildiğinde “risk altında” karar verme durumu ile karşılaşılmış olur. Bir karar probleminde gelecek durumlara olasılık atanması uygun veya mümkün olmayabilir. Bu tür problemler “belirsizlik altında” karar vermeyi gerektirir.

Risk Altında Karar Verme Örnek: Bir bilgisayar firması, belediyenin açtığı bilgisayar ihalelerine girecek olsun. Belediye, merkez ve çevre birimleri için ayrı ihaleler açmıştır: C1: Merkez bina bilgisayar donanım ve yazılım ihalesi. C2: Çevre birimleri bilgisayar donanım ve yazılım ihalesi. Firmanın ya C1 ihalesini, ya C2 ihalesini ya da hem C1 ve hem de C2 ihalesini kazanması olasıdır. Firma bu olası durumlara karşılık aşağıdaki beş stratejiyi geliştirmiştir: Donanım işini taşerona yaptır, yazılım işini kendin yap. Yazılım işini taşerona yaptır, donanım işini kendin yap. Hem donanım hem de yazılım işini kendin yap. Donanım ve yazılım işlerinde ortak bir firmayla teklif ver. Tüm donanım ve yazılım işlerini taşerona yaptır, yalnızca proje yöneticisi olarak çalış.

Karar değerlendirme matrisi (Kâr) (x 1000 YTL) Olasılık: Durum: Seçenek (0.30) C1 (0.20) C2 (0.50) C1 + C2 A1 100 400 A2 -200 150 600 A3 200 500 A4 300 A5 -400 Baskın olmayan seçenek

İndirgenmiş karar değerlendirme matrisi Hedef Düzey Ölçütü İndirgenmiş karar değerlendirme matrisi (Kâr) (x 1000 YTL) Kâr için bir alt sınır, maliyet için bir üst sınır konulması sözkonusu olabilir. Risk altında karar vermede konulan hedef düzeyi sağlama olasılığı en yüksek olan seçenek tercih edilir. Örnek için, kârın en az 400.000 YTL, zararın en fazla 100.000 YTL olması beklenirse, A1, A2 ve A3 seçenekleri kâr testini geçerken A2 seçeneği zarar testini geçemez. Seçim, A1 ve A3 arasında yapılabilir. Olasılık: Durum: Seçenek (0.30) C1 (0.20) C2 (0.50) C1 + C2 A1 100 400 A2 -200 150 600 A3 200 500 A4 300

En Olası Gelecek Ölçütü En yüksek olasılığa gelecek durum altında en yüksek kazancı sağlayan seçenek tercih edilir. Örnek problemde, en yüksek olasılık olan 0.50 için (C1+C2), en yüksek kazancı sağlayacağı için A2 seçilir.

Beklenen Değer Ölçütü Beklenen kârın en büyüklenmesi veya beklenen kaybın en küçüklenmesi sağlanmaya çalışılır. A1: 100*(0.30) + 100*(0.2) + 400*(0.5) = 250 A2: -200*(0.30) + 150*(0.2) + 600*(0.5) = 270 A3: 0*(0.30) + 200*(0.2) + 500*(0.5) = 290 A4: 100*(0.30) + 300*(0.2) + 200*(0.5) = 190

Belirsizlik Altında Karar Verme Laplace Ölçütü “Olasılıklar belli değildir, ancak eşit olmadıklarını da söyleyemeyiz.” Seçenek Ortalama Kazanç A1 (100+100+400)/3 = 200 A2 (-200+150+600)/3 = 183 A3 (0+200+500)/3 = 233 A4 (100+300+200)/3 = 200

Maximin Ölçütü Maximin: En kötümser bakış açısını temsil eder. En kötü olasılıklar içinde en iyisini seçmeye çalışır. max i {min j Eij} Seçenek min j {Eij} A1 100 A2 -200 A3 A4 Seçenek min j {Eij} A1 100 A2 -200 A3 A4

Maximax Ölçütü Maximax: En iyimser bakış açısını temsil eder. En iyi seçenekler arasından en iyisini seçmeye çalışır. max i {max j Eij} Seçenek max j {Eij} A1 400 A2 600 A3 500 A4 300

 [max j Eij] + (1 - ) [min j Eij] Hurwicz Ölçütü İyimserlik ve kötümserlik arasında bir denge kurmak için maxi { [max j Eij] + (1 - ) [min j Eij]}, 0    1 Örnekte,  = 0.2 için Seçenek  [max j Eij] + (1 - ) [min j Eij] A1 0.2 (400) + 0.8 (100) = 160 A2 0.2 (600) + 0.8 (-200) = -40 A3 0.2 (500) + 0.8 (0) = 100 A4 0.2 (300) + 0.8 (100) = 140

Değişen  değerleri için Hurwicz ölçütü diyagramı 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 A1 A4 A2 A3 600 400 200 -200  Değişen  değerleri için Hurwicz ölçütü diyagramı

Kararların Karşılaştırılması Laplace ölçütü: A3 Maximin ölçütü: A1 veya A4 Maximax ölçütü: A2 Hurwicz ölçütü ( = 0.2): A1

Çok Ölçütlü Karar Verme Ekonomiklik Sistem etkinliği Yaşam çevrimi maliyeti Kullanıma uygunluk Güvenilebilirlik Performans Tasarım özellikleri Lojistik destek bileşenleri Araştırma ve geliştirme maliyeti Yatırım maliyeti İşletim ve bakım maliyeti Sistemi elden çıkarma maliyeti

Genel karar değerlendirme gösterimi Eşdeğer Kâr veya Maliyet Diğer Ölçütler X Y Z Seçenekler A B C Y X Z Ölçüt eşikleri Tahmini değerler

Ekonomik Değerlendirme Modelleri S: Sorunsuz Çalışma İ: İlk maliyet (YTL*10.000) 200.000 YTL 214.000 YTL Toplam Maliyet Otomatik Yarı Otomatik Donanım Donanım İ  15 S  Y İ 17 16 15 14 13 S S İ ÇY Y O D ÇD Çok ölçütlü değerlendirme şeması

Çoklu Gelecek Durum Karşısında Çoklu Seçeneklerin Değerlendirilmesi: Bir Örnek 3 yıllık takım tezgahı üretimi için beklenen harcamalar ve gelirler Talep düzeyi İlk yatırım maliyeti Yıllık gelir Düşük 500 YTL 400 YTL Orta 1.300 700 Yüksek 2.000 900 Üretimin finansmanı için beklenen faiz oranları Finansman kaynağı Talep düzeyi Faiz oranı A Düşük 15 Orta 13 Yüksek 7 B 14 12 8 C 11 6

Üç finansman kaynağı için kazançların net şimdiki değeri Belli bir finansman kaynağından yararlanarak çeşitli talep düzeylerinde elde edilen kazancın net şimdiki değeri: NŞD(15)= - 500 + 400 (2,2832)= 413 YTL (P/A; % 15; 3) Üç finansman kaynağı için kazançların net şimdiki değeri Talep Düzeyi Kaynak Düşük Orta Yüksek A 413 YTL 353 YTL 362 YTL B 429 382 320 C 343 411 406

Eğer her bir talep durumu için belli bir olasılık değeri atanabilirse, risk altında karar verme sözkonusudur. Düşük talep olasılığı 0.30, orta düzey talep olasılığı 0.20 ve yüksek talep olasılığı 0.50 ise her bir finans kaynağının sağlayacağı kazancın beklenen net şimdiki değeri aşağıdaki gibi hesaplanır: Kaynak A: 413(0.3) + 353(0.2) + 362(0.5) = 376 YTL Kaynak B: 429(0.3) + 382(0.2) + 320(0.5) = 365 YTL Kaynak C: 343(0.3) + 411(0.2) + 406(0.5) = 388 YTL

Eğer talep düzeylerine olasılık atanması mümkün değilse, belirsizlik altında karar verme sözkonusudur. Laplace ölçütü ile, Kaynak A: (413 + 353 + 362) / 3 = 376 YTL Kaynak B: (429 + 382 + 320) / 3 = 377 YTL Kaynak A: (343 + 411 + 406) / 3 = 386 YTL Maksimin kuralı ile, Kaynak A: 353 YTL Kaynak B: 320 YTL Kaynak C: 343 YTL

Maksimaks kuralı ile, Kaynak A: 413 YTL Kaynak B: 429 YTL Kaynak C: 411 YTL Finansman Kaynağı Karar kuralı A B C Beklenen değer X Laplace Maksimin Maksimaks ÖZET

Başabaş Noktası Değerlendirmeleri 1) Yap-Satın Al Kararları Örnek: Bir satıcıdan tanesi 8 YTL’ye alınabilecek bir parçanın üretimi için yıllık sabit maliyeti 12.000 YTL olan bir tesis kurmak gerekmektedir. Kurulacak tesiste üretilecek parçanın birim maliyeti 4 YTL olacaktır. İki seçeneğin denk olmasını sağlayan yıllık parça miktarı (N)? TM(Yap) = 12.000 + 4N TM(Satın al) = 8N Başabaş noktasında: TM(Yap) = TM(Satın al) 12.000 + 4N = 8N N = 3000 adet

2) Kirala-Satın Al Kararları Örnek: Bakım maliyeti dahil günlük kirası 50 YTL olan bir donanımın satın alma maliyeti 15.000 YTL’dir. Donanımın yararlı ömrü 10 yıl olarak tahmin edilmektedir. Yararlı ömrü sonunda herhangi bir değer ifade etmeyecek olan donanımın yıllık bakım maliyeti 2.000 YTL’dir. Donanımın günlük işletim maliyeti (işçilik+enerji+...) 50 YTL ise, iki seçeneğin denk olması için donanım bir yıl içinde kaç gün kullanılmalıdır? (Paranın zaman değeri dikkate alınmayacaktır.) TM(Kirala) = (50+50)N = 100N TM(Satın al) = (15.000)/10 + 2.000 + 50N = 3.500 + 50N Başabaş noktasında: TM(Kirala) = TM(Satın al) 100N = 3.500 + 50N 50N = 3.500 N = 70 gün

3) Donanım seçim değerlendirmesi Örnek: TM(A) = 50.000 + 85N TM(B) = 17.500 + 140N Başabaş noktasında: TM(A) = TM(B) 50.000 + 85N = 17.500 + 140N 55N = 32.500 N=591 birim 4) Kârlılık değerlendirmesi TM = 27.000 + 21N TG = 30N Başabaş noktasında: TM = TG 27.000 + 21N = 30N 9N = 27.000 N = 3000 adet