COORDINATE SYSTEMS IN GEODESY Doç.Dr. Ersoy ARSLAN
BÖLÜM 5 KÜRESEL ÜÇGEN VE ÇÖZÜMLERİ 5.1- GİRİŞ Gök küre üzerinde gözlemciyi temsil eden Z zenit noktası, (KGK) Kuzey Gök Kutbu ve bir (S) gök cisminin oluşturduğu küresel üçgene Astronomik ya da Nautik Üçgen denir (Şekil 5.1). Bu üçgenin kenarları, Kuzey Gök Kutbu ile zenit arasında Gök Meridyeni üzerinde (90-), Kuzey Gök Kutbu ile gök cismi arasında Deklinasyon (saat) Dairesi üzerinde (90-), zenit ile gök cismi arasında z = 90-h olmaktadır. Bu üçgenin açıları, Kuzey Gök Kutbunda saat açısı t (veya 24h-t), zenit noktasında azimut a (veya 360-a) ve gök cisminde oluşan ve paralaktik açı olarak adlandırılan q açısıdır.
Şekil : 5.1 - Astronomik üçgen Z KGK S Gök Ekvatoru Gök Ufku GGK N Gök meridyeni 90- 90- z h a q a t Düşey daire Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi Şekil : 5.1 - Astronomik üçgen
Yerküre üzerinde A , B ve Kuzey Kutup (veya Güney Kutup) noktalarının oluşturduğu üçgen bir küresel üçgendir. Bu üçgenin kenarları, küresel coğrafi enlemi A , küresel coğrafi boylamı A olan A noktası ile Kuzey Kutup arasında kalan kenarı meridyen dairesi üzerinde (90-A), enlemi B , boylamı B olan B noktası ile Kuzey Kutup arasında meridyen üzerinde (90-B), A ve B noktaları arasında büyük daire yayı üzerinde SAB dir. Bu üçgenin açıları, Kuzey Kutup noktasında A noktasından ve B noktasından geçen meridyenler arasındaki = B - A boylam farkı; A noktasında, bu noktadan geçen meridyenle A ve B noktalarını birleştiren büyük daire yayı arasındaki açısı (bu açı SAB kenarının azimutudur) ve B noktasında, bu noktadan geçen meridyenle SAB kenarı arasında kalan açısıdır. Bu açı SBA kenarının azimutunun 360 den farkına eşittir.
KK GK 90-B B A B 90-A SAB A B Greenwich A Ekvator Şekil : 5.2 – Yerküre üzerinde A , B ve KK noktalarının oluşturduğu küresel üçgen
Gök küre üzerinde Astronomik üçgen ve yerküre üzerinde iki noktanın ve kuzey kutup (veya güney kutup) noktasının oluşturduğu üçgen bir küresel üçgendir ve bu üçgenin çözümünde Küresel Trigonometri kuralları geçerlidir. Bu nedenle astronomik üçgen çözümlerine geçmeden önce küresel trigonometri ve küresel üçgen ile ilgili bazı tanım ve kavramların bilinmesi gerekmektedir. Bunlar kısaca aşağıda verilmektedir.
5.2- KÜRESEL ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR 5.2.1- Temel Kavramlar a) Bir küre yüzünün, bu kürenin merkezinden geçen bir düzlemle ara kesitine büyük daire denir b) Bir küre yüzünde iki noktayı birleştiren en kısa yol, bu noktalardan geçen ve yarım daireden küçük olan kesimi olarak bir büyük daire yayıdır (Şekil 5.3). O halde bu büyük daire yayının merkez açısı c, her zaman c 180° dir.
Küre yüzünde büyük ve küçük daireler
c) Küre üzerinde iki nokta, bir küre çapının küreyi deldiği iki nokta ise, bu noktaları birleştiren en kısa yol yarım dairedir ve sonsuz sayıdadır. Bu yarım dairelerden ikisinin oluşturduğu şekle “küre dilimi” ya da “ikigen” denir. Küre dilimlerini oluşturan düzlemlerin arasındaki açı a ise, kürenin tüm alanı 4r2 olduğuna göre, bir ikigenin alanı (Şekil 5.4) (5.1) eşitliği ile verilmiştir. Burada r = kürenin yarıçapı, = (Ro derece) dir
d) Kürenin bir büyük dairesine dik olan küre çapının küreyi deldiği noktalar, o büyük dairenin kutuplarıdır. ( Şekil: 5.5).
Küre yüzünde aynı büyük daire üstünde olmayan A, B, C gibi üç noktayı birbirleri ile en kısa yoldan birleştiren büyük daire yaylarının oluşturduğu kapalı şekle “EULER küresel üçgeni” denir.
Bu üç noktayı birleştiren ve merkez açısı 180° den küçük olan büyük daire yayları küresel üçgenin kenarlarıdır. Küresel üçgenin kenarlarını içine alan düzlemler arasındaki açılar, küresel üçgenin açılarıdır. Üçgenin A, B ve C noktalarında iç ve dış açı olmak üzere böyle iki açı vardır. Üçgenin kenarları yarım daire yayından (kenarlara karşılık merkez açıları 180° den) büyük olamayacağına göre, bir küresel üçgenin iç açıları da 180°den büyük olamaz. Bu durumda Euler üçgeni, kenarları yarım daire yayından küçük ve iç açıları 180° den küçük olan küresel üçgendir. Bundan böyle, küresel üçgen denince Euler üçgeni kastedilmiş olacaktır. (Şekil : 5.6).
Bir küresel üçgenin kenarları, her kenarın merkez açısı büyüklüğü ile, açı cinsinden ifade edilir. Bir kenar açı derecesi cinsinden verilmiş olup uzunluk biriminde ifade edilmek istenirse, ve (5.2) den (5.3) eşitliği ile bulunur. Üçgen kenarı uzunluk biriminden verilmişse, (5.3) den (5.4) ile açı derecesi cinsinden elde edilir. Açı, grad cinsinden ifade ediliyorsa, (5.5) olur. Burada (Ro grad) dır. (5.6)
f) Bir küresel üçgenin A, B ve C noktalarından geçen küre çaplarının uzantılarının küreyi deldiği noktalarla ikinci bir A', B', C' üçgeni meydana gelir. Bu üçgene A, B, C üçgeninin “taban üçgeni” denir ve bu iki üçgenin küre simetrili açı ve kenarları birbirlerine eşittir. Böylece alanları da birbirlerine eşit olacaktır (Şekil : 5.7).
Bir küresel üçgenin alanı: (Şekil : 5.7 den), ABC üçgeninin alanı F ve (5.2) ile (5.7) elde edilir. Küresel Fazlalık (Ekses) adını alır. Böylece (5.8) ve olur.
Bu açıklamalara göre bir EULER üçgeninde: Üçgen açıları, , , 180 ve 3x180 = 540 ile ++ 540 olur. O halde (8) den 0 < 540- 180 0 < 360 olacaktır. = 0 olursa, açıların toplamı ++ = 180 olur. Böylece 180< ++ 540 olur. (5.10) = 360 için yarım küre alanıdır. O halde küresel üçgen alanı en çok yarım küre alanı, bu halde kenarların toplamı da en çok 360 olur. Yani a, b, c 180 (e maddesine bakınız) ve 0 < a+b+c 360 dir. (5.11)
Bir küresel üçgenin A, B ve C köşeleri ile M küre merkezinin oluşturduğu şekle “üç yüzlü” denir.
Bir üç yüzlünün iç yüzlerine M merkezinde dik olan küre yarıçaplarının küre yüzündeki uçları küresel üçgeni oluştururlar. Bu üçgene A,B,C üçgeninin “kutupsal” ya da “bütünler” üçgeni denir. ABC küresel üçgeni ile bunun bütünleri olan (ABC) küresel üçgeni elemanları arasında şu bağıntılar vardır:
5.2.2- Küresel Üçgen Teoremleri Bir küresel üçgenin üçü kenar ve üçü de açı olmak üzere altı elemanı vardır. Küresel trigonometri bu elemanlar arasındaki bağıntıları inceler. Küresel trigonometride dört temel teorem vardır. Küresel üçgenlerin çözümü için gerekli eşitlikler bu dört temel teoremden yaralanılarak çıkarılırlar. Bu teoremler ispatsız olarak aşağıda kısaca verilecektir. Bunlara ilişkin ayrıntılı bilgiler Küresel Trigonometri kitaplarında mevcuttur.
1- Sinüs Teoremi: Küresel üçgenin kenarları büyük daire yaylarından oluşmaktadır ve değerleri bu yayı gören merkez açı ile ifade edilir. Buna göre kenarları sırası ile a, b, c ve açıları , , olan bir küresel üçgende bu elemanlar arasında bağıntısı vardır. Bu bağıntı küresel üçgende sinüs teoremi olarak adlandırılır. M sabit değeri küresel üçgenin modülü olarak adlandırılır.
2- Kosinüs Teoremi: a) Kenar Kosinüs Teoremi b) Açı Kosinüs Teoremi
3- Sinüs-Kosinüs Teoremi: Kenarlarından başlanarak küresel üçgenin elemanları saat ibresi yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlik uygulanarak gibi üç eşitlik elde edilir. Yine kenarlardan başlanarak bu defa saat ibresinin ters yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlik uygulanarak gibi üç eşitlik daha elde edilir.
Küresel üçgen elemanları bu defa açılardan başlanarak önce saat ibresi yönünde, sonra da saat ibresinin ters yönünde numaralanacak olursa yine yukarıdaki eşitlik uygulanarak gibi 6 eşitlik daha elde edilir.
4- Dört Parça (ya da Kotanjant) Teoremi: Bir küresel üçgenin elemanları kenardan başlanarak saat ibresi yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlikle 3 eşitlik ve saat ibresinin ters yönünde numaralanırsa 3 eşitlik daha olmak üzere gibi toplam 6 eşitlik elde edilir. Bu dört temel teoremden yararlanılarak birçok bilim adamı tarafından küresel üçgenlerin çözümünü kolaylaştıran daha değişik eşitlikler türetilmiştir. Bu eşitlikler genellikle eşitliği türeten bilim adamının ismi ile adlandırılırlar. Örneğin Neper eşitlikleri, Delambre-Mollweide formülleri gibi. Bu eşitliklerle ilgili ayrıntılı bilgi küresel trigonometri kitaplarında bulunabilir.
5.2.3- Küresel üçgenin özellikleri Bir küresel üçgenin açı ve kenarlarının 180 den büyük olamayacağı gibi bazı özellikleri daha önce söylendi. Elemanlar arasında bunlara benzer daha bazı özellikler vardır ki, üçgen çözümlerinde büyük önem taşırlar. Bunlar sıra ile : a) Bir küresel üçgende iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyüktür. Yani, b + c > a, a + c > b, a + b > c b) Bir küresel üçgende üç kenarın toplamı 360 den küçüktür. Yani, a + b + c < 360 c) Bir küresel üçgenin iki açısının toplamı üçüncü açının 180 ile toplamından küçük, 180 den farkından büyüktür. Yani, 180- < + < 180+
d) Bir küresel üçgende eşit kenar karşısında eşit açı, eşit açı karşısında eşit kenar bulunur. Yani, a = b ise = = ise a = b e) Bir küresel üçgende büyük kenar karşısında büyük açı bulunur. Yani, a > b ise > f) Bir küresel üçgende iki kenarın toplamı 180 den büyük ya da küçükse, bu kenarlar karşısındaki kenarlar da aynı özelliği taşırlar. Yani, a + b 180 ise + 180 a + b 180 ise + 180 g) denirse, açıların dan farkları -90 ile +90 arasındadır. Yani, = - , = - , = - olmak üzere -90 < < +90 , -90 < < +90 , -90 < < +90 dır.
5.2.4- Küresel üçgen halleri Bir küresel üçgenin a, b, c kenarları ve , , açıları olmak üzere altı elemanı vardır. Bu elemanlardan herhangi üçü biliniyorsa, diğer üç elemanı bunlara bağlı olarak bulunabilir. Verilen elemanlara göre altı durum vardır. Bunlar aşağıdaki gibi sıralanabilir. Verilen elemanlar: 1) Üç kenar a, b, c (K.K.K) (Kenar, Kenar, Kenar) 2) Üç açı , , (A.A.A) (Açı, Açı, Açı) Bu üçgenin kutupsalının üç kenarı biliniyor demektir. Yeni bir durum sayılmaz. 3) Iki kenar ve aralarındaki açı, örneğin a, , b (K.A.K) (Kenar; Açı, Kenar) 4) Bir kenar ve bu kenara komşu açılar, örneğin , c, (A.K.A) (Açı, Kenar, Açı) 5) Iki kenar ve bu kenarlardan birisi karşısındaki açı, örneğin a, b, veya , a, b (K.K.A)=(A.K.K) 6) Iki açı ve bu açılardan birisi karşısındaki kenar. Örneğin , , a veya b, , , (A.A.K)=(K.A.A)
5.3 - ASTRONOMİK ÜÇGEN ÇÖZÜMLERİ Gök cismi (güneş) meridyenin batısında iken oluşan astronomik üçgen Şekil 5.10 a’ da, ve güneş meridyenin doğusunda iken oluşan astronomik üçgen Şekil 5.10 b’ de görülmektedir. Z KGK S Gök Ekvatoru Gök Ufku GGK N Gök meridyeni 90- 90- z h a q a t Düşey daire Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi Z KGK S Gök Ekvatoru Gök Ufku GGK N Gök meridyeni 90- 90- z h a q t Düşey daire Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi Yıldız (Güneş) batıda Yıldız (Güneş) doğuda
Şekil : 5.10 - Yıldız meridyenin batısında ve doğusunda iken oluşan astronomik üçgenler Güneşin meridyenin doğusunda ve batısında olduğu zamanlarda oluşan ve yukarıda gök küre üzerinde gösterilen astronomik üçgenler basit olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir (Şekil 5.11 a-b).
a) Yıldız (Güneş) batıda b) Yıldız (Güneş) doğuda q KGK t 90- 90- z = 90-h S Meridyen Saat Dairesi Düşey Daire a a) Yıldız (Güneş) batıda b) Yıldız (Güneş) doğuda Şekil : 5.11 - Yıldız meridyenin batısında ve doğusunda iken oluşan astronomik üçgenler
Elemanları yukarda tanımlanan ve Şekil 5. 10 ve 5 Elemanları yukarda tanımlanan ve Şekil 5.10 ve 5.11’de gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir. Astronomik üçgen için de altı üçgen hali vardır. Astronomik üçgenin verilen veya ölçülen elemanları yukarıda ayrıntılı olarak açıklanan hallerden hangisine uyuyorsa verilen eşitlikler kullanılarak çözüm yapılır. Astronomik üçgenin verilen elemanlarına göre bu altı hal ve çözümleri özet olarak aşağıda gösterilmiştir.
1.Hal : Verilenler: , t, Arananlar: z, a Çözüm: eşitliğinden z zenit uzaklığı, veya eşitliğinden a azimutu hesaplanır.
2.Hal : Verilenler: z, t, Arananlar: , a Çözüm: eşitliğinden M hesaplanır, eşitliğinden (1-M) ve 1 = (1-M) + M) ile 1 bulunur. eşitliğinden (M - 2) ve 2 = M - (M - 2) ile 2 bulunur. eşitliğinden a azimutu hesaplanır.
3.Hal : Verilenler: , , z Arananlar: a, t Çözüm: eşitliğinden t saat açısı, eşitliğinden a azimutu hesaplanır.
4.Hal : Verilenler: , z, a Arananlar: t Çözüm: eşitliğinden t saat açısı hesaplanır.
5.Hal : Verilenler: , z, a Arananlar: , t Çözüm: eşitliğinden N, eşitliğinden M hesaplanır, eşitliğinden ( -M) ve = ( -M) + M) ile bulunur. eşitliğinden t saat açısı hesaplanır.
6.Hal : Verilenler: a, , Arananlar: t, z Çözüm: eşitliğinden M hesaplanır, eşitliğinden (z -M) ve z = (z -M) + M) ile z bulunur. eşitliğinden t saat açısı hesaplanır (güney yıldızları için).
eşitlikleri verilmiştir. GÜNEŞİN DOĞUŞ VE BATIŞI Güneşin doğuşu ve batışında zenit uzaklığının 90, birinci düşey daireden geçişinde azimutunun 90 veya 270, yıldızların elongasyonda oldukları anda paralaktik açılarının 90 veya 270 olması nedeniyle oluşan astronomik üçgenler küresel dik üçgendir. Bu durumlarda oluşan astronomik üçgenlerin çözümü için gerekli eşitlikler Neper kuralı ile kolaylıkla çıkarılabilir. Bölüm (4.6- Görünebilirlik, Doğuş ve Batış) da, güneşin (yıldızın) doğuş-batıştaki azimutunu hesaplamak için veya ve saat açısı için ise eşitlikleri verilmiştir.
Güneşin deklinasyonundaki günlük değişim ihmal edilecek olursa güneşin doğuş ve batışında oluşan astronomik üçgenlerin meridyene göre simetrik oldukları varsayılabilir. Buna göre güneşin doğuş ve batışındaki azimutları ve saat açıları aşağıdaki gibi hesaplanır. Doğuştaki azimut yukarıdaki eşitlikle bulunun değere eşittir. Yani aDoğuş = aD,B dir. Batıştaki azimut ise eşitlikle bulunan aD,B değerinin 360 dereceden farkına eşittir, yani aBatış = 360- aD,B dir. Doğuştaki saat açısı yukarıdaki eşitlikle bulunun tD,B değerinin 360 dereceden farkına eşittir, yani tDoğuş = 360- tD,B dir. Batıştaki saat açısı ise yukarıdaki eşitlikle bulunan tD,B değerine eşittir, yani tBatış = tD,B dir.
Yeryüzü üzerindeki bir gözlem yerinde gündüz ve gece sürelerini hesaplamak için yukarıda verilen saat açısı eşitliği kullanılır. Hesaplan saat açısı tD,B açı birimindedir. Hesaplar derece biriminde yapılmış ise bu değer 15’e bölünerek zamana dönüştürülür ve iki katı alınırsa gözlem yeri için gündüz süresi bulunur. Bunun 24 saaten farkı alınarak gece süresi hesaplanır. Gündüz süresi = 2 tD,B /15 saat ve Gece süresi = 24 - Gündüz süresi dir.
Şekil 5.12 - Güneşin doğuşu Şekil 5.13 - Güneşin batışı Z KGK S Gök Ekvatoru Gök Ufku GGK N Gök meridyeni 90- 90- Z=90 q a t' Düşey daire Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi Z KGK S Gök Ekvatoru Gök Ufku GGK N Gök meridyeni 90- 90- Z=90 q a t Düşey daire Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi Şekil 5.12 - Güneşin doğuşu Şekil 5.13 - Güneşin batışı
Şekil 5.14 - Güneşin doğuşu ve batışı (Gök kürenin zenitten görünüşü) KGK S Dogus Gök Ekvatoru Gök Ufku Gök meridyeni 90- a t' Düsey daire Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi Batis 90- Z=90 Günesin günlük yörüngesi t a Şekil 5.14 - Güneşin doğuşu ve batışı (Gök kürenin zenitten görünüşü)
UYGULAMA
example problems 1. The latitude and longitude of Sheffield are 53°23´12´´ N and 1°28´07´´ W, respectively. The latitude and longitude of Sydney are 33°55´24´´ S and 151°17´03´´ E, respectively. What is the difference in the latitude of the two cities in decimal degrees? Difference in latitude = 53°23´12´´ - ( - 33°55´24´´) = 87°18´36´´ Difference in latitude = 87° + (18/60)° + (36/3600)° = 87.3100° What is the difference in the longitude of the two cities in decimal degrees? Difference in longitude = 1°28´07´´ - ( - 151°17´03´´) = 152°45´10´´ Difference in longitude = 152° + (45/60)° + (10/3600)° = 152.7528° What is the difference in longitude in hours, minutes and seconds of time? Difference in longitude = 24 x 152.7528 / 360 = 10.18352h Difference in longitude = 10h (0.18352 x 60)m = 10h11.0112m Difference in longitude = 10h11m (0.0112 x 60)s = 10h11m00.67s
What are the co-latitudes of Sheffield and Sydney What are the co-latitudes of Sheffield and Sydney? Latitude of north pole = 90° N co-latitude of Sheffield = 90° - 53°23´12´´ = 36°36´48´´ Latitude of south pole = 90° S co-latitude of Sydney = 90° - 33°55´24´´ = 56°4´36´´ 2. Given that the mean radius of the Earth is 6370 km, convert the nautical mile and the knot into miles and mph. Circumference of the Earth = 2 x 6370 km Number of arcminutes in 360° = 360 x 60 = 21600´ Length of arc subtended by 1´ = 2 x 6370 / 21600 = 1.85 km Therefore, 1 nautical mile = 1.85 km = 1.85/1.61 miles = 1.15 miles and, 1 knot = 1.85 km/h = 1.15 mph.
3. How much longer will it take to fly from Sheffield to Petropavlovsk in Russia along the parallel compared to the great circle route? Assume that Sheffield and Petropavlovsk are at the same latitude (53°23´ N), the longitude of Sheffield and Petropavlovsk are 1°28´ W and 158°42´ E, respectively, and the plane is flying at 500 knots. figure 8: a flight from Sheffield to Petropavlovsk in Russia
Let A and B in Figure 8 represent Sheffield and Petropavlovsk, so that the parallel route is denoted by the red arc ARB and the great circle route is denoted by the yellow arc AYB. If the meridians PAC and PBD are drawn from the north pole P through A and B to the equator CD, triangle PAYB is a spherical triangle. Applying the cosine formula, we may then write cos AYB = cos AP cos BP + sin AP sin BP cos APB AP = BP = 90° - 53°23´ = 36°37´ = 36.6167° APB = 1°28´ - (- 158°42´) = 160°10´ = 160.1667°. Substituting these numbers into the cosine formula gives cos AYB = (cos 36°.6167)2 + (sin 36°.6167)2 cos 160.1667° AYB = 71°.9663 = 71°58´ = 4318´. The great circle distance between Sheffield and Petropavlovsk is therefore 4318 nautical miles and hence it will take 4318/500 = 8.636 h = 8h38m to complete the journey via the yellow arc in Figure 8.
The distance between Sheffield and Petropavlovsk along the parallel of latitude 53° 23´ N (a measurement often referred to as the departure) can be calculated as follows: The circumference of the parallel at latitude 53°23´ N = 2 r, where r = R cos AOC, AOC = 53°23´ = 53.3833° and R = radius of the Earth = 3443 nautical miles. The red arc ARB in Figure 8 covers only a fraction of this circumference, where the fraction is given by AQB/360° and AQB is given by the difference in longitude of A and B. So, ARB = (160°.1667/360°) x 2 x 3443 x cos 53°.3833 = 5741 nautical miles. Hence it will take 5741/500 = 11.482 h = 11h29m to complete the journey via the red arc in Figure 8 and so the journey between Sheffield and Petropavlovsk is 2h51m quicker along the great circle route than along the parallel.
4: How far is it from İstanbul (4100N., 2900E.) to New York (4042N., 7359W.), and how long does it take by airplane if the speed of the plane is 800 km per hour? The radius of the earth is 6370 km.
3: The declination of the Sun is = - 23 26 16 3: The declination of the Sun is = - 23 26 16.19 on 21st December 2005. Examine rising and setting conditions of the sun.
6: In order to define the astronomic latitude of an observation station, a star is observed at upper culmination (transit) north of the zenith and the zenith distance (angle) is measured as 204214. And declination of the star is given in the almanac as +612132. Draw the figure of upper culmination north of the zenith and compute the astronomic latitude of the observation station.