İSTATİSTİK VE OLASILIK I İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK VE OLASILIK I 5. Hafta: Olasılık Öğr. Gör. Berk Ayvaz 2013

Rassal Deneme, Sonuç, Olay İki ya da daha çok sayıda değişik sonuca yol açan bir sürecin gözlendiğini, bu sonuçlardan hangisinin gerçekleşeceği konusunda önceden bir belirsizlik oldu­ğunu düşünelim. Aşağıda bazı örnekler verilmiştir: Yazı-tura atılması. Zar atılması. Bir tüketiciye iki maldan hangisini yeğlediğinin sorulması. Bir hesaplar kümesinden bir kalemin bir denetmence incelenmesi. Pay senetleri fiyat endeksindeki günlük değişmenin gözlenmesi. Bir kimyasal süreç sonunda üretilen bir parti kimyasal ürünün, izin verilen oranın üstünde bir kirlilik içerip içermediğinin sınanması. Bu örneklerin her biri bir rassal deneme içerir. Bir rassal deneme, hangisinin gerçekleşeceği konusunda belirsizlik bulunan en az iki sonuca yol açan bir süreçtir. Yukarıdaki ilk üç denemenin her birinde, ortaya çıkabilecek sonuçların be­lirlenmesi olanaklıdır. Eğer bir para havaya fırlatılırsa, sonuç ya “yazı”dır ya “tura”. Bir zar atıldığında sonuç, 1,2,3,4,5,6 sayılarından biri olur. Bütün bu sonuçlardan oluşan küme, olabilecek her sonucu kapsar, rassal denemenin örneklem uzayı diye anılır.

Rassal Deneme, Sonuç, Olay Rassal bir denemenin olanak içindeki bütün sonuçlarına temel sonuçlar denir ve bütün temel sonuçlar kümesi de örneklem uzayı adını alır. Bir zar atıldığında temel sonuçlar 1, 2, 3, 4, 5, 6’dır. Öyleyse örneklem uzayı şöyledir: S=[ 1,2,3,4,5,6] Burada altı tane temel sonuç olduğunu görüyoruz. Bunlardan herhangi ikisi aynı anda gerçekleşemez, ama biri zorunlu olarak gerçekleşir. ÖRNEK Bir yatırımcı menkul değerler borsasını izlemekte, özellikle de Dow-Jones sanayi endeksine ilgi duymaktadır. Şu iki sonucu ele alalım: “Dow-Jones Endeksi bugünün kapanışında, dünkü kapanıştakinden daha yüksek olacaktır.” “Dow-Jones Endeksi bugünün kapanışında, dünkü kapanıştakinden daha yüksek olmayacaktır.” Bu iki sonuçtan birinin gerçekleşmesi zorunludur, ama aynı anda gerçekleşemezler. Öyleyse bu iki sonuç birlikte bir örneklem uzayı oluştururlar.

Rassal Deneme, Sonuç, Olay Çoğu zaman ilgi odağı, temel sonuçların kendileri değil de örneklem uza­yındaki sonuçların bir altkümesidir. Sözgelimi, bir zar atıldığında ilgilenilen şey zarın çift sayı göstermesi olabilir. Bu da, 2, 4, 6 sonuçlarından biri geldiğinde gerçekleşir. Temel sonuçların bu tür kümelerine olay denir. Bir olay, örneklem uzayındaki temel sonuçların bir altkümesidir. Rassal denemede kendisini oluşturan temel sonuçlardan biri ortaya çıkarsa, olay gerçekleşmiştir de­nir.

Temel Kavramlar Olasılık Rassal bir deneme yapıldığını, bizim de belli bir olayın gerçekleşmesiyle ilgilen­diğimizi düşünelim. Olasılık kavramı, bir olayın gerçekleşebilirliğinin sayısal bir ölçüsünü verme amacını taşır. N birim ihtiva eden bir anakütle içinde belirli bir X özelliği taşıyan n tane birim varsa, bu anakütleden rastgele bir birim alındığında bu birimin X özelliği taşıma ihtimali; 𝐏(𝐗)= 𝐧 𝐍 şeklinde hesaplanır. Bir X değişkeninin göreceli (nisbi) frekansı ile bu olayın gözlemlenme edilme ihtimali arasında yakın bir ilişki vardır. Bir olayın meydana gelmesi ihtimali 0 ile 1 arasında değişir. İhtimalin sıfır olması, sözkonusu olayın meyda­na gelmesinin mümkün olmadığını, 1 olması ise olayın kesinlikle (yani %100) meydana geleceğini ifade eder. 0 ve 1 durumlarında ihtimalden bahsedilemez. Belirsiz olaylara, olayın gerçekleşebilirliği ne kadar fazla ise o kadar yüksek olmak üzere 0 ile 1 arasında bir olasılık vermek isteriz. 0’a yakın ihtimal zayıf ihtimal ve 1 ’e yakın ihtimal ise kuvvetli ihtimaldir.

Olasılık Bir olayın mümkün bütün hallerinin ihtimalleri toplamı 1’e eşittir. Me­sela, bir olayın ancak A, B, C ve D gibi dört yolla meydana gelebilmesi ve bu yollara ait olasılıkların da sırayla P A , P B , P C , P D olması halinde, 𝐏 𝐀 + 𝐏 𝐁 + 𝐏 𝐂 + 𝐏 𝐃 = 1 olur. Yine, X olayının meydana gelme ihtimalini p, meydana gelmeme ihtimalini q şeklinde tarif edersek, p + q = 1 oIur. Bu tür ihtimallere birbirini tamamlayan olasılıklar denir. S örneklem uzayındaki bir olay A olsun. S ’de yer alan ama A ’da yer almayan te­mel sonuçlar kümesine A’nın bütünleyicisi denir. A’ ile gösterilir. A’ S A

Basit ve Bileşik Olasılıklar Tek bir olayın sonuçları ile ilgili ihtimaller basit olasılıklardır. Mesela, yarın yağmur yağması ihtimali, bir sınıftan tesadüfi olarak seçilen bir öğrencinin gözlüklü olması ihtimali gibi ihtimaller ayrı ayrı düşünüldüğünde basit bir ihtimaldir. İki veya daha fazla olayın birlikte vuku bulması (gerçekleşmesi) ihtimali ise bileşik bir ihtimaldir. Aynı şekilde ikiden fazla olaydan bazılarının bazıları ile birlikte vuku bulması ihtimali de bileşik ihtimaldir. Bileşik ihtimal hesaplarına konu olan olaylar iki gruba ayrılır: a) Bir arada meydana gelebilen olaylar, b) Birbirini engelleyen olaylar.

Örnek Uzayı İstatistiki bir olayın mümkün olan bütün sonuçlarının oluşturduğu sete örnek uzayı denir ve S ile gösterilir. Örnek uzayındaki herbir sonuç, sözkonusu örnek uzayının bir elemanıdır. Örnek uzayı sınırlı sayıda elemana sahipse, karışmamaları için elemanlar birbirlerinden virgülle ayrılıp parantez içerisinde gösterilebilir. Madeni bir para atıldığında mümkün iki sonuçla karşılaşacağımız için örnek uzayı, S= { Y , T } şeklinde yazılabilir. Rasgele seçilen bir ürün ortalama gramajdan eksik veya fazla olabilir. Bu durumda örnek uzayı, S = {E,F} şeklindedir.

Kontenjans Tabloları ve Venn Diyagramları Örnek uzayını başlıca iki yolla gösterebiliriz. Kontenjans Tabloları ve Venn Diyagramları İncelenecek olayları çap­raz sınıflandırma yoluyla kontenjans tablolarında gösteririz. Mesela, memurlar arasında kredi kartı kullanımını yaygınlaştırmaya çalışan kredi kartı şirketleri bir yıl sonunda memurlar arasından tesadüfi olarak 200'ünü seçerek bunlara banka kredi kartı ve/veya seyahat ve eğlence kredi kartı kullanıp kullanmadıklarını sormuş olsunlar. Alınan cevaplar aşağıdaki kontenjans tablosunda gösterilebilir: Seyahat ve Eğlence Kredi Kartı Banka Kredi kartı Evet Hayır 60 15 65

Venn Diyagramları Olayların birlikte ve ayrı ayrı vuku bulma durumlarını Venn Diyagramı denilen iç içe daireler yardımıyla da gösterebiliriz. Kontenjans tablosunda gösterilebilen olayları Venn Diyagramı yardımıyla da gösterebiliriz. Yalnız banka kredi kartına sahip olanlar, B; yalnızca seyahat ve eğlence kartına sahip olanlar, E; hem banka ve hemde seyahat kredi kartına sahiplar ise B∩E; hem banka ve hemde seyahat kredi kartı olmayanlar ise B'∩E' ile gösterilmek üzere Venn Diyagramı aşağıdaki gibi çizilebilir. B E B∩E B'∩E' B olayının gerçekleşme ihtimali P(B); E olayının gerçekleşme ihti­mali P(E); B ve E olaylarının ikisinin birden gerçekleşmesi ihtimali, P(B∩E); B ve E olaylarının ikisinin birden gerçekleşmemesi ihtimali,P(B'∩E'); B veya E olaylarından birinin gerçekleşmesi ihtimali, P(B∪E)’dir.

Toplama Kuralı X 1 , X 2 ,……., X n birbirini engelleyen n tane olay ve bu olayların meydana gelme ihtimalleri de sırayla P 1 , P 2 ,……., P n olmak üzere, bu olaylardan birinin veya diğerinin meydana gelmesi ihtimali, 𝐏 𝟏 + 𝐏 𝟐 +…….+ 𝐏 𝐧 olur. Bu kurala toplama kaidesi denir. Birlikte gerçekleşmeleri mümkün olmayan (birbirinden bağımsız) A ve B gibi iki olaydan birinin veya diğerinin vuku bulması ihtimali, P(A∪B) = P(A) + P(B) şeklindedir. A ve B olayları bazı hallerde birlikte de meydana gelebilir. Bu durumda, bu olaylardan birinin veya diğerinin meydana gelmesi ihtimali, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) şeklinde hesaplanır. Yani, olayların birlikte meydana gelme ihtimali, olayların ayrı ayrı meydana gelme ihtimallerinin toplamından çıkarılır.

Örnek 1 Bir müşteri P(A) = 0.15 ihtimalle yeşil ve P(B) =0.23 ihtimalle beyaz otomobil satın alacaktır. Sözkonusu müşterinin bu arabalardan birini satın alması ihtimali, P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.15 + 0.23 = 0.38 olarak tespit edilir.

Örnek 2 Bir öğrencinin matematik dersinden geçmesi ihtimali P(A) = 2/3 muhasebe dersinden geçmesi ihtimali, P(B) = 4/9 ve her iki dersten geçme ihtimali P(A∩B) = 1/4 ise sözkonusu öğrencinin bahsedilen derslerin birisini seçmesi ihtimali, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 2/3 + 4/9 - 1/4 = 0.8611 olarak hesaplanır.

Örnek 3 Bir öğrenci üzerinde 1’den 6’ya kadar olan rakamlar yazılı anahtarları bir kutudan çekiyor. “Gelen sayı çifttir” olayına A, “Gelen sayısı en az 4’tür” olayına da B diyelim. Öyleyse A = [2,4, 6] ve B = [4,5, 6] olur. Bu olayların bütünleyicileri de sırasıyla şunlardır: A’ =[1,3,5] ve B’ = [1,2, 3] A ve B ’nin kesişimi , “Gelen sayı hem çifttir, hem de en az 4’tür” olayıdır, yani , A ∩ B = [4,6]olur. A ve B ’nin birleşimi, “Gelen sayı ya çifttir ya 4’ten büyüktür ya da her iki­sidir” olayıdır, yani A∪B = [2, 4, 5, 6] olur.

Çarpma Kuralı Bağımsız Olaylar B A Bir olayın vuku bulması bir başka olayın gerçekleşme şansına bağlı değilse, bu gibi olaylara bağımsız olaylar denir. X 1 , X 2 ,……., X n gibi n tane bağımsız olayın ihtimallerini P 1 , P 2 ,……., P n ile gösterirsek, bu n olayın birlikte meydana gelme ihtimali, ( 𝐏 𝟏 )× (𝐏 𝟐 )×……. × (𝐏 𝐧 ) olur. Bu kaideye çarpma kuralı denir. A ve B gibi iki bağımsız olayın birlite vuku bulması ihtimali, P(A∩B) = P(A) × P(B) şeklinde ifade edilir. B A

Bağımlı Olaylar (Koşullu Olasılık) Çarpma Kuralı Bağımlı Olaylar (Koşullu Olasılık) Bir A olayının olasılığı ile ilgilendiğimizi varsayalım ve A’dan farklı bir B olayının gerçekleşmiş olduğu ek bilgi olarak verilmiş olsun. ƒA’nın olasılığının, B hakkındaki ek bilgiden nasıl etkilendiğini bilmek istiyoruz. Bir B olayının vuku bulması A olayının vuku bulması ihtimaline bağlı ise B olayının olasılığı koşullu olasılıktır. P(B\A) şeklinde gösterilir. A ve B olaylarının birlikte gerçekleşmesi ihtimali, P(A∩B) = P(A) × P(B\A) şeklinde hesaplanır. A olayına bağlı olarak B’nin gerçekleşme ihtimali ise; P(B\A) = P(A∩B) P(A) formülü ile hesaplanır.

Örnek 4 Bir çikolata üretim partisinde 3 kusurlu ve 17 kusursuz çikolata bulunmaktadır. İmalattan tesadüfi olarak iki çikolatayı satın alan bir müşterinin aldığı mamüllerin ikisinin de kusurlu olma olasılığı % kaçtır?

Çözüm 4 Birinci mamulun kusurlu olması ihtimali P(A) = 3/20, birinci mamulun kusurlu olması şartına bağlı olarak ikinci mamulun kusurlu olması ihtimali P(B\A) = 2/19 olduğuna göre, iki hadisenin birlikte vuku bulması ihtimali, P(A∩B) = P(A) × P(B\A) = 𝟑 𝟐𝟎 × 𝟐 𝟏𝟗 =0.0158

Örnek 5 Uçakların tam zamanında kalkması ihtimali, P(K) = 0.83; gideceği yere zamanında varması ihtimali, P(İ) = 0.82 ve tam zamanında kalkma ve inmesi ihtimali, P(K∩İ) = 0.78 olması halinde, tam zamanında kalkan bir uçağın, tam zamanında inmesi ihtimali ?

Çözüm 5 P(İ\K) = P(K∩İ) P(K) = 0.78 0.83 = 0.94 ve tam zamanında inen bir uçağın, tam zamanında kalkması ihtimali ise, P(K\İ) = P(K∩İ) P(İ) = 0.78 0.82 = 0.95

Örnek 6 Bir fabrikada üretilen parçalardan kusursuz 40 tanesi ve kusurlu 10 tanesi bir depoya konuyor. Çekilen yine yerine koyulmaksızın sırayla rastgele iki parça seçildiğinde her iki parçanın da kusurlu olması olasılığı nedir?

Çözüm 6 A ve B olayları aşağıdaki gibi tanımlansın. A: İlk seçilen parça kusurludur. B: İkinci parça kusurludur. O halde; P(A)= 𝟏𝟎 𝟓𝟎 = 𝟏 𝟓 P(B\A) = 9 49 P(A∩B) = P(A) × P(B\A) = 1 5 . 9 49 = 9 245

Örnek 7 Bir hamburgerci zincirinin %75’i hardal, %80’i ketçap, %65’i her ikisini de kulllanmaktadır. Bir ketçap kullanıcısının hardal, bir hardal kullanıcısının ketçap kullanma olasılıkları kaçtır?

Çözüm 7 Müşteri hardal kullanır olayı: A Müşteri ketçap kullanır olayı: B olsun. P(A): 0,75 ve P(B): 0,80 olur. Bir ketçap kullanıcısının hardal kullanma olasılığı; P(A\B) = P(A∩B) P(B) = 𝟎,𝟔𝟓 𝟎,𝟖𝟎 =𝟎,𝟖𝟏𝟐𝟓 Bir hardal kullanıcısının ketçap kullanma olasılığı; P(B\A) = P(A∩B) P(A) = 𝟎,𝟔𝟓 𝟎,𝟕𝟓 =𝟎,𝟖𝟔𝟔𝟕

Çalışma Sorusu Bir fabrikada bir günde üretilen 1000 ürünün 400’ü A ve 600’ü B makinas›nda yapılmaktadır. A’da üretilenlerin %1’i ve B’de üretilenlerin %2’si kusurlu üründür. Bu fabrikada üretilen ürünlerden rassal olarak biri çekilmişve kusurlu oldu¤u görülmüştür. Buna göre bu kusurlu ürünün A akinasında üretilen bir ürün olması olasılığınedir?

Bayes Teoremi Çeşitli sebeplerin aynı sonucu verebildiği durumlarda, bazen sonuç bilindiği halde, bunun hangi sebepten ileri gelmiş olduğu bilinmeyebilir. Sözkonusu sonucun hangi ihtimalle hangi sebepten ortaya çıktığı araştırılmak istendiğinde Bayes Teoreminden yararlanılır. B 1 , B 2 ,……., B n olayları, örnek uzayı S’nin kısımları ise A şartına bağlı olarak Br’nin ihtimali, P(Br\A) = P(Br)×P(A\Br) 𝒊:𝟏 𝒌 𝑷 İ . P(A\Br)

Örnek 8 Bir yapı kooperatifinin başkanlığı için üç üye yarışmaktadır. Ahmet Bey’in seçilmesi ihtimali P(Bı) = 0.3, Cengiz Bey’in seçilmesi ihtimali P(B2) = 0.5 ve Kaya Bey’in seçilmesi ihtimali ise P(B3) = 0.2’dir. Başkanlık yarışını Ahmet Bey kazanırsa P(A\ 𝐵 1 ) = 0.8, Cengiz Bey kazanırsa P(A\ 𝐵 2 ) ve Kaya Bey kazanırsa P(A\ 𝐵 3 ) = 0.4 ihtimalle üyelik aidatlarını artıracaklardır. Üyelik aidatının artırılması şartına bağlı olarak Kaya Bey’in başkan seçilme ihtimali nedir? ( P( 𝐵 3 \A) ? )

Çözüm 8 P( 𝑩 𝟑 \A) = P( 𝑩 𝟑 )×P(A\ 𝑩 𝟑 ) P( 𝑩 𝟏 ).𝑷 𝑨\ 𝑩 𝟏 +P( 𝑩 𝟐 ).𝑷 𝑨\ 𝑩 𝟐 +P( 𝑩 𝟑 ).𝑷 𝑨\ 𝑩 𝟑 = = 0.2×0.4 0.3×0.8 + 0.5×0.1 +(0.2×0.4) = 0.2162 olarak elde edilir. Üyelik aidatının arttırılması şartına bağlı olarak Kaya Bey’in başkan seçilmesi ihtimali düşüktür.

Örnek 9 Bir yayınevi bir muhasebe kitabı için, ilgili muhasebe dersini veren bütün öğretim üyelerinin % 80 ’ine tanıtım malzemesi gönderiyor. Bunları alan öğretim üyelerinden % 30 ’u, bunları almayanların ise % 10 ’u bu kitabı okutmaya karar veriyor. Bu kitabı okutan bir öğretim üyesinin tanıtım malzemesi almış olma olasılığı nedir?

Çözüm 9 Bir öğretim üyesinin tanıtım malzemesini alması olayını «aldı», bunun bütünleyicisi olan olayı da «almadı» ile gösterelim. Bu durumda şunları yazabiliriz. P(aldı) = 0,8 P(almadı) = 0,2 P (Okuttu/aldı) = 0,3 P(Okuttu/almadı) = 0,1 P(Aldı\Okuttu) = P(aldı)×P(Okuttu/aldı) P(aldı)×P(Okuttu/aldı)+P(Okuttu/almadı).P(almadı) = = 0.3×0.8 0.3×0.8 + 0.1×0.2 = 0,923

Örnek 10 (Sanayi) Cıvata üretilen bir fabrikada toplam üretimin 30/100 ü A, 30/100 ü B, 40/100 ü C makineleri tarafından yapılmaktadır. Bu makinelerin, sırasıyla üretimlerinin 1/100, 3/100 ve 2/100 ü kusurlu cıvatalardır. Bir günlük üretim sonunda bir cıvata seçiliyor ve kusurlu olduğu görülüyor. Bu cıvatanın A makinesi, B makinesi, C makinesinde üretilmiş olması olasılığı nedir?

Çözüm 10 Aşağıdaki olayları tanımlayalım. A: Kusurlu cıvata Bı: Cıvata A makinesinde yapıldı, B2: Cıvata B makinesinde yapıldı, B3: Cıvata C makinesinde yapıldı. P( B 1 \A) = P( B 1 )×P(A\ B 1 ) P( B 1 ).P A\ B 1 +P( B 2 ).P A\ B 2 +P( B 3 ).P A\ B 3 = 0.3×0.01 0.3×0.01 + 0.3×0.03 +(0.4×0.02) = 3 20 P( B 2 \A)= 9 20 P( B 3 \A)= 8 20

Örnek 11 Bir borsa analisti çok sayıda şirketin pay senetlerinin geleceğini değerlen­dirmiştir. Ertesi yıl bu pay senetlerinin başarımı incelenmiş, %25’inin pazar or­talamasının çok üstünde, %25’inin çok altında, %50’sinin de ortalama kadar ba­şarım gösterdikleri anlaşılmıştır. Pazarın çok üstünde başarılı olan pay senetle­rinden %40’ı, pazar kadar başarılı olanlardan %20’si ve pazarın çok altında kalanlardan %10’u analist tarafından “alınmaya değer” bulunanlardandır. Analist tarafından “alınmaya değer” bulunan bir pay senedinin pazar ortalaması­nın çok üstünde başarı gösterme olasılığı kaçtır?

Çözüm 11 Aşağıdaki olay tanımlarını yapalım: El:Pay senedi pazar ortalamasının çok üstünde başan gösteriyor. E2:Pay senedi pazar ortalamasıyla aynı başarıyı gösteriyor. E3:Pay senedi pazar ortalamasının çok altında başarı gösteriyor. Ei:Pay senedi analist tarafından “alınmaya değer” bulunuyor. Örneğimizde verilenlerden P(El ) = 0,25 P(E2 ) = 0,50 P(E3) = 0,25 olasılıkları ile; P(A\ El ) = 0,4 P(A\E2 ) = 0,2 P(A\ E3 ) = 0,1 koşullu olasılıklarını yazabiliriz. Aranan, bir pay senedinin analist tarafından alınmaya değer bulunması veri iken, Pazar ortalamasının üstünde başarılı olma olasılığıdır. Bu da bayes teoremi ile aşağıdaki gibi bulunan P(El\ A ) koşullu olasılığıdır. P( E 1 \A) = P( E 1 )×P(A\ E 1 ) P( E 1 ).P A\ E 1 +P( E 2 ).P A\ E 2 +P( E 3 ).P A\ E 3 = = 0.4×0.25 0.4×0.25 + 0.2×0.5 +(0.1×0.25) = 𝟎,𝟒𝟒𝟒

İhtimal Dağılım Tablosu Bir X olayının meydana gelmesinde mümkün olan haller; X 1 , X 2 ,……., X n ve bu hallerin meydana gelme ihtimalleri de sırayla; P 1 , P 2 ,……., P n ise sözkonusu olaya ait ihtimal dağılım tablosu aşağıdaki gibi olur. X 𝐗 𝟏 𝐗 𝟐 …………. 𝐗 𝐧 Toplam P(X) 𝐏 𝟏 𝐏 𝟐 𝐏 𝐧 1

Örnek 12 Bir fabrikanın imal ettiği civataların %20’si kusurludur. Fabrikanın imalatından şansa bağlı olarak 3 civata seçildiğinde kusurlu civata sayısına ait ihtimal dağılım tablosunu düzenleyelim.

Çözüm 12 L, kusurlu mamul ve S, kusursuz mamul olmak üzere seçilecek bir mamulun kusurlu olması ihtimali, P(L) = 0.20 ve kusursuz olması ihtimali, P(S) = 1-0.20 = 0.80’dir. Bununla birlikte üçer birimlik mamüller seçildiği için kusurlu mamul dağılımı belirlenirken; P(X = 0), üç mamulden hiçbirisinin kusurlu olmaması ihtimalini, P(X = 1), üç mamulden birisinin kusurlu olması ihtimalini; P(X = 2), 3 mamulden ikisinin kusurlu olması ihtimalini; P(X = 3), üç mamulün üçünün kusurlu olması ihtimalini gösterir. P(X = 0) = P(SSS) = (0.8)(0.8)(0.8) = 0,512 P(X = 1) = P(LSS) + P(SLS) + P(SSL) = 3((0.2)(0.8)(0.8) )= 0,384 P(X = 2) = P(LLS) + P(LSL) + P(SLL) = 3( (0.2)(0.2)(0.8)) = 0,096 P(X = 3) = P(LLL) = (0.2)(0.2)(0. 2) = 0,008 X 𝟏 2 𝟑 Toplam P(X) 0,512 0,384 0,096 0,008 1

Beklenen Değer n adet denemede 𝐗 𝟏 olayı 𝐏 𝟏 ihtimalle, X2 olayı P2 ihtimalle,….. 𝐗 𝐧 olayı 𝐏 𝐧 ihtimalle meydana geliyorsa, Xı’in beklenen değeri, E(Xı) = n. P 1 , 𝑋 2 ’nin beklenen değeri, E(X2) = n. P2, Xn’in beklenen değeri, E( X n ) = n. P n ’dir.

Örnek 13 X 𝟏 2 𝟑 Toplam P(X) 0,512 0,384 0,096 0,008 1 İhtimal dağılım tablosu izah edilirken verilen örneğe geri dönelim. Bir firma sözkonusu fabrikadan üçer birimlik 1000 paket mal satın aldığında, E(X = 0) = n.P0 = 1000.(0,512) = 512 pakette hiç kusurlu mamül gözlememeyi beklerken, E(X = 1) = n. P 1 = 1000.(0,384) = 384 pakette bir kusurlu mamul, E(X = 2) = n.P2 = 1000.(0,096) = 96 pakette de iki kusurlu mamul bekler. Nihayet, E(X = 3) = n.P3 = 1000.(0,008) = 8 pakette ise mamullerin tamamının kusurlu olmasını bekler.

Önemli Kurallar 1. Kural 2. Kural Aynı anda vuku bulmaları imkansız olan birbirinden farklı k adet olay n defa tekrarlanırsa, mümkün sonuç sayısı k n olur. Para 10 kez atıldığında mümkün sonuç sayısı, 2 10 = 1024’dür. 2. Kural İlk denemede k 1 , ikinci denemede k 2 ve n.inci k n adet olayla karşılaşıyorsak mümkün sonuç sayısı, (k 1 ). (k 2 )…… (k n ) şeklinde hesaplanır. Mesela bir lokantada akşam yemeği için servis yapıyapılacak 4 çeşit salata, 10 çeşit çorba, 3 çeşit meşrubat ve 6 çeşit tatlı varsa mümkün yemek sayısı, (4)(10)(3)(6)= 720 olarak hesaplanır.

4. Kural: Permutasyon kuralı Önemli Kurallar 3. Kural Sıra önemli olduğunda n adet olay, n! = n.(n-l)…….. (1) yolla vuku bulabilir. n!, n faktöriyel diye okunur. 0!, 1 ’e eşittir. Mesela 6 kitap 6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 farklı dizilişle rafa yerleştirilebilir. 4. Kural: Permutasyon kuralı Sıra önemli olduğunda n adet olaydan X adedi, 𝒏! (𝒏−𝑿)! farklı yolla birlikte vuku bulabilirler. Buna permutasyon kuralı denir. Meseli elimizde 6 ders kitabı olmakla birlikte kitaplıkta bu kitaplardan 4 tanesini koyabilecek kadar yer varsa, sıra önemli olduğunda, kitaplar kitaplığa, 𝒏! (𝒏−𝑿)! = 6! (6−4)! = 6.5.4.3.2.1 2.1 = 360 farklı şekilde dizilebilirler.

5. Kural: Kombinasyon kuralı Önemli Kurallar 5. Kural: Kombinasyon kuralı Sıra önemli olmadığında n adet olaydan X adedi, 𝑛 𝑋 = 𝒏! 𝑿!.(𝒏−𝑿)! kadar farklı yolla birlikte vuku bulabilirler. Bu kurala kombinasyon kuralı denir. Sıra önemli olmadığında 6 ders kitabından 4’ü, 6 4 = 𝟔! 𝟒!.(𝟔−𝟒)! = 6.5.4.3.2.1 (4.3.2.1).(2.1) = 15 farklı şekilde kitaplığa yerleştirilebilir.