Mekanik Sistemlerin Modellenme Yöntemleri Kinematik Analiz (konum, hız ve ivme) Serbest cisim diyagramları, mekanik yasaları 2. YÖNTEM Kinematik Analiz (konum ve hız) Kinetik enerji, potansiyel enerji, sanal iş. Lagrange denklemi

TEMEL MEKANİK SİSTEM ELEMANLARI Ötelenen Elemanlar x(t) x(t) x(t) k c F(t) m F(t) F(t) Dönel Elemanlar Homojen Çubuk Disk CAD : Katı Modelleme Öteleme ve Dönme Hareketi yapan Kütle:

LAGRANGE DENKLEMİ xi : Genel koordinat Qi : Genel kuvvet i=1,2,....,n Şekildeki yay-kütle sönüm sistemini ele alalım. z(t) girdi, x(t) cevaptır. Fd dış etkidir. Sistemin matematik modelini bulunuz. Qx Hareket Denklemi Matematik Model

H(s) Transfer Fonksiyonu: f(t): girdi x(t): cevap f(t) f(t) x(t) fz(t) Eğer f(t)=est ise x(t)= H(s)est ms2H(s)est+csH(s)est+H(s)est=est (ms2+cs+k)H(s)=1 z(t) fz(t) f(t) x(t)

z(t) girdi, x(t) cevaptır. Fd dış etkidir. z(t), Va gerilimi ile kontrol edilmektedir. z(t), Va gerilimi ile kontrol edilmektedir. x(t), bir sensörle Vs çıktı gerilimi olarak ölçülmektedir. x(t), bir sensörle Vs çıktı gerilimi olarak ölçülmektedir. 1 V luk Va gerilimi 3 cm lik z çıktısı vermektedir. 1 cm lik x yer değişimi 1 V luk sensör gerilimi vermektedir. Sisteme Vr girdili kapalı kontrol uygulanacaktır. Sisteme Vr girdili kapalı kontrol uygulanacaktır. Sistemin matematik modeli aşağıda verilmiştir. Kapalı sistemin blok diyagramını oluşturunuz. e V Vr:Kontrol girdisi fd:Dış etki Vs:Cevap

a=0.6, b=0.3, d1=0.45, ρ=7800, r1=1.4 (10-2) m2=67 k=106011.29, c=1099.89 Kapalı sistemin blok diyagramı Örnek f1:Kontrol girdisi f2:Dış etki y:Cevap

Lagrange denklemi: L=E1-E2 a=0.6, b=0.3, d1=0.45, ρ=7800, r1=1.4 (10-2) m2=67 k=106011.29, c=1099.89

Va:Kontrol girdisi f2:Dış etki V2:Cevap Açık sistem: Va:Kontrol girdisi f2:Dış etki V2:Cevap Kapalı sistem: e V P, PI, PD, PID kontrol Vr:Kontrol girdisi f2:Dış etki V2:Cevap

Blok Diyagramları: A(s) G1(s) Kt + - K G2(s) C(s) R(s)

2a. Kapalı sistemin transfer fonksiyonu Örnek 2.1 G1(s) Kt + - K G2(s) C(s) R(s) İleri bağlantı hatları (Forward paths): KG1G2 Kapalı döngüler (loops): KG1G2(-1) , G1Kt (-1) Mason formulü İleri bağlantı hatları Kapalı döngüler

Örnek 2.2

Örnek 2.3 ) s ( R MATLAB ile : dp=[1,6,11,6 ], roots(dp) Açık sistemin özdeğerleri: p1=-1, p2=-2, p3=-3 MATLAB ile : dh=[ 2.1, 12.6, 31.74, 88.2, 36 ], roots(dh) Kapalı sistemin özdeğerleri: p1=-4.526, p2,3=-0.4993±2.7883i, p4=-0.4753 Tüm özdeğerlerin gerçel kısmı negatif ise sistem KARARLIDIR.

Özdeğerler karmaşık köke sahip ise : p=-σ+iω Re ωn iω -σ φ Im fn=1/Tn İkinci mertebeden bir sistemin cevabı: Sönümsüz doğal frekans (rad/s) Sönüm oranı Sönümlü doğal frekans (rad/s) Sönümsüz periyot (s) Sönümsüz doğal frekans (1/s=Hz) Zaman adımı (s) Düzenli rejim zamanı (s)

Özdeğerler gerçel köke sahip ise : p=-σ Birinci mertebeden bir sistemin cevabı Zaman sabiti (s) Zaman adımı (s) Düzenli rejim zamanı (s)

p1=-4.526, p2,3=-0.4993±2.7883i, p4=-0.4753 p1 için p2,3 için p4 için Kapalı sistem için: Δt=0.0703, tss=13.2181 Kapalı sistem cevabını MATLAB programı ile çizdirmek için; nh=[8.64, 75.6, 36]; dh=[ 2.1, 12.6, 31.74, 88.2, 36];step(nh,dh)