Bölüm 4 Paranın Zaman Değeri Faiz: Paranın maliyeti Ekonomik Eşdeğerlik Faiz Formülleri Özel Eşdeğerlik Hesaplamaları

Örnek Karar Problemi 1987 yılında $1.3 milyon bir piyango ikramiyesi kazanmış olalım. İkramiye 20 yılda $65,277 eşit taksitlerde ödenecektir. 1995 yılında geriye kalan 9 yıllık ödemenin her yıl yarısına karşılık($32,639) bir defada $140,000 toplu ödeme tercihi önümüze sunulmuş olsun. Bu tercih seçilmeli midir?

Tercihlerin Değerlendirilmesi $140,000 toplu ödeme (şimdi)

Neleri Bilmememiz Gerekiyor? Bu tür karşılaştırmalar yapabilmek için, paranın değerini farklı zaman noktalarında karşılaştırabilmemiz gerekir. Bunun için, para giriş ve çıkışlarını tek bir zaman noktasında değerlendirmemiz gerekmektedir.

Paranın Zaman Değeri Paranın zaman değeri vardır, çünkü para zaman içerisinde daha fazla para kazandırabilir(kazanma gücü). Paranın zaman değeri faiz oranı cinsinden ölçülür. Faiz paranın maliyetidir. Borç alan için maliyet, borç veren için ise kazanç tır.

Geri Ödeme Planları Yıl Sonu Borç Ödemeler Plan 1 Plan 2 Yıl 0 $20,000.00 $200.00 Yıl 1 5,141.85 Yıl 2 Yıl 3 Yıl 4 Yıl 5 30,772.48 P = $20,000, A = $5,141.85, F = $30,772.48

Nakit Akışı Diyagramı

Faiz Hesaplama Yöntemleri Basit faiz: sadece başlangıçtaki ana paraya faiz uygulanması Birleşik faiz: başlangıçtaki ana paraya ve önceki ödenmemiş birikimli faize faiz uygulanması ÖRNEK $1000 parayı %8 yıllık bileşik faziden bankaya yatırmış olalım. Yıl sonunda kazanılan faiz çekilmeyerek faizin birikmesi düşünülmektedir. Bu şekilde devam edildiğinde 3 yıl sonunda bankadaki para ne kadar olur?

Basit Faiz P = ana para i = faiz oranı N = periyot sayısı Örnek: N = 3 yıl Yıl Sonu Başlangıç Bakiye Faiz Sonuç Bakiye $1,000 1 $80 $1,080 2 $1,160 3 $1,240

Bileşik Faiz P = Ana para i = Faiz oranı N = Vade Örnek: P = $1,000 N = 3 yıl Yıl Başlangıç Bakiye Biriken Faiz Yıl Sonu Bakiye $1,000 1 $80 $1,080 2 $86.40 $1,166.40 3 $93.31 $1,259.71

Basit ve Bileşik Faiz Karşılaştırması

Ekonomik Eşdeğerlik Ekonomik eşdeğerlik, iki nakit akışının aynı ekonomik etkiye sahip olması ve bu yüzden birbiriyle değiştirilebilmesidir. Nakit akışındaki miktarlar ve zamanlar farklı olmasın rağmen, uygun bir faiz oranı iki nakit akışını birbirine eşit yapar.

Eğer P kadar para şimdi N dönem için i faizinden yatırılırsa, N dönem sonra F kadar para elimize geçecektir. N dönem sonraki F kadar para şimdiki P kadar paraya eşdeğer olmaktadır. Para kazanma gücümüz i faiz oranı ile ölçülmektedir. N F P

$20,000 Banka Kredisi Ödeme Planları Geri ödemeler Plan 1 Plan 2 Plan 3 Yıl 1 $5,141.85 $1,800.00 Yıl 2 5,141.85 1,800.00 Yıl 3 Yıl 4 Yıl 5 $30,772.48 21,800.00 Toplam ödeme $25,709.25 $29,000.00 Toplam ödenen faiz $5,709.25 $10,772.48 $9,000.00

Örnek 4.3 Size bugün için P dolar ödeme veya 5 yıl sonunda $3000 ödeme alternatifleri sunulmuş olsun. Şu anda paraya ihtiyacınız olmadığı için size verilen P doları %8 yıllık faizle bankaya yatırmaya karar vermiş olun. Hangi P miktarı sizin için bu iki alternatif ödeme planını eşdeğer yapacaktır?

Örnek 4.3 Eşdeğerlik

İki Nakit Akışının Eşdeğerliği Adım 1: Dönem sayısını belirleyiniz, örn: 5 yıl. Adım 2: Hangi faiz oranını kullanacağınızı belirleyiniz. Adım 3: Eşdeğerlik değerini hesaplayınız. $3,000 $2,042 5

Örnek 4.4 Örnek 4.3’de, 5 yıl sonra $3000 almanın %8 faiz oranı esas alındığında şimdi alınan $2,042 eşdeğer olduğunu hesapladık. Bu iki nakit akışı acaba 3. yılın sonunda da eşdeğer midir?

“Eşdeğer Nakit Akışları Herhangi Bir Zaman Noktasında Eşdeğerdir”

Örnek 4.5 Örnek 4.3’de, 5 yıl sonra $3000 almanın %8 faiz oranı esas alındığında şimdi alınan $2,042 eşdeğer olduğunu hesapladık. Bu iki nakit akışı faiz oranı %10 olsaydı, hala eşdeğer olur muydu? F=$2,042(1+0.10)5 = $3,289

Örnek 4.6 Bir bankadan %10 yıllık faizle 3 yıl vadeli kredi almış olun. Banka iki farklı ödeme opsiyonu sunmaktadır: Her bir yılın faiz ödemesini o yılın sonunda yapma ve ana parayı 2. ve 3. yılın sonunda ödeme Tüm krediyi (faiz ve anapara) 3. yılın sonunda toplu ödeme. Bu durumda, opsiyonlar için ödeme planları: Opsiyonlar Yıl 1 Yıl 2 Yıl 3 Opsiyon 1 $100 $100 $1100 Opsiyon 2 $0 $0 $1331

Örnek 4.6: Çoklu Ödemeli Eşdeğerlik Hesabı

Nakit Akışı Türleri Tek nakit akışı Eş (uniform) ödeme serisi Doğrusal artımlı seri Geometrik artımlı seri Düzensiz ödemeli seri

Örnek 4.7 Eğer $2000 şimdi %10 faizle yatırsanız 8 yıl sonra değeri ne olurdu?

Tek Nakit Çıkışlı Formül Tek ödeme, bileşik faiz, gelecek değer Verilen: İstenen: F N P

Örnek 4.8 5 yıl sonra elimize $1000 geçmiş olsa, %12 yıllık faiz ile bu paranın bugünkü değeri nedir?

Tek Nakit Girişli Formül Tek ödeme, bileşik faiz, şimdiki değer Verilen: İstenen: F N P

Örnek 4.9 Şimdi $10 aldığınız bir hisse senedini 5 yıl sonra $20’dan satmış olun. Bu durumda ortalama yıllık geri dönüş oranı nedir? F=P(1+i)N 20 = 10(1+i)5 i=%14.87

Örnek 4.10 XYZ firmasının 100 adet hisse senedini $60/hisse fiyattan almış olalım. Planımız hisse senedinin değeri iki katına çıktığında elimizden çıkarmaktır. Hisse fiyatının yılda %20 artacağını tahmin edildiğinde, hisseyi satmak için kaç yıl beklememiz gerekir? F=P(1+i)N = P(F/P, i,N) 12,000 = 6,000 (1+0.20)N N=3.80 veya yaklaşık 4 yıl

Örnek 4.11 Yıl 1: Müşteri hizmetleri için bilgisayar ve yazılımları için $25,000 Yıl 2: Mevcut sistemi yükseltmek için $3000 Yıl 3: Harcama yok Yıl 4: Yazılım yükseltmeler için $5,000 4 yıllık harcamaları karşılamak için ne kadar para bankaya yatırılmalıdır (faiz oranı %10)?

Düzensiz Ödeme Serisi

Örnek 4.12 Ünlü bir sporcu 2000 yılında 10 yıllığına $252 milyon değerinde (sözleşme imzalandığında $10 milyon ödeme) bir sözleşme imzalamıştır. Sözleşme ayrıca 2001-2004 yıllarında yıllık $21 milyon ve 2005-2006 yılları arasında $25 milyon ve 2007-2010 yılları arasında $27 milyon maaş öngörmektedir. Sözleşme imzalandığında söz verilen $10 mİlyon 2001-2005 yılları arasında 5 eşit taksitte ödenecektir. Sözleşmenin bugünkü değeri nedir?

Örnek 4.12 Uzun vadeli bir sözleşmenin şimdiki değerinin hesabı

Eşit Ödemeli Seri A 0 1 2 3 4 5 N-1 N F P

Örnek 4.13 Her yıl banka hesabınıza 10 yıl boyunca $3000 yatırmış olun. %10 faiz oranından hesabınızın 10 yıl sonraki değeri ne olur?

Eşit Ödemeli Seri – Bileşik Miktar Faktörü 0 1 2 3 N A Örnek 4.13: Verilen: A = $3,000, N = 10 yıl ve i = %10 İstenen: F Çözüm: F = $3,000(F/A,%10,10) = $47,812.2

Örnek 4.15 Bir baba çocuğuna 5 yıl sonra $5,000 sahip olma hedefine ulaşması için şimdi $500 vermeyi teklif etmektedir. Çocuk ise, kısmi-zamanlı bir işte çalışarak her yıl sonunda hesaba para yatırmak istemektedir. Eğer yıllık faiz %10 ise, her yıl yatırılması gereken para miktarı nedir?

Batan Fon (sinking-fund) Faktörü 0 1 2 3 N A Örnek 4.15: Verilen: F = $5,000, N = 5 yıl ve i = 10% İstenen: A Çözüm: F=500( F/P, %10, 5)= 805.25 A = $5,000-805.25(A/F,%10,5) = $687.1

Örnek 4.16 BioGen, biyoteknoloji alanında çalışna küçük ölçekli bir firmadır. Firma, laboratuvar donanımı almak amacıyla $250,000 kredi almıştır. Kredi yıllık %10 faiz ve 6 yıl eşit ödemeli şeklindedir. Her yıl ödenmesi gerekli kredi taksidi miktarını hesaplayınız?

Sermaye Geri Kazanma Faktörü P 1 2 3 N A Örnek 4.16: Verilen: P = $250,000, N = 6 yıl, i = %10 İstenen: A Çözüm: A = $250,000 (A/P,%10,6) = $57,400

Örnek 4.18 Bölümün başlangıcındaki piyango problemine dönelim. 9 yıl boyunca yılda $32,639 veya şimdi $140,000 toplu ödeme şeklinde iki alternatifin olduğunu hatırlayalım. Eğer parayı %10 faizle bankaya yatırsak doğru bir karar vermiş olur muyuz?

Verilen Şimdiki Değer için Eşit Ödeme Seris P 1 2 3 N A Örnek 4.18: Verilen: A = $32,639, N = 9 yıl ve i = %10 İstenen: P Çözüm: P = $32,639(P/A,%10, 9) = $187,968 > 140,000 toplu para almayla kaybedilen para

Doğrusal Artımlı Seriler P

Kompozit Seri Olarak Gradyant Seriler

Örnek 4.20 Bir tekstil firması 5 yıl ekonomik ömrü olan yeni bir dokuma tezgahı satın almıştır. Mühendisler ilk yıl için bakım maliyetinin $1000 olacağını tahmin etmektedir. Bakım maliyetlerinin tezgahın geri kalan ömründe yılda $250 artacağı beklenmektedir. Bakım maliyetlerinin yıl sonunda oluştuğunu kabul edelim. Firma yıllık %12 faize sahip bir bakım hesabı açtırmak istemektedir. Tezgahın tüm masrafları bu hesaptan karşılanacaktır. Firma bu hesaba başlangıçta ne kadar para yatırmalıdır?

Örnek 4.20 $2,000 $1,750 $1,500 $1,250 $1,000 1 2 3 4 5 P =?

Yöntem 1: $2,000 $1,750 $1,500 $1,250 $1,000 1 2 3 4 5 $1,000(P/F, 12%, 1) = $892.86 $1,250(P/F, 12%, 2) = $996.49 $1,500(P/F, 12%, 3) = $1,067.67 $1,750(P/F, 12%, 4) = $1,112.16 $2,000(P/F, 12%, 5) = $1,134.85 $5,204.03 P =?

Yöntem 2:

Örnek 4.21 Joh ve Barbara iki farklı vadeli hesap açtırmış olsun. Yıllık faiz oranı %10 olsun. John birinci yılın sonunda hesaba $1000 yatırdıktan sonra 5 yıl için takip eden her yıl için yatırdığı para miktarını $300 artırmak istemektedir. Barbara ise 6 yıl boyunca her yıl eşit miktarda para yatırmak istemektedir. İki yatırımın birbirine eşdeğer olaması için Barbara’nın düzenli yatırması gereken para miktarı ne olmalıdır?

Verilen: A1 = $1,000, G=$300, i=%10 ve N=6 İstenen: A A=$1,000+ $300(A/G, %10, 6) =$1,667.08

Örnek 4.22 Bir bankaya %10 faiz oranı ile her yıl para yatırılmak istenmektedir. Birinci yılın sonunda yatırılan para $1200 olup, sonraki 4 yılda yatırılan para miktarı her yıl $200 azalacaktır. 5. yılın sonunda elinizde ne kadar para olur?

Örnek $200 $150 $150 $150 $100 $100 $100 $50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i= 15% P= ?

Örnek 4.25 $300 $300 $300 $100 $100 C C C C = 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 C=? i=%12 P1 = $100(P/A, %12, 2) + $300(P/A, %12, 2) = $743.42 P2 = C(P/A, %12, 5) – C(P/F, %12, 3) P1=P2  C=$256.97

Örnek 4.26 Evli bir çift yeni doğan bebeklerinin üniversite masrafları için bir fon oluşturmayı planlamaktadır. Çift %7 faizle bir fon oluşturabilmektedir. Çocuklarının 18 yaşında üniversiteye başlayacağını düşünerek, üniversite masrafları için 4 yıl boyunca yılda $40,000’lık bir fonun gerektiği tahmin etmektedirler. Çiftin çocukları üniversiteye başlayıncaya kadar her yıl düzenli olarak tasarruf etmeleri gereken parayı hesaplayınız. (İlk paranın çocugun ilk doğum gününde son ödemeninde 18. yaş gününde yapılacağını kabul ediniz. Hesaptan ilk para çekilişi ise, birinci sınıfın başında, başka bir deyişle 18. yaş gününde yapılacaktır.)

Geometrik Gradyant Seriler

Örnek 4.23 Bir medikal cihaz üreticisi cihaz üretiminde basınçlı hava kullanmaktadır. Mevcut basınçlı hava sistemi verimsiz olup, hava kaçaklarına neden olmaktadır. Hava kaçaklarından dolayı, kompressor zamanın %70’in çalışmak durumundadır. Bu durumda, 260 kWh elektrik tüketimi (elektrik fiyatı = $0.05/kWh) olamaktadır.Fabrika günde 24 saat ve yılda 250 gün çalışmaktadır. Mevcut sistem kullanıldığında bir sonraki 5 yıl için kompressörün çalışma süresi %7 oranında artacaktır. Eğer firma eski boruları değiştirmeye karar verirse, yatırım maliyeti $28,570. Bu durumda kompressör günde %23 oranında daha az enerji tüketecektir. Eğer faiz oranı %12 ise, bu yatırımı yapmak ekonomik midir?

Örnek 4.23: Geometrik Gradyant Verilen: g = %7 i = %12 N = 5 yıl A1 = $54,440 İstenen: P

Örnek 4.24 Ahmet, bir bankada emeklilik hesabı açmak istemektedir. Hedef 20 yılın sonunda hesapta $1,000,000 para toplamaktır. Yerel bir banka 20 yıl boyunca %8 yıllık birikimli faiz oranı ile bir hesap açmayı teklif etmektedir. Ahmet, yıllık gelirinin her yıl %6 oranında artacağını tahmi etmektedir. Para yatırma işlem birinci yılın sonunda başlacak ve her yıl yatırılan para miktarı % 6 oranında artırılacaktır. İlk yılda yatırılan para ne olmalıdır?

Örnek 2.4 F= 1,000,000 N=20 yıl i=%9 g=%6 A1=? F=A1(F/A1, g, i, N)