ÜNİTE I MANTIK 1. ÖNERMELER a. Mantık b. Terim,tanımlı ve tanımsız terimler c. Önermenin tanımı sembolle gösterim ç. Önermenin doğruluk değeri d. Önermenin doğruluk değerleri tablosu e. Denk (eşdeğer) önermeler f. Bir önermenin değili (olumsuzu)

BİLEŞİK ÖNERMELER a. Bileşik önermeler b. Veya (V) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler ve özelikleri c. Ve (Λ) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler ve özelikleri d. (V) ve (Λ) işlemlerinin birbiri üzerine dağılma özeliği e. De Morgan (Dö Morgan) kuralları f. Totoloji ve çelişki

Koşullu (şartlı) önermeler I. ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler II. Koşullu önermenin karfşıtı, tersi, karşıt tersi III. Koşullu önerme ile ilgili özelikler IV. Ancak ve ancak (⇔) bağlacı ile kurulan iki yönlü koşullu önermeler V. iki yönlü koşullu önerme ile ilgili özelikler

AÇIK ÖNERMELER a. Açık önermeler b. Açık önermenin doğruluk (çözüm) kümesi c. Niceleyiciler I. Evrensel niceleyici (her) II. Varlıksal niceleyici (bazı) III. Niceleyicilerin değili

İSPAT YÖNTEMLERi a. Tanım b. Aksiyon c. Teorem d. İspat yöntemleri I. Doğrudan ispat yöntemi II. Olmayana ergi ile ispat yöntemi III. Deneme yöntemi ile ispat IV. Aksine örnek verme yöntemi ile ispat V. Tümevarım yöntemi ile ispat VI.Tümden gelim yöntemi ile ispat

BU ÜNİTENİN AMAÇLARI * Önermelerle ilgili temel kavramların bilgisi olan terimi, tanımlı ve tanımsız terimleri örneklerle açıklayabilecek, * Önermenin tanımını, sembolle gösterimini, doğruluk değerini, iki önermenin denkliğini açıklayabilecek ve doğruluk değerleri tablosu yapabilecek, * Bir önermenin değilini açıklayabilecek, * Birleşik önermeyi açıklayabilecek, * “ Ve”, “veya”, bağlaçları ile kurulan birleşik önermelerin özelliklerini açıklayabilecek, * De Morgan kuralları ile totoloji ve çelişkiyi doğruluk tablosu yaparak gösterebilecek,

* Koşullu önermeleri açıklayabilecek, iki yönlü koşullu önerme ile koşullu önermeler arasındaki ilişkiyi ve özelikleri açıklayabilecek, * Açık önermeyi ve doğruluk kümesini açklayabilecek, * Evrensel ve varlıksal nieceleyicilerini örneklerle açıklayabilecek, bu niceleyecileri içeren önerme ve bileşik önermelerin olumsuzunu yazabilecek, * Verilen bileşik önermede, terim, aksiyom, teorem ve ispat kavramlarını açıklayabilecek, * Bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtebilecek, bir teoremin karşıtını, tersini, karşıt tersini, yazabilecek, * İspat yöntemlerini açıklayabileceksiniz.

Mantık, doğru düşünme bilimidir Mantık, doğru düşünme bilimidir. Doğru düşünme ve doğru yargıya, mantık kuralları ile ulaşılır. Matematiğin amacı, doğru ve sistemli düşünebilmeyi kazandırmaktır. Mantık Kuralları bilinmeden, matematiğin amacına ulaşılamaz.

Mantığa matematiksel yapı kazandıran ingiliz bilim adamı George Boole’dir. Boole’ün ortaya koyduğu sistem, sembolik mantık adıyla anılır. Biz, bu bölümde matematiğin dilini oluşturmak amacıyla, sembolik mantığın temel kurallarını inceleyeceğiz.

Terim, Tanımlı ve Tanımsız Terimler Bir bilim dalı içerisinde, konuşma dilinden farklı anlamı (özel anlamı) olan sözlüklerden her birine, o bilim dalının bir terimi denir.

Bir terimin anlamını belirtmeye, terimi tanımlamak denir. Üçgen, çember, doğru parçası birer matematiğin tanımlı terimleridir. Bazı terimleri tanımlayamayız. Sezgi yolu ile bu terimleri kavrarız. Bu tür terimlere tanımsız terim denir. Nokta, doğru, düzlem birer matematiğin tanımsız terimidir.

Önermenin Tanımı, Sembolle Gösterimi Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere, önerme denir. Önermeler genel olarak p, q, r, s, vb. gibi harflerle gösterilir.

p : “Türkiyenin başkenti Ankara’dır.” q : “Bir yıl 12 aydır.” r : “İyi günler.” s: “Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.” Burada p, q ve s ifadeleri birer önermedir. Çünkü doğru veya yanlış bir hüküm bildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme değildir. Kesin olarak, doğru veya yanlış bir hüküm bildirmemektedir.

Önermenin Doğruluk Değeri Bir önerme do¤ru ise doğruluk değeri “1” veya “D” ile, önerme yanlış ise doğruluk değeri “0” veya “Y” ile gösterilir.

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerini belirtelim p: “Bir gün 24 saattir.” q: “9 asal bir sayıdır.” r: “Adana Ege bölgesindedir.” s: “Eşkenar üçgenin bütün kenarlarının uzunlukları eşittir.” Burada ki p, q ve s önermeleri doğrudur. Doğruluk değerleri “1”dir. r önermesi ise yanlıştır. Doğruluk değeri “0” dır.

Aşağıda verilen önermelerin, doğruluk değerlerini bulalım Aşağıda verilen önermelerin, doğruluk değerlerini bulalım. Bu önermelerden, birbirine denk olanları ≡ sembolü ile denk olmayanları ise ≡ sembolünü kullanarak gösterelim. p : “En küçük doğal sayı sıfırdır.” q : “Bir tek ve bir çift doğal sayının çarpımı, tek doğal sayıdır.” r : “Köpek memeli bir hayvandır.” s : “Dikdörtgenin bütün kenarları, birbirine eşittir.” Verilen önermelerin doğruluk değerleri için, p ≡ 1, q≡ 0, r ≡1 ve s ≡ 0 dır. O halde, p ≡ r, q ≡ s, p ≡ q, p ≡ s, q ≡ r yazabiliriz.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu) Verilen bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle, elde edilen yeni önermeye, bu önermenin değili (olumsuzu) denir. Bir p önermesinin değili p′, p ya da ~p sembollerinden birisi ile gösterilir. “p nin değili” diye okunur.

BİLEŞİK ÖNERMELER Bu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak” bağlaçlarını kullanarak yeni önermeler oluşturacağız. iki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla bağlanmasından elde edilen yeni önermelere, bileşik önermeler denir. Bileşik olmayan önermelere de basit önerme denir. Önermeleri birbirine bağlayan, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi terimlere mantıksal bağlaç denir. Bu bağlaçlarla birbirine bağlanan önermelere, bileşik önermenin bileşenleri denir.

Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, bu basit önermelerin “veya” bağlacı ile bağlanmasından meydana gelen bileşik önermeye, p veya q bileşik önermesi denir. pVq şeklinde gösterilir. pVq bileşik önermesinde, bileşenlerden en az birisi doğru iken doğru, ikisi de yanlış iken yanlıştır. pVq bileşik önermesinin doğruluk değerleri tablosu, aşağıdaki şekilde yapılmıştır. Bu tablodan görüldüğü gibi, 1V1 ≡ 1, 1V0 ≡ 1 , 0V1 ≡ 1, 0V0 ≡ 0 olduğu görülmektedir.

p: “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölüdür.” q: “Her çift sayı 2 ile bölünür.” önermeleri veriliyor. Bu önermeler için pVq bileşik önermesini yazalım ve doğruluk değerini bulalım. pVq : “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölü veya her çift sayı 2 ile bölünür.” diye yazılır. p ve q önermeleri doğru önermelerdir. Buna göre, pVq ≡ 1V1 ≡ 1 olup, bu bileşik önerme doğrudur.

Veya Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermelerin Özelikleri Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için aşağıdaki özelikler vardır. 1. pVp ≡ p (Tek kuvvet özelliği) 2. pVq ≡ q V p (Değişme özeliği) 3. p V (q Vr) ≡ ( p V q ) Vr (Birleşme özelliği) 4. pV1 ≡ 1 ve pV0 ≡ p

Verilen [(1V0) V0] V (1V0) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım. Verilen [(1V0) V0] V (1V0) ≡ (1V0) V1 ≡ 1V1 ≡ 1 olur. O halde, verilen bileşik önerme doğrudur.

Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye, p ve q bileşik önermesi denir. p Λ q şeklinde gösterilir. p Λ q bileşik önermesi, p ve q önermelerinin ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır

p : “Portakal meyvedir.” q: “Üzüm sebzedir.” önermeleri için p Λ q bileşik önermesini yazalım. Doğruluk değerini bulalım. p Λ q: “Portakal meyve ve üzüm sebzedir.” p önermesi doğru, q önermesi yanlıştır. p≡1, q≡ 0 dır. Buna göre, p Λ q ≡ (1Λ 0) ≡ 0 olup, bileşik önerme yanlıştır.

Ve Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermenin Özelikleri Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için aşağıdaki özelikler vardır 1. p Λ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği) 2. p Λ q ≡ q Λ p (Değişme özelliği) 3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) r (Birleşme özelliği 4. p Λ 1≡ p ve p Λ 0 ≡ 0

De Morgan (Dö Morgon) Kuralları (Bileşik Önermenin Olumsuzu) Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, “V” ya da “Λ” bağlacı ile elde edilen bileşik önermeler ile bu önermelerin olumsuzları arasında, (p V q)´≡ p´ Λ q´ ile (p Λ q)´≡ p´Vq´ bağıntısı vardır. Bu bağıntılar, De Morgan Kuralı adını alırlar.

Totoloji ve Çelişki Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan her değeri için daima doğru oluyorsa, bu bileşik önermeye totoloji, daima yanlış oluyorsa, bu bileşik önermeye de çelişki denir.

Koşullu (şartlı) Önermeler İse (⇒) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler: Verilen p ile q önermelerinin “ise” sözcüğü ile bağlanmasından oluşan bileşik önermesine koşullu (şartlı) önerme denir. “p ise q” diye okunur. Bu koşullu önerme p ⇒ q şeklinde yazılır.

Verilen bileşik önermede, p doğru ve q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Bu tanıma göre, p ⇒ q bileşik önermenin doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki şekilde yapılmıştır. Bu tabloda gösterildiği gibi, 1 ⇒ 1≡ 1 ⇒ 0 ≡ 0, 0 ⇒1 ≡ 1, 0 ⇒ 0 ≡ 1 olduğu görülmektedir

Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi Verilen p, q önermesi ile p ⇒ q koşullu önerme meydana getirildiğinde; 1. q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıtı denir. 2. p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir. 3. q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir.

Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler: 1. (p ⇒ q) ≡ (q′ ⇒ p′) 2. (p ⇒ q) ≡ (p′ V q) 3. ( p⇒ q)′ ≡ p Λ q′ 4. (p ⇒ p) ≡ 1 5. (p ⇒ p′) ≡ p′ 6. (0 ⇒ p) ≡ 1

“Ancak ve Ancak” Bağlacı ile Kurulan İki Yönlü Koşullu Önermeler Verilen p ile q önermesinde (p ⇒ q) Λ (p ⇒ q) bileşik önermesine, iki yönlü koşullu önerme denir. Burada p ⇒ q koşullu önermesi ile bunun karşıtı olan q ⇒ p bileşik önermesinin “ve” bağlacı ile bağlanmasından meydana gelmiştir. p ⇔ q biçiminde yazılır ve “p ancak ve ancak q” diye okunur. Bu tanıma göre, (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) olur

p⇔q iki yönlü koşullu önermesi, p ile q nun doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır. Verilen p ⇔ q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri “1” yani doğru ise bu önermeye çift gerektirme denir.

İki Yönlü Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler 1. ( p ⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q ) Λ ( q⇔ p ) 2. ( p⇔ q )´ ≡ ( p´⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q´ ) 3. ( p⇔ p ) ≡ 1 (Totoloji) 4. ( p ⇔ q ) ≡ ( q⇔p ) (değişme özelliği) 5. ( p⇔ q ) ⇔ r ≡ p ⇔ ( q ⇔ r ) (birleşme özelliği) 6. p ⇔1 ≡ p ; p ⇔ 0 ≡ p´ 7. ( p ⇔ p´) ≡ 0 (çelişki)

AÇIK ÖNERMELER Doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan önermelere açık önerme veya önerme fonksiyonu denir.

Niceleyiciler Doğruluk kümelerini oluşturan veya verilen önermeleri doğrulayan, elemanların miktarını belirtmek için, “her”, “bazı”, “hiçbiri” gibi kelimeler kullanırız. Varlıkların miktarını belirtmek için kullanılan bu ifadelere niceleyici denir.

Evrensel Niceleyici (her) Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen “∀" sembolü evrensel niceleyicidir

Varlıksal niceleyici (Bazı) Verilen p(x) açık önermesi E evrensel kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. E kümesinde, her x elemanı için, p(x) açık önermesini doğrulayan en az bir x elemanı için, p(x) açık önermesini doğrulayan en az bir x elemanı varsa, bu açık önermeye varlıksal niceleyici denir. ∃ sembolü ∃ x ∈ E, p(x) veya ∃ x, p(x) şeklinde yazılır.

Verilen varlıksal niceleyicinin doğru olması için, bazı x ler için p(x) doğru veya en az bir x için p(x) doğru oluyorsa, ∃ x, p(x) önermesi doğrudur. Bütün x ler için p(x) yanlış oluyorsa ∃ x, p(x) önermesi yanlış olur.

Niceleyicilerin Değili Verilen bir doğru önermenin değilinin yanlış, yanlış bir önermenin değili ise doğrudur. Buna göre, x bir değişken ve p(x) bir açık önerme ise “∀ x ∈ E, p(x)” tir. Önermesinin olumsuzu “∃ x ∈ E, p(x) değilidir.”

Verilen “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin değilini yazalım. “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin değili “Bütün sayılar asal değildir” olur.

İSPAT YÖNTEMLERİ Aksiyom Doğru olduğu ispatlanmadan kabul edilen önermelere, aksiyom denir. Aksiyomlar kendi aralarında tutarlı, sisteme yeterli ve birbirinden bağımsız olmalıdır. Aksiyomlar bir bilimsel yapının temel taşlarıdır.

Teorem Matematikte ispatlanması gereken önermelere teorem denir. Teoremlerin doğruluğunu, önceden verilen tanım ve aksiyomlardan yararlanarak ispatlayabiliriz. Bir teoremin ispatında, kendinden önce gelen teoremlerde kullanılır. Verilen p ⇒ q koşullu önermesinde, başlangıçta olan p önermesine hipotez (varsayım), varılan sonuca q önermesine hüküm (yargı) denir. Hipotezin doğruluğundan başlayarak hükmün doğruluğunu göstermeye teoremin ispatı denir. Teoremde, hipotezin daima doğru olması gerekir.

İspat Yöntemleri I. Doğrudan ispat: Verilen bir teoremde, hipotezin doğru olduğu kabul edilerek, hükmünde doğru olduğu gösterilirse, bu ispat şekline, doğrudan ispat yöntemi denir. II. Olmayana Ergi ile ispat Yöntemi: Bir koflullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (p´ ⇒ q´) dür. p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine p´⇒ q´ teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremi ispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile ispat yöntemi denir.

III. Deneme Yöntemi ile ispat Verilen önermedeki değişkene farklı değerler verilir. Bu değerler, ayrı ayrı yerlerine yazılarak önermenin doğruluğu kontrol edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat denir.

IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile ispat Verilen bir önermenin doğru olduğu ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veya çelişki olduğu gösterilerek, yanlış olduğu ispatlanır. Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir önermenin, yanlış olduğunu ispatlamak için kullanılır. O halde, verilen önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir değer varsa, bu önermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur.

V. Tüme Varım Yöntemi ile ispat Tüme varım yöntemi, özel kurallardan hareket ederek genel kurala ulaşma yöntemidir. O halde, bu yöntemde yapılan ispat, parçalardan giderek bütünün doğruluğunu bulmaktır.

VI. Tümden Gelim Yöntemi ile ispat Tümden gelim, genel kuraldan özel kuralların çıkarılması yöntemidir. Bütünden giderek istenilenin doğruluğunu ispatlama yöntemidir.