Lineer Denklem Sistemlerinin

Slides:



Advertisements
Benzer bir sunumlar
Prof.Dr.Şaban EREN Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi
Advertisements

Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Isı Transferi Problemleri
Bölüm 8: EĞRİ UYDURMA Fizikte laboratuarda yapılan deneysel ölçümlerin ne kadar hata payı içerdiğini, veya belli teorik modellere ne kadar uyduğunu bilmek.
Birinci Dereceden Denklemler
Bir eşitliğin her iki yanına aynı sayıyı eklersek eşitlik bozulmaz.
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
1.Dereceden 1 Bilinmeyenli Denklemler
DERS 2 MATRİSLERDE İŞLEMLER VE TERS MATRİS YÖNTEMİ
Projemizin İçeriği: Anahtarlanmış Doğrusal Sistemler
Bölüm 4: Sayısal İntegral
Süleyman Demirel Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü
Bölüm6:Diferansiyel Denklemler: Başlangıç Değer Problemleri
CEBİRSEL İFADELER ŞEHİT POLİS İSMAİL ÖZBEK ORTA OKULU BURSA/KESTEL.
DERS 3 DETERMİNANTLAR ve CRAMER YÖNTEMİ
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Ders : MATEMATİK Sınıf : 8.SINIF
DENKLEMLER. DENKLEMLER ÜNİTE BAŞLIĞI X kimdir neye denir,neden gereksinim duyulmuştur.Bilinmeyeni denklem kurmada kullanırız.Bilinmeyen problemlerde.
Birinci Dereceden Denklemler
BM-103 Programlamaya Giriş Güz 2014 (7. Sunu)
Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
DERSİMİZİ ŞU ANA BAŞLIKLAR HALİNDE İNCELEYECEĞİZ.
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ ve MATRİSLER
Lineer Denklem Çözümü: Gauss Elemesi
Bölüm 7: Matrisler Fizikte birçok problemin çözümü matris denklemleriyle ifade edilir. En çok karşılaşılan problem türleri iki başlıkta toplanabilir. Cebirsel.
Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN
DOĞRUSAL DENKLEMLER Tuba TIRAŞOĞLU
2 Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İLKÖĞRETİM MATEMATİK 6.SINIF
Yrd. Doç. Dr. Mustafa AKKOL
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
MATEMATİK DERSİ KONU : DENKLEM ÇÖZME SEMİH YAŞAR
İSMAİL EKSİKLİ Öğr. No:
BİR BİLİNMEYENLİ RASYONEL DENKLEMLER
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
CEBİR CEBİRSEL İFADELER Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi
Diferansiyel Denklemler
MATEMATİK DENKLEMLER.
Lineer Denklem Sistemlerinin
Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri
Denklemeler içerdiği değişkenin sayısına ve kuvvetine göre sınıflandırılır. Aşağıdaki örneklere bakarsak; 2x+4=15I. Dereceden I Bilinmeyenli Denklem x.
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Sayısal Analiz / Uygulama
Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri
‘nin çözümünü bulmanın bir yolu yok mu?
Yeşilköy Anadolu Lisesi. TANıM (KONUYA GIRIŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden.
n bilinmeyenli m denklem
Hatırlatma: Durum Denklemleri
GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar
Tanım: ( Temel Çevreler Kümesi)
Lineer Vektör Uzayı ‘de iki
Geçen hafta ne yapmıştık
Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen sistemi
5/40 ile çarpılır ve 2nd satır ile toplanır
G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Ga alt grafına çevre denir:
5.1 POLİNOMİNAL REGRESSİYON
MAT – 101 Temel Matematik Mustafa Sezer PEHLİVAN *
EŞİTSİZLİK AKSİYOMLARI
Yine en basit durumdan başlayarak inceleyelim:
Prof.Dr.Şaban EREN Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi
2 Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
NİŞANTAŞI ÜNİVERSİTESİ
DERSİMİZİ ŞU ANA BAŞLIKLAR HALİNDE İNCELEYECEĞİZ.
DERSİMİZİ ŞU ANA BAŞLIKLAR HALİNDE İNCELEYECEĞİZ.
..Denklemler..
10. HAFTA BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ
DERSİMİZİ ŞU ANA BAŞLIKLAR HALİNDE İNCELEYECEĞİZ.
Sunum transkripti:

Lineer Denklem Sistemlerinin Sayısal Analiz Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri

Sayısal Analiz Tanım Gauss Eliminasyon Yöntemi Örnek Uygulamalar Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Ders İçeriği Tanım Gauss Eliminasyon Yöntemi Örnek Uygulamalar Matlab uygulama Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Tanım a1 , a2 , . . . , an∈ R ve x1 , x2 , . . . , xn bilinmeyenler olmak üzere, a1x + a2x2 + . . . + anxn = b denklemine n- bilinmeyenli bir lineer denklem denir. Bir lineer denklemde a1, a2, . . . , an sayılarına denklemin katsayıları, b sayısına da denklemin sabiti denir. Örnek: 2x - y + z = 1 lineer denkleminde, 2, -1 ve 1 denklemin katsayıları, 1 de denklemin sabitidir. Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Tanım a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2 . am1x1 + am2x2 +. . . + amn xn = bm şeklin deki n tane bilinmeyen ve m- tane lineer denklemden oluşan sisteme bir lineer denklem sistemi denir. lineer denklem sisteminde a11, a12 , . . . , amn ∈ R sayılarına sistemin katsayıları, b1, b2 , . . . , bm ∈ R sayılarına da sistemin sabitleri denir. Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri denklem sistemini farklı bir şekilde ifadesiyle   , yada A x = b gibi en genel ifadesi ile gösterilebilir. Bu lineer denklem sistemleri; b=0 => “homojen denklem sistemi” b≠0 => “homojen olmayan denklem sistemi” adını alır. Homojen olmayan denklem sisteminin çözümü için geliştirilen yöntemler iki grupta incelenebilir. Dolaylı yöntemler Gauss‐Seidel yöntemi Basit iterasyon yöntemi … Dolaysız yöntemler Gauss eliminasyon yöntemi Gauss‐Jordan yöntemi Cramer yöntemi Bu iki gruba ait yöntemleri ve örnekleri önümüzdeki derslerde çözümleyeceğiz. Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Gauss Eliminasyon Yöntemi Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Gauss Eliminasyon Yöntemi Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Gauss Eliminasyon Yöntemi Sayısal Analiz

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Gauss Eliminasyon Yöntemi Not : Pivotlama : Gauss eliminasyon yönteminde gerçekleştirilen hesaplamalarda paydaya karşılık gelen değer(pivot) sıfır olduğunda sorunlar ortaya çıkabilir, bu durumda satırların yeri en büyük eleman pivot elemanı olacak biçimde yer değiştirilebilir. Çözüm kümesi ? Homojen L.D.S. n. dereceden A katsayılar matrisinin rankının bilinmeyen (N) sayısından küçükse mümkündür .( rank(A)<N veya | A|=0 Birden fazla çözüme sahiptir. ) Homojen olmayan lineer denkl. sisteminin rank(A)=N ise tek çözüm eğer rank değeri N’den küçük ise birden fazla çözüm mevcuttur. Sayısal Analiz

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Örnek uygulama : Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Örnek uygulama : Aşağıda AX=B formunda verilen lineer denklem sisteminin çözümünü bulunuz ? Sayısal Analiz

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Uygulama : x1 + x2 - x3 + x4 = 2 2x2 + x3 - x4 = 5 Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Uygulama : x1 + x2 - x3 + x4 = 2 2x2 + x3 - x4 = 5 x1 - x3 + x4 = 0 x1 - x2 + x3 =- 4 lineer denklem sisteminin çözümünü bulunuz ? Sayısal Analiz

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Sistemde 1. denklemin -1 katını 3. denkleme ve yine 1. denklemi 4. denkleme ekleyelim. x1 + x2 - x3 + x4 = 2 2 x2 +x3 - x4 = 5 - x2 =- 2 x4 = 2 bulunur. Burada 2. denklem ile 3. denklemin yerlerini değiştirelim. x1 + x2 - x3 + x4 = 3 - x2 =- 2 2 x2 + x3 - x4 = 5 x4 =- 2 olur. Son elde edilen denklem sisteminde 2. denklemin 2 katını 3. denkleme ekleyelim.   x1 + x2 - x3 + x4 = 2 - x2 =- 2 x3 - x4 = 1 x4 =- 2 elde edilir. Sayısal Analiz

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Bu son elde edilen lineer denklem sisteminin çözümü ile başlangıçtaki sistemimizin çözümü aynıdır. O halde, son elde edilen denklem sisteminde,   x4 =-2 x3 = 1 + x4 = 1 - 2 = - 1, x2 = 2 ve x1 = 2 - x2 + x3 - x4 = 2 - 2 - 1 + 2 = 1 dir. Dolayısıyla verilen denklem sisteminin çözümü x1 = 1 x2 = 2 x3 = - 1 x4 = - 2 dir Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Uygulama : x1 + x2 + x3 +x4 + x5 = 3 Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Uygulama : x1 + x2 + x3 +x4 + x5 = 3 x2 - x3 -2x4 + 2x5 = -8 2x1 +3x2 - 3x3 +x4 + x5 = 11 x1 +2x3 - x5 = 2 - x1 +2x2 +3x4 + 4x5 = 1   lineer denklem sistemini çözünüz. Çözüm : AX=B => (A|B) … x1= 2 x2= 1 x3= -1 x4= 3 x5= -2 bulunur. Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Uygulamalar : 1) x1 + x2 - x3 = 1 x1 + 2x2 -2 x3 = 0 Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Uygulamalar : 1) x1 + x2 - x3 = 1 x1 + 2x2 -2 x3 = 0 -2x1 + x2 + x3 = 1 lineer denklem sistemini gauss eliminasyon yöntemi ile çözünüz. 2) 4x1 + 3x2 + 2x3 + 1x4 = 1 3x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 1 2x1 + 3x2 + 4x3 + 1x4 = -1 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = -1 3) 6x1 + 2x2 - 2x3 = -2 2x1 + x2 + x3 = 1 x1 + 2x2 - x3 = 0 4) Gauss Eliminasyon yönteminin işaret akış diyagramını çiziniz. Sayısal Analiz

Sayısal Analiz Gauss Eliminasyon yönteminin akış diyagramını çizerek ve matlab kodunu yazınız.

Sayısal Analiz %*** Gauss Eliminasyon ile denklem çözümleme *** function I=gauss_eleme(N,Y) X=[N Y] [satir,sutun]=size(N) for n=1:(sutun-1), s=1; while X(n,n)==0 if not(X(n+s,n)==0) Y=X; X(n,:)=Y(n+s,:); X(n+s,:)=Y(n,:); end if s==n disp('Çözüm Bulunamadı!');return end; s=s+1; for m=(n+1):(satir) X(m,:)=X(m,:)-X(n,:)*X(m,n)/X(n,n); % bilinmeyenlerin bulunması I=zeros(satir,1); for n=satir:-1:1 tp=X(n,[sutun:-1:(n+1)])*I([sutun:-1:(n+1)]); I(n)=(X(n,sutun+1)-tp)/X(n,n); >> N=[2 -3 2;1 1 -2;3 -2 -1] N = 2 -3 2 1 1 -2 3 -2 -1 >> Y=[-11 8 -1]'; >> I=gauss_eleme(N,Y) X = 2 -3 2 -11 1 1 -2 8 3 -2 -1 -1 satir = 3 sutun = I = 1 -2 Sayısal Analiz

Sayısal Analiz / Uygulama