Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol DERS 7 DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMLERİ Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol R3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(xo ,yo ,zo ), noktasından geçen ve v=(a,b,c) vektörüne paralel olan doğru d doğrusu olsun. d d doğrusu üzerinde değişken bir nokta X(x,y,z,) olsun. d doğrusunun denklemini yazmak demek X noktasının x,y,z, koordinatları arasında X noktasının d doğrusu üzerinde bulunmasını sağlayan bir bağıntı bulmak demektir. Bu bağıntı, olarak alınabilir. M(x0 ,y0 ,z0 ) noktası sabit olduğundan sabit bir vektördür. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol d doğrusunun vektörel denklemi d doğrusunun parametrik denklemi d doğrusunun kartezyen denklemi v vektörüne doğrultman vektörü, a,b,c sayılarına da doğrultman parametreleri denir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi: olsun. AB doğrusunu d ile gösterelim. d d doğrusunun parametrik denklemi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol d doğrusunun kartezyen denklemi Doğrultman parametrelerinden birisi sıfır ise, doğru bu parametreye karşılık gelen koordinat eksenine diktir. Örneğin b = 0 (y1 - yo = 0 ise) ise doğru y eksenine dik olup denklemi olur. Örneğin a = 0 (x1 – xo = 0 ise) ise doğru x eksenine dik olup denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: AB doğrusunun veriliyor. denklemini yazınız. Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta .X(x,y,z) olsun. vektörü doğrultusunda olup P(-1,2,3) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Örnek: Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta olsun. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: parametrik denklem kartezyen denklem Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol vektörünün taşıyıcı doğrusunun denklemini yazınız.. Örnek: vektörü, taşıyıcı doğrusunun doğrultman vektörüdür. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki dik izdüşümü: d doğrusunun doğrultman vektörü v olsun Diğer taraftan;. H h d olur. t O l Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü: d doğrusunun doğrultman vektörü v ise bir u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü, uzunluğu u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşümünün uzunluğu doğrultu ve yönü v vektörünün doğrultu ve yönü olan bir vektördür. Bu vektörü w ile gösterirsek H O t l d olur. dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: A(1,-2,1) ve B(2,0,3) noktaları veriliyor. vektörünün AB doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: AB doğrusunun doğrultman vektörü dır. l Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol vektörleri veriliyor. u vektörünü biri v ye paralel diğeri v ye dik iki vektörün toplamı olarak yazınız. Örnek: Çözüm: u vektörünün v vektörü üzerindeki izdüşüm vektörü Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: vektörünün x + y =1 doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: x + y =1 doğrusunun doğrultman vektörünü bulalım. Bunun için x + y =1 doğrusu üzerinde herhangi iki nokta alalım. A(1,0), B(0,1) olsun. AB doğrusunun doğrultman vektörü dir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol doğrusuna dik olan vektörlerin Örnek: kümesini bulunuz. Çözüm: Verilen doğrunun doğrultman vektörü dir. Verilen doğruya dik bir vektör olsun. Örneğin, olur ve dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol R3 te Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı: l t Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: noktasının doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Paralel ve Dik Doğrular: olsun. Paralel doğruların doğrultman vektörleri de paralel olacağından; Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: doğruları verilsin. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol R3 te Aykırı İki Doğru Arasındaki Uzaklık: Diğer taraftan bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Veya Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol R3 te İki Doğrunun Kesim Noktası: olsun. Buradan yazılır. Doğruların kesişmesi için, denklem sisteminin bir tek çözümünün olması gerekir Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bunun için herhangi iki denklemden bulunan değerleri diğer denklemde yerine yazılır. Bu denklem sağlanıyorsa bir tek çözüm vardır ve bu çözüm bulunan değerlerinden biri doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur. Üçüncü denklem sağlanmıyorsa doğrular kesişmiyor demektir. Bu durumda doğrular ya paraleldirler ya da aykırıdırlar. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: doğrularının kesim noktasını araştırınız. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Bir Noktası Bilinen ve Bir Doğrultusuna Dik Olan Düzlemin Denklemi: Bir vektörün bir düzleme dik olması demek vektörün düzlemdeki her doğruya dik olması demektir. vektörüne düzlemin normali denir. düzlemin vektörel denklemi ve Düzlemin kartezyen denklemi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: E … 2(x-1)-3(y-2)+5(z+3)=0 E … 2x-3y+5z+19=0 Örnek: vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: E … 3(x-0)+0(y-2)+2(z-1)=0 E … 3x+2z-2=0 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Aykırı iki doğru arasındaki uzaklık Doğrulardan biri üzerindeki bir noktanın diğer doğruyu içine alan ve doğrusuna paralel olan düzleme uzaklığına eşittir. olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Doğru İle Düzlem Arasındaki Açı: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Doğru İle Düzlemin Birbirlerine Göre Durumları: Doğrunun düzleme dik olma koşulu: Doğrunun düzleme paralel olma koşulu: İki düzlemin paralel olma koşulu: İki düzlemin dik olma koşulu: Doğru İle Düzlemin Birbirlerine Göre Durumları: verilsin. x,y,z nin bu değerleri düzlem denkleminde yerine yazılırsa Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol nın bu değeri doğrunun parametrik denkleminde yerine yazılarak doğru ile düzlemin ortak noktası bulunur. Özel Durumlar: 1. Pay sıfır, payda sıfırdan farklı ise M(xo,yo,zo) ortak noktadır. 2. Pay sıfırdan farklı, payda sıfır ise ortak nokta yoktur. Doğru düzleme paraleldir. 3. Pay ve payda sıfır ise doğru düzlemin içindedir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir Noktanın Bir Düzleme Olan Uzaklığı: M l E olsun. ile arasındaki açı sıfırdır. olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol düzlemin denklemini sağlar. noktası düzlemin üzerinde olduğundan M noktasının E düzlemine olan uzaklığı olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: M(7,3,4) noktasının 6x-3y+2z-20=0 düzlemine olan uzaklığını hesaplayınız. Paralel İki Düzlem Arasındaki Uzaklık: l1 l2 l2-l1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol İki Düzlem Arasındaki Açı : İki düzlem arasındaki açı bu düzlemlerin normalleri arasındaki açı olarak tanılanır. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Üçlü Skaler Çarpım: vektörleri verilsin. h t olarak tanımlanır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol olsun. Buradan, bulunur. ise vektörleri lineer bağımlıdır. Yani vektörleri bir paralel yüz (bir hacim). oluşturmazlar. Bu durumda bu üç vektör düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Üç Noktası Bilinen Düzlemin Denklemi: X noktasının A,B,C noktalarının belirlediği düzlemde olabilmesi için vektörlerinin (lineer bağımlı olmaları) üçlü çarpımlarının sıfır olması gerekir ve yeter. A,B,C noktalarından geçen düzlemin denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: noktalarından geçen düzlemin denklemini yazınız. A,B,C noktalarından geçen düzlemin herhangi bir noktası olsun Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: denklemini bulunuz vektörlerinin gerdiği alt uzayın Bu iki vektörün gerdiği uzaya ait her hangi bir vektör yazılabilir. olsun.O zaman Çözüm: u ve v vektörlerinin gerdiği alt uzayın denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Veya; bulunur. Örnek: noktasının olan uzaklığını bulunuz. doğrusuna Çözüm: Doğru üzerindeki nokta A(2,1,2) noktasıdır. h Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini yazınız Çözüm: bulunur. Parametrik denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: düzlemlerine paralel olan ve P(-2,-1,5) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: Aranan doğru her iki düzleme paralel olduğundan bu düzlemlerin normallerine diktir. olur d’ nin parametrik denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: düzlemlerinin Arakesit doğrusundan ve P(-1,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: bulunur. Not: düzlemlerinin ikisini de sağlayan noktalar denklemini de sağlar. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Veya düzlemlerini ortak çözerek ortak iki nokta bulalım. Sonra da bu iki noktadan ve verilen P noktasından geçen düzlemin denklemini yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: doğruları veriliyor. a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz. b)Aralarındaki açıyı bulunuz. Çözüm: bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: doğruları veriliyor. a) Paralel veya dik olup olmadıklarını araştırınız. b)Varsa kesim noktasını bulunuz. c) Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: Bu iki doğru paralel değildir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Farklı t değerleri bulunduğundan bu iki doğrunun ortak bir noktası yoktur. Doğrular kesişmezler. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: doğruları veriliyor. a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz. b)Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: Farklı t değerleri bulunduğundan doğrular kesişmezler. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Doğrular arasındaki uzaklık Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Aşağıdaki doğruların standart denklemlerini yazınız.. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol c) Verilen doru düzlemlerin arakesitidir. doğru A noktasından geçer ve düzlemlerin normallerine diktir. Dolaysıyla Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: olan ve Doğrultuları noktasında kesişen doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: Aranan düzlemi A noktasından geçen ve normali olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: doğrularına paralel olan ve A(-2,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: bulunur. veya Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: vektörlerinin lineer bağımlı (düzlemsel) olduğunu gösteriniz. Çözüm: düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Ödev: vektörlerinin düzlemsel olduklarını gösteriniz. vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmini bulunuz. düzlemsel olmaları için x ne olmalıdır? vektörlerinin aynı düzlemde olduklarını gösteriniz. noktalarının doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini yazınız. noktasından geçen ve 6. Orijinden geçen ve koordinat eksenleri ile sırasıyla. açılar yapan doğrunun parametrik ve kartezyen denklemlerini yazınız. doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. noktasının Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol noktasından geçen ve doğrusuna dik olan düzlemin denklemini yazınız. noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. 10. Aşağıda verilen vektörlerin düzlemsel olup olmadıklarını araştırınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği düzlemin denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın denklemini yazınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız veriliyor. vektörleri R3 te bir baz oluşturur mu? vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız.. vektörünü vektörleri üzerine kurulan paralelkenarın alanını hesaplayınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Veya düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Veya düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol vektörleri düzlemsel ise üçlü skaler çarpımları sıfırdır. u,v,w vektörleri düzlemsel değildir. u,v,w vektörleri düzlemsel değildir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol u,v,w vektörleri düzlemseldir. noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. Çözüm: A,B,C,D noktaları düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 2. Üç nokta bir düzlem belirtir. Dördüncü nokta bu düzlem denklemini sağlamalıdır. A,B,C noktalarının belirttiği düzlemin denklemi olur. D noktasının da bu düzlemde olması için D noktasının koordinatları bu denklemi sağlamalıdır. 3. A,B,C noktalarının belirttiği düzlem ile A,B,D noktalarının belirttiği düzlem aynı olmalıdır. düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. vektörleri Çözüm: noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Çözüm: 1. Düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği Çözüm: Düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın Çözüm: düzlem u ve v vektörlerinin başlangıç noktası olan orijinden geçeceğinden 1. Düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 2. Bu iki vektörün gerdiği uzayın herhangi bir vektörü bu iki vektörün bir lineer birleşimi olarak yazılabilmelidir. Bu uzayın bir vektörü ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol