İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER KONUYLA İLGİLİ: 1.TANIM 2.ÖRNEK VE ÖZEL DURUMLAR

a,b,c birer reel sayı olmak üzere ax2+bx+c=0 biçiminde denkleme ikinci dereceden denklemler denir. Bu denklemi sağlayan x1, x2 sayılarına, denklemin kökleri denir. =b2-4ac sayısına denklemin diskriminantı denir. ax2+bx+c=0 denkleminin kökleri aşağıdaki formül yardımıyla bulunur. -b±b2-4ac X1,2 ------------------------- 2a

KÖKÜN DURUMU >0 ise denklemin iki farklı kökü vardır. =0 ise denklemin kökleri birbirine eşittir. ve şu şekilde gösterilir. <0 ise denklemin kökü yoktur. Çözüm kümesi de yoktur. - b x1 = x2 = ---------- dır. 2a

x1 = x2 = ---------- = ------------- = ----------- = 1 2a 2 2 ÖRNEK: X2+4X+3=0 = b2-4ac =16-12= 4>0 -4±4 -4 ±2 X1,2 = ------------------------- = ------------------- = -1 ve -3 2 2 Ç={-1,-3} ÖRNEK: X2-2X+1=0 = b2-4ac =4-14= 0 - b -(-2) 2 x1 = x2 = ---------- = ------------- = ----------- = 1 2a 2 2 (x-1) (x-1) = 0

NOT: ax2+bx+c=0 denkleminde a ile c ters işaretli (ac<0)ise –4ac>0 ve =b2-4ac>0 dir. Öyleyse, ax2+bx+c=0 denkleminde a ile c ters işaretli ise denklemin iki kökü vardır. a ile c ayrı işaretli ise,  incelenerek köklerin var olup olmadığı belirtilir.

ÇÖZÜM FORMÜLÜNÜN SADELEŞTİRİLMESİ ax2+bx+c=0 denkleminde b birer çift sayı ise işlemlerde kolaylık sağlaması bakımından: b b’= ---------- olmak üzere diskriminant ’ =(b’) 2 –ac alınır. Bu 2 durumda kökler -b±  ’ X 1,2= ---------------- dır. Buna yarım a formül denir.

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKEMLER Bunu bir örnekle açıklayacağız. 2x 27 6 1 + ----------- + --------------- = -------------- x+4 2x2+7x-4 2x-1 paydaları eşitleyelim (2x-1) (1) (x+4)

2x2+7x-4+2x(2x-1)+27= 6(x+4) 2x2+7x-4+4x2-2x+27= 6x+ 24 6x2-x-1 = 0 (3x+1) (2x-1) = 0 x= -1/3 , x=½ x= ½ paydayı sıfır yaptığı için kök olamaz. Bu yüzden Ç={-1/3} kümesidir.

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERİN KÖKLERİ ARASINDAKİ BAĞINTILARI ax +bx+c=0 denkleminin kökleri. -b+ b2-4ac -b+ b2-4ac x= ----------------------- y= ----------------------- 2a 2a -b+ b2-4ac -b+ b2-4ac x+y= ----------------------- + ----------------------- 2a 2a x+y= -2b/2a , x+y= -b/a

-b+ b2-4ac -b+ b2-4ac x.y= ----------------------- . ----------------------- 2a 2a b2 - (b2-4ac) x.y = ------------------------------ 4a2 x.y= 4ac/4a2 , x.y = c/a

Önceki iki slayttan şu bağıntılar çıkar. 1/x + 1/y = (x+y)2 - 2xy= (-b/a)2-2c/a b2-2ac / a2 1/x2+1/y2 = x2+y2 / x2.y2 = b2-2ac/ c2 |x-y|=   / |a| x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=3abc-b3/a3 eşitliklerini çoğaltmak mümkündür.

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTI ax2+bx2+cx+d= 0 x+y+z= -b/a xy+xz+yz= c/a xyz= -d/a

KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİN YAZILIŞI Kökleri x1,x2,x3 .........xn olan n dereceden bir denklem a0 olmak üzere: a(x-x1)(x-x2)(x-x3) .... (x-xn) = 0 şeklinde yazılabilir. Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden denklem a0 olmak üzere a(x-x1) (x-x2) = 0 dır

Burada a=1 olarak alınıp parantezler açılırsa denklem x2-(x1+x2)x+x1x2 = 0 x1+x2=s ve x1x2=p ile gösterilirse denklem, x2-sx+p= 0 olur.