Konu : Fonksiyonların Lİmiti MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ Konu : Fonksiyonların Lİmiti

DİZİLER YARDIMI İLE LİMİT Görüntüler Dizisi Bir Fonksiyonunun Lİmiti EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT Aralığın Uç Noktalarındaki Limiti ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ Parçalı Fonksiyonların Limitleri Mutlak Değerli Fonksiyonların Limiti İşaret(sgn) Fonksiyonunun Limiti Tam Kısım Fonksiyonunun Limiti SONSUZ İÇİN LİMİT

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT Görüntüler Dizisi Tanım: olmak üzere, fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisi için dizisine; dizisinin f fonksiyonuna göre görüntü dizisi denir. dizisi için, görüntü dizisi; dir. bitir

dizisi ve f(x)=2x+3 fonksiyonu veriliyor: ÖRNEK dizisi ve f(x)=2x+3 fonksiyonu veriliyor: dizisinin limitini bulalım. görüntüler dizisini bulalım. görüntüler dizisinin limitini bulalım. bitir

ÇÖZÜM dir. bulunur. bitir

BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ Tanım: olmak üzere, ya da fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri kümesinde bulunan ve a’ya yakınsayan her dizisi için, dizileri bir L sayısına yakınsıyorsa; x, a’ya giderken f(x)’in limiti L’dir, denir ve biçiminde gösterilir. Limitin Olmaması: Terimleri kümesine ait ve a’ya yakınsayan en az iki ve dizileri için ise için f fonksiyonunu limiti yoktur. bitir

fonksiyonunun için limitini bulalım. ÖRNEK fonksiyonunun için limitini bulalım. bitir

Terimleri 1’den farklı ve 1’e yakınsayan iki dizi seçelim. ÇÖZÜM Terimleri 1’den farklı ve 1’e yakınsayan iki dizi seçelim. dizilerinin f fonksiyonu ile elde edilen görüntü dizilerinin limitlerini alalım. O halde, limiti 1 olan her dizisi için, bitir

EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT Tanım: bir fonksiyon olmak üzere önermesine uyan a bağlı varsa x, a’ya yakınsarken f’nin limiti L’dir denir ve biçiminde yazılır. Tanımı aşağıdaki şekiller üzerinde inceleyiniz. y=f(x) y=f(x) f(a) y=f(x) f(x) f(x) f(x) L L f(x) L f(x) f(x) x x x x x x a a a bitir

olduğunu epsilon tekniği ile gösterelim. ÖRNEK fonksiyonu veriliyor. olduğunu epsilon tekniği ile gösterelim. bitir

için önermesine uyan bulmalıyız. ÇÖZÜM için önermesine uyan bulmalıyız. O halde alınabilir. İçin, olduğundan tanıma göre olur. bitir

ya da şeklinde tanımlı f fonksiyonunda: SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT ya da şeklinde tanımlı f fonksiyonunda: Tanım1: x değerleri a dan küçük değerlerle artarak(soldan)a ya yaklaşırken,f(x) ler de bir reel sayısına,f fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve biçiminde gösterilir. Tanım2:x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak (sağdan) a ya yaklaşırken f(x) ler de bir reel sayısına yaklaşıyorsa; reel sayısına,f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti denir ve . biçiminde gösterilir. yazılışı x lerin a ya soldan yaklaştığını gösterir.yani daima x<a dır. yazılışı x lerin a ya sağdan yaklaştığını gösterir.yani daima x>a dır. bitir

Şekildeki grafiklerde , x in a ya soldan ve sağdan yaklaşması durumunda soldan ve sağdan limitleri görülmektedir. Sonuçlar: ve için; 1. ise, dir. 2. ise yoktur. bitir

Aralığının uç noktalarındaki limiti fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken: 1.a noktasındaki limit sadece sağdan limitle belirlenir. 2.b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir. y y y=f(x) K=f(b) P=f(a) x bitir a b

1.a noktasındaki limit,sadece sağdan limitle belirlenir. fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken: 1.a noktasındaki limit,sadece sağdan limitle belirlenir. dir.f(a) tanımsızdır. 2.b noktasındaki limit sadece soldan limitle belirlenir. dir. f(b) tanımsızdır. y y y=f(x) K P x a b bitir

PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ ise ise fonksiyonu verilsin. Kritik noktada,yani koşuldaki değerinde limit sorulursa,soldan ve sağdan limit incelenir. ve ye göre cevaplama yapılır. Kritik nokta dışında limit sorulursa o noktadaki fonksiyon dalı belirlenir.o dalın durumuna göre çalışma yapılır. için için bitir

noktalarındaki limiti bulalım. ÖRNEK: ise ise fonksiyonunun ve noktalarındaki limiti bulalım. bitir

ÇÖZÜM: olduğundan dır. tür. olduğundan olduğundan dir. bitir

MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ in bulunuşunda: noktası kritik nokta ise, soldan ve sağdan limit incelenmelidir. Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, limit değeri ile görüntü olacağından dır. bitir

noktalarında limitinin ÖRNEK: . fonksiyonunun; ve noktalarında limitinin olup olmadığını araştıralım. bitir

f(X) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım. ÇÖZÜM: f(X) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım. x 2 -2 + - - + x + - - + ise ise ise ise bitir

a. yoktur. b. dir. c. yoktur. d. bulunur. bitir

İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ nın bulunuşunda: 1. noktası kritik nokta ise, bu noktalarda soldan ve sağdan limit incelenmelidir. ve olsun Eğer ise dir. Eğer ise yoktur. 2. Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse Limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından, dır. bitir

noktalarındaki limitinin olup olmadığını araştıralım. ÖRNEK: fonksiyonunun, noktalarındaki limitinin olup olmadığını araştıralım. bitir

ÇÖZÜM: olduğundan, y 1 -1 x 1 2 3 bitir

TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ ın bulunuşunda: için ise, soldan ve sağdan limit incelenir. Soldan limit incelenirken,yani olmak üzere, yazabiliriz.Sonra için limitini alabiliriz. Sağdan limit incelenirken olduğundan,yani olmak üzere yazabiliriz. Sonra için limitini alabiliriz. Eğer dir. Eğer dir. bitir

için ise, limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından; dir. ÖRNEK: fonksiyonunun ve noktalarında limitlerinin olup olmadığını inceleyelim. bitir

olduğundan fonksiyonun ÇÖZÜM: a. için, olduğundan fonksiyonun soldan ve sağdan limitini inceleyelim. Soldan limit incelerken, olduğundan, yani olmak üzere yazalım ve için limitini alalım. Sağdan limit incelenirken, olduğundan, yani Olmak üzere, yazalım ve için limitini alalım. bitir

noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan; yoktur. b. için, olduğundan, limit değeri ile görüntü değeri eşit olur. O halde, bitir

bir fonksiyon olsun.Terimleri SONSUZ İÇİN LİMİT bir fonksiyon olsun.Terimleri aralığında bulunan ve a ıraksayan her dizisi için, ise; için, f nin limiti L dir, denir ve biçiminde gösterilir. Aynı şekilde bir fonksiyon olsun. Terimleri aralığında bulunan ve a ıraksayan her dizisi için ise; için, f nin limiti K dır, denir ve biçiminde gösterilir. bitir

ifadelerinin eşitini bulalım. ÖRNEK: ise fonksiyonu veriliyor. ise a. b. ifadelerinin eşitini bulalım. bitir

ÇÖZÜM: a. dizisi için, olsun. dır. dizisi için, olsun. b. dır. bitir

SONSUZ LİMİT ve olmak üzere, ya da fonksiyonu için , terimleri; kümesine ait ve a sayısına yakınsayan dizisi için, : 1. ise, 2. ise, dur. y a x x bitir